Cím: A Téli Ankét feladatai (1990.)
Füzet: 1990/március, 100. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Bolyai János Matematikai Társulat Ifjúsági Matematikai Köre 1989. december 27‐28-án tartott téli ankétjának olimpiai előkészítő feladatai.

 

1. Az ABC háromszög területe t; köré írt körének sugara R, a belső szögfelezők a kört másodszor rendre az A', B', C' pontokban metszik. Az A'B'C' háromszög területe T. Bizonyítsuk be, hogy 16T3≥27R4t.
(Csehszlovákia)*
 

2. Bizonyítsuk be, hogy a 9-es számjegyet nem tartalmazó, különböző pozitív egészek reciprokainak az összege nem lehet nagyobb 30-nál.
(Franciaország)
 

3. a, b, c, d olyan pozitív egészek, amelyekre ab=cd és a+b=c-d. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan egész oldalhosszúságú derékszögű háromszög, amelynek területe ab-vel egyenlő.
(Anglia)
 

4. Ali Baba szőnyegkereskedő téglalap alakú szőnyeget árul. Tönkrement minden mérőeszköze, de szerette volna tudni egyik szőnyegének a méreteit. Észrevette, hogy két téglalap alakú szobájában is el tudja helyezni a szőnyegét úgy, hogy a szőnyeg minden sarka hozzáérjen a szoba egy‐egy falához. Mekkorák a szőnyeg méretei, ha a szobák mérete 38×55, ill. 50×55 (láb)?
(Ausztrália)
 

5. Legyen 0<a<1 adott valós szám, és legyen f a [0,1] intervallumban folytonos függvény, amelyre f(0)=0, f(1)=1 és minden intervallumbeli x≤y-ra
f(x+y2)=(1-a)f(x)+af(y)
teljesül. Határozzuk meg f(17)-et.
(Finnország)
 

6. Bizonyítsuk be, hogy ha a<b, akkor a3-3a≤b3-3b+4 (a,b valós). Teljesülhet-e az egyenlőség?
(Svédország)
 

7. Legyen n>1, egész. Értelmezzük a következő függvénysorozatot:
f0(x)=0,f1(x)=1-cosx,...,fk+1(x)=2fk(x)cosx-fk-1(x),
és legyen
F(x)=f1(x)+f2(x)+...+fn(x).

Bizonyítsuk be, hogy
a) 0<F(x)<1, ha 0<x<π/(n+1);
b) F(x)>1, ha π/(n+1)<x<π/n.
(USA)
 

8. Az ABC szabályos háromszögben a BC, CA, AB, FD, FB, DC szakaszok felezőpontjai rendre D, E, F, M, N, P. Bizonyítsuk be, hogy az AM, EN és FP szakaszok egy O ponton mennek át. Számítsuk ki az OM:OF:ON:OE:OP:AO arányokat.
(Hongkong)
*A megjelölt országok a feladatokat a XXX. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiára javasolták.