Kezdőlap


Cím:	A Nemzetközi Matematikai Diákolimpiára előkészítő verseny - 1990.
Szerző(k):	Pataki János
Füzet:	1990/január, 10 - 11. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} A = \frac{\sqrt[]{\sqrt[]{5} + 2} + \sqrt[]{\sqrt[]{5} - 2}}{\sqrt[]{\sqrt[]{5} + 1}} - \sqrt[]{3 - 2 \sqrt[]{2}} . A = ? \end{matrix}

2. Az

A B C D

tetraéder élei nagyság szerint rendre 7, 13, 18, 27, 36 és 41.
Ha

A B

=41, akkor mekkora

C D

3. Egy szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbik és a nagyobbik rész aránya egyenlő a nagyobbik résznek és a teljes szakasznak az arányával. Ha

R

jelöli ezt az arányt, akkor mennyi

\begin{matrix} R^{[R^{(R^{2} + R^{- 1})} + R^{- 1}]} + R^{- 1} értéke? \end{matrix}

4. Ha

p

q

és

r

jelöli az

x^{3} - x^{2} + x - 2 = 0

egyenlet gyökeit, akkor mennyi

p^{3} + q^{3} + r^{3}

5. Az

A B C D

húrnégyszög körülírt körének átmérője 50.

A B = B C = 15

C D = 50

. Mekkora

A D

6. Mennyi

{(\sqrt[]{3} + \sqrt[]{2})}^{6}

egész része?

7. Feltéve, hogy

x + y > 0

és

x^{2} + y^{2} + \frac{2 x y}{x + y} = 1

, mekkora

(x + y)

legnagyobb és legkisebb értékének a különbsége?
8.

P

és

Q

A B

átmérőjű félkörív pontjai.

R

O B

sugár pontja, amelyre

O P R ∢ = O Q R ∢ = 10^{\circ}

. Ha

P O A ∢ = 40^{\circ}

, akkor mekkora a

Q O B ∢

9. Hány olyan háromszög van, melynek csúcsai egy adott szabályos 23-szög csúcsai közül valók és amelyek tartalmazzák a sokszög középpontját?

10. Az

f (x)

függvényt minden egész

x

-re az alábbi módon értelmezzük:

\begin{matrix} f (x) = {\begin{matrix} x - 1989, & ha x>2000,  f(f(x+1990)), ha & x ≦ 2000. \end{matrix} \end{matrix}

Mennyi

f (0)

értéke?

11. Mennyi

7^{9999}

utolsó három számjegye?

12. Egy szabályos kockát addig dobálunk, amíg a dobott számok

S

összege túl nem lépi a 100-at. Mi ekkor az

S

legvalószínűbb értéke?

13. Melyik az a legnagyobb

A

szám, melyre teljesül, hogy az első 100 pozitív egész bármely sorrendjében van tíz szomszédos szám, melyek összege legalább

A

14.

2^{8} + 2^{11} + 2^{n}

egy egész szám négyzete. Mekkora az

n

lehetséges értékeinek az összege?

15. Tekintsük az 1001-nél kisebb nevezőjű törtek közül azt, amelyik a lehető legkevésbé tér el a

\frac{123}{1001}

-től? Mennyi ennek a törtnek a nevezője?

Összeállította: Pataki János

(A versenyt 1989 november 24-én tartották több városban. A feladatok eredményeit lásd a 30. oldalon.)