Cím: Megoldási vázlatok az 1990. októberi felvételi gyakorló feladatokhoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1990/november, 358 - 360. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. a) Azonosságok alkalmazásával
1log303=log330=1+log310,1lg3=log310éslog3270=1+log390,
azaz az adott kifejezés
(log390)(1+log310)-(log310)(1+log390)=log39=2.

b) Azonosságok alkalmazásával
1-tg2π82tgπ8=1tgπ4=1
és
2sin25π12-1=-cos5π6=32.
A kifejezés pontos értéke 32.
2.Legyen a sorozat második eleme a, a hányadosa q. Ekkor a a6=aq4, a3=aq és a5=aq3. A feltételek szerint
a2q4=242ésaq3-aq=36.
Innen aq2=24 vagy aq2=-24 és
aq2(q-1q)=36(q0).
A feltételeknek négy sorozat felel meg.
Ha q=2, akkor a=6, a sorozat: 3, 6, 12, 24, 48, 96,
ha q=-12, akkor a=96, a sorozat:-192, 96, -48, 24, -12, 6,
ha q=-2, akkor a=-6, a sorozat: 3, -6, 12, -24, 48, -96,
ha q=12, akkor a=-96, a sorozat: -192, -96, -48, -24, -12, -6.
3. A P(2;2) ponton áthaladó egyenesek egyenlete x=2 vagy y-2=m(x-2). Az x=2 egyenletű egyenes a körnek érintője.
Az y-2=m(x-2) egyenletű egyenes pontosan akkor érinti a kört, ha az
x2+(2+m(x-2))2-2x=0
egyenlet diszkriminánsa 0, azaz ha 4(4m-3)=0m=34. A másik érintő egyenlete tehát y-2=34(x-2).
4. Jelölje A1, B1, illetve C1 az ABC háromszög BC,AC, illetve AB oldalának a felezőpontját, S pedig a háromszög súlypontját. Az ASB háromszög területe az ABC háromszög területének a harmada.
Legyen AA1=12 és BB1=5 egység.
Jelölje φ az ASB szöget. Ekkor
403=122352312sinφ.
amiből sinφ=1,φ=90, tehát az ASB háromszög derékszögű.
Így
AB2=(235)2+(2312)2,AB=2313.

Mivel C1S=12AB=133, ezért a harmadik súlyvonal hossza
CC1=3C1s=13egység.

5. Mivel 2=a+cb=sinα+sinγsinβ, ezért azonosságok alkalmazásával
2sinβ2cosβ22sinα+γ2cosα-γ2=12,
amiből, figyelembe véve, hogy
α+γ2=90-β2ésα-γ2=45,
tehát
sinα+γ2=cosβ2éscosα-γ2=22,
adódik, hogy
sinβ2=24.
Innen
cosβ278,ígysinβ=22478=74.

6. Mivel AA' átmérő, ezért a Thalész-tétel miatt A'C merőleges AC-re és A'B merőleges AB-re. Jelölje M az A'-nek A1-re vonatkozó tükörképét. Az A'CMB négyszög paralelogramma, hiszen középpontosan szimmetrikus.
Ezért BM párhuzamos A'C-vel, azaz merőleges AC-re, tehát BM a háromszög egyik magasságvonala. Hasonlóan adódik, hogy CM a háromszög másik magasságvonala. A BM és CM magasságvonalak M metszéspontja tehát valóban a háromszög magasságpontja.
7. A gyökjel alatti kifejezést azonosan átalakítjuk.
4-2x+3+22(x+1)=(2-2x+1)2.
Az egyenlet mindkét oldalát kettővel szorozva
22(x+1)-32x+1=2|2x+1-2|.

Ha 2x+12, akkor
22(x+1)-52x+1+4=0,azaz2x+1=4vagy2x+1=1.Innen2x+1=4(2),x=1.



Ha 2x+1<2, akkor
22(x+1)-2x+1-4=0,
azaz
2x+1=12(1+17)>2
vagy
2x+1=12(1-17)<0,
tehát ilyen megoldás nincs.
Az egyenlet egyetlen megoldása x=1.
8. Az egyenletnek akkor van megoldása, ha
2mcos2x-4(m-1)cosx+3m-2=0és1-2cosx0.
Azonos átalakításokkal
mcos2x-(m-1)cosx+14(m-2)=0.

Ha m=0, akkor cosx=12, ekkor az adott egyenletnek nincs megoldása.
Ha m0, akkor x=12 (ekkor nincs megoldás) vagy cosx=12-1m.
Az adott egyenletnek akkor van megoldása, ha
-112-1m1,
azaz, ha m23 vagy m-2.