A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Már az általános iskolában szokás az függvény grafikonját parabolának nevezni, másfelől az I. gimnáziumban definiálják a parabolát, mint adott ponttól (fókusz) és rá nem illeszkedő egyenestől (vezéregyenes) egyenlő távolságra lévő pontok halmazát a pont és az egyenes síkjában. Azt, hogy a fenti két tulajdonság ugyanazt a görbét határozza meg, általában harmadik osztályban szokták igazolni a koordinátageometria felhasználásával.
1. ábra Az alábbiakban a hasonlóság fogalmának a felhasználásával bebizonyítom, hogy a parabola valóban parabola. Ehhez először induljunk ki az függvény grafikonpontjainak egy lehetséges szerkesztéséből (1. ábra). A szerkesztést elegendő a pozitív abszcisszájú pontokra megadni, hisz a grafikon szimmetrikus az -tengelyre. Mérjük föl az origóból az tengelyre az hosszúságú szakaszt, majd -ben merőlegest állítva legyen , az ábra szerint. Ekkor -ra -ban merőlegest állítva a grafikon abszcisszájú pontja lesz, hiszen a magasságtétel miatt , és egy mértani sorozat három szomszédos eleme.
2. ábra Most megmutatjuk, hogy az így szerkesztett pontok egyenlő távolságra vannak egy ponttól és egy egyenestől. Ha és jelöli az és a szakaszok felezőpontját (2. ábra), akkor mivel az háromszöget +90 szögű forgatva nyújtással kapjuk a háromszögből, az e transzformáció során egymásnak megfelelő és szakaszok is merőlegesek. Így viszont az háromszög rel párhuzamos középvonalára is merőleges. Mivel pedig felezi az szakaszt, e középvonalnak a párhuzamos és egyeneseken adódó és metszéspontjaira Az háromszög így egyenlő szárú, a pont tehát egyenlő távol van az ponttól és -től és így a -n átmenő, tengellyel párhuzamos egyenestől. Mivel az pontra , a pontra pedig , az pont és a egyenes nem függ a pont kiválasztásától ‐ azaz az értékétől. Megjegyzések: 1) Szigorúan véve a fenti gondolatmenetből csak annyi következik, hogy a függvénygörbe minden pontja eleme az fókuszú, egyenletű vezéregyenesű parabolának. Annak igazolását, hogy e parabola minden pontja előáll grafikonpontként, az Olvasóra hagyjuk. 2) A fentiekből már következik, hogy tetszőleges másodfokú függvény grafikonja is parabola, hiszen ismeretes, hogy grafikonja hasonlósági transzformációval kapható grafikonjából, másfelől a parabola definíciója alapján nyilvánvaló, hogy hasonlósági transzformáció során parabola képe parabola. 3) Akik jobban ismerik a parabola tulajdonságait, felismerhetik, hogy a bizonyításban kulcsszerepet játszó egyenes éppen a parabola -beli érintője, ami a bizonyítás hátterére is jobban rámutat. Felhívás: Hasonló kettősség van a hiperbola elnevezés középiskolai használatában is, ami egyfelől a függvény grafikonjának a neve, másfelől pedig azon pontok halmaza a síkban, melyekre két megadott ponttal fennáll, hogy állandó. Hiperbola-e a hiperbola? A kérdés koordinátageometriai eszközökkel tisztázható. Olvasóinktól viszont azt várjuk, hogy a fenti bizonyításhoz hasonlóan elemi eszközökkel igazolják a két értelmezés egyenértékűségét.
|