Cím: Parabola-e a parabola?
Szerző(k):  Pataki János 
Füzet: 1991/április, 149 - 150. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Már az általános iskolában szokás az f(x)=x2 függvény grafikonját parabolának nevezni, másfelől az I. gimnáziumban definiálják a parabolát, mint adott ponttól (fókusz) és rá nem illeszkedő egyenestől (vezéregyenes) egyenlő távolságra lévő pontok halmazát a pont és az egyenes síkjában. Azt, hogy a fenti két tulajdonság ugyanazt a görbét határozza meg, általában harmadik osztályban szokták igazolni a koordinátageometria felhasználásával.

 
 

1. ábra
 

Az alábbiakban a hasonlóság fogalmának a felhasználásával bebizonyítom, hogy a parabola valóban parabola. Ehhez először induljunk ki az f(x)=x2 függvény grafikonpontjainak egy lehetséges szerkesztéséből (1. ábra). A szerkesztést elegendő a pozitív abszcisszájú pontokra megadni, hisz a grafikon szimmetrikus az y-tengelyre.
Mérjük föl az origóból az x tengelyre az x hosszúságú OT szakaszt, majd T-ben merőlegest állítva legyen TS=1, az ábra szerint. Ekkor SO-ra O-ban merőlegest állítva P a grafikon x abszcisszájú pontja lesz, hiszen a magasságtétel miatt TS, TO és TP egy mértani sorozat három szomszédos eleme.
 
 

2. ábra
 

Most megmutatjuk, hogy az így szerkesztett P pontok egyenlő távolságra vannak egy ponttól és egy egyenestől. Ha Q és R jelöli az OT és a TS szakaszok felezőpontját (2. ábra), akkor mivel az OTS háromszöget +90° szögű forgatva nyújtással kapjuk a PTO háromszögből, az e transzformáció során egymásnak megfelelő PQ és OR szakaszok is merőlegesek. Így viszont PQ az OTR háromszög OR rel párhuzamos QV középvonalára is merőleges. Mivel pedig Q felezi az OT szakaszt, e középvonalnak a párhuzamos PT és OF egyeneseken adódó F és V metszéspontjaira QF=QV. Az FPV háromszög így egyenlő szárú, PF=PV, a P pont tehát egyenlő távol van az F ponttól és V -től és így a V-n átmenő, x tengellyel párhuzamos v egyenestől. Mivel az F pontra OF=1/4, a V pontra pedig TV=1/4, az F pont és a v egyenes nem függ a T pont kiválasztásától ‐ azaz az x értékétől.
 

Megjegyzések:
1) Szigorúan véve a fenti gondolatmenetből csak annyi következik, hogy a függvénygörbe minden pontja eleme az F(0;1/4) fókuszú, v∼y=-1/4 egyenletű vezéregyenesű parabolának. Annak igazolását, hogy e parabola minden pontja előáll grafikonpontként, az Olvasóra hagyjuk.
2) A fentiekből már következik, hogy tetszőleges
q(x)=ax2+bx+c,a≠0
másodfokú függvény grafikonja is parabola, hiszen ismeretes, hogy q grafikonja hasonlósági transzformációval kapható f grafikonjából, másfelől a parabola definíciója alapján nyilvánvaló, hogy hasonlósági transzformáció során parabola képe parabola.
3) Akik jobban ismerik a parabola tulajdonságait, felismerhetik, hogy a bizonyításban kulcsszerepet játszó PQ egyenes éppen a parabola P-beli érintője, ami a bizonyítás hátterére is jobban rámutat.
 

Felhívás: Hasonló kettősség van a hiperbola elnevezés középiskolai használatában is, ami egyfelől a h(x)=1/x függvény grafikonjának a neve, másfelől pedig azon P pontok halmaza a síkban, melyekre két megadott ponttal (F1ésF2) fennáll, hogy ∣PF1-PF2∣ állandó. Hiperbola-e a hiperbola? A kérdés koordinátageometriai eszközökkel tisztázható. Olvasóinktól viszont azt várjuk, hogy a fenti bizonyításhoz hasonlóan elemi eszközökkel igazolják a két értelmezés egyenértékűségét.