Kezdőlap


Cím:	1990. Beszámoló a XXXI. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról
Szerző(k):	Pataki János
Füzet:	1990/szeptember, 241 - 243. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 31. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát július 8. és 19. között rendezték a Kínai Népköztársaság fővárosában, Pekingben.
A versenyen az utóbbi évek hagyományainak megfelelően most is rekordot döntött a résztvevők száma: minden eddiginél népesebb volt a mezőny, 54 országból 308 diák érkezett Pekingbe ‐ vagy az itteni átírás szerint Beijingbe ‐ melynek neve Északi Fővárost jelent. A házigazdák mindent elkövettek, hogy a világ minden tájáról érkezett diákok minél gyorsabban megbarátkozzanak a szokatlan körülményekkel.
A verseny esélyesei a vendéglátók voltak, hisz bár alig néhány éve vettek részt először az olimpián, két éve már a második, tavaly pedig óriási fölénnyel az első helyen végeztek. Tudtuk róluk, hogy igen komolyan készülnek erre a versenyre is; ebben a hatalmas országban, amelyik több évtizede próbál meg fölzárkózni a világ legfejlettebb részéhez, az utóbbi években a tudományban és a minél színvonalasabb oktatásban remélik megtalálni a továbblépés útját. Ennek megfelelően a rendezvény óriási nyilvánosságot kapott: nem múlt el nap, hogy a sajtó és a televízió ne tudósított volna róla valamilyen formában; a záróünnepség utáni fogadásra pedig a kínai parlament épületében került sor. (A magyar diákok utazási költségeit a Soros-Alapítvány fedezte.)
A nemzetek közötti verseny végeredménye beváltotta a hazai reményeket: tavalyi sikerüket megismételve ismét az első helyen végeztek. 6 fős csapatuk a megszerezhető 252 pontból 230-at szerzett. A magyar csapat igen jó eredményt ért el: 162 ponttal a 6. helyet szereztük meg.

Az első 12 helyezett ország sorrendben:

1. Kína (230); 2. Szovjetunió (193); 3. USA (174); 4. Románia (171); 5. Franciaország (168); 6. Magyarország (162); 7. NDK (158); 8. Csehszlovákia (153); 9. Bulgária (152); 10. Anglia (141); 11. Kanada (139); 12. NSZK (138).

A magyar csapat tagjai a következők voltak: Balog József és Csirik János (a szegedi Ságvári Endre Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulói, Csúri József és Tarcsay Tamás tanítványai; Csirik János Kanadában töltötte a tavalyi évet);

Harcos Gergely (a budapesti Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium III. osztályos tanulója, Tóth Attila tanítványa);

Hausel Tamás (a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója, Thiry Imréné és Kardos Gyula tanítványa);

Kondacs Attila (a budapesti Árpád Gimnázium IV. osztályos tanulója, Gyimesi Róbert és Mikusi Imre tanítványa);

Lakos Gyula (a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium II. osztályos tanulója, Surányi László és Pataki János tanítványa).

A magyar küldöttség vezetői Dr. Pelikán József és Pataki János voltak.

A versenyen mind a hat magyar diák díjat kapott: Lakatos Gyula 34 ponttal első, Csirik János 33, Balogh József 29, Hausel Tamás 24 ponttal második, Kondacs Attila 22, Harcos Gergely pedig 20 ponttal harmadik díjat szerzett.

A verseny több szempontból is nehezebb volt a tavalyinál: igen lassan alkalmazkodtunk a 7 órás időeltolódáshoz, a párás meleghez, végül, de nem utolsó sorban maguk a feladatok is nehezebbek voltak. Jól mutatják ezt az egyes díjak pontszámának határai: (34‐24‐16). A tavalyi tízzel szemben ezúttal mindössze négy versenyző érte el a maximális 42 pontot, a kínai Zhon Tong és Wang Jianhua, a francia Vincent Lafforgue és a szovjet Jevgenyija Malennyikova.

A magyar diákok mindegyike a mezőny első harmadában végzett, szép sikerükben nagy része volt a csapat felkészülését irányító Reiman Istvánnak.

A magyar küldöttség július 6-án érkezett Pekingbe, a két versenynapra július 12-én és 13-án került sor. Szokás szerint ezúttal is 3‐3 feladatot tűztek ki mindkét napon,

4,5

óra gondolkodási idővel. Minden feladatra maximálisan 7 pontot lehetett kapni.

A verseny feladatai a következők voltak (zárójelben a magyar csapat pontszáma, illetve a feladatot javasló ország neve áll) :

1. Egy adott kör

A B

C D

húrjai a kör belsejében levő

E

pontban metszik egymást. Legyen

M

E B

szakasz egy belső pontja.

A D, E, M

pontokon átmenő körhöz

E

-ben húzott érintő messe a

B C

, ill.

A C

egyeneseket rendre az

F

, ill. a

G

pontban. Ha

\frac{A M}{A B} = t

, fejezzük ki az

\frac{E F}{E G}

hányadost

t

segítségével.

(33, India)

2. Legyen

n ≧ 3

és tekintsünk egy

E

halmazt, amely egy kör kerületén levő

2 n - 1

darab különböző pontból áll. Tegyük fel, hogy ezen pontok közül pontosan

k

darabot feketére színezünk. Egy ilyen színezést ,,jó''-nak nevezünk, ha található két olyan fekete pont, hogy az általuk meghatározott két körív egyikének a belseje pontosan

n

darab

E

-beli pontot tartalmaz. Határozzuk meg a legkisebb olyan

k

értéket, amire igaz az, hogy

E

bármely

k

pontját színezzük is feketére, a színezés ,,jó''.

(34, Csehszlovákia)

3. Határozzuk meg az összes olyan

n > 1

egész számot, amelyre

\frac{2^{n} + 1}{n^{2}}

is egész szám.

(18, Románia)

4. Jelölje

Q^{+}

a pozitív racionális számok halmazát. Adjunk példát olyan

f : Q^{+} \to Q^{+}

függvényre, amelyre

\begin{matrix} f (x \cdot f (y)) = \frac{f (x)}{y} \end{matrix}

teljesül minden

x, y \in Q^{+}

esetén.

(19, Törökország)

5. Egy

n_{0} > 1

egész számból kiindulva két játékos,

A

és

B

felváltva neveznek meg

n_{1}, n_{2}, n_{3}, ...

egész számokat, az alábbi szabályokat betartva.
Ha már

n_{2 k}

meg van nevezve,

A

tetszése szerint választ egy

n_{2 k + 1}

egész számot, amire

\begin{matrix} n_{2 k} ≦ n_{2 k + 1} ≦ n_{2 k}^{2} \end{matrix}

teljesül. Ha már

n_{2 k + 1}

meg van nevezve,

B

tetszése szerint választ egy

n_{2 k + 2}

egész számot, amire

\begin{matrix} \frac{n_{2 k + 1}}{n_{2 k + 2}} \end{matrix}

legalább

1

kitevőjű prímhatvány. Az

A

játékos nyer, ha

1990

-et nevezi meg.

B

játékos nyer, ha

1

-et nevezi meg.

Mely

n_{0}

értékekre teljesül:
a)

A

-nak van nyerő stratégiája,
b)

B

-nek van nyerő stratégiája,
c) egyik játékos sem tudja kikényszeríteni a győzelmet?

(36, NSZK)

6. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan konvex

1990

-szög, amelyik rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:
a) A sokszög minden szöge egyenlő.
b) Az oldalak hosszai az

1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, ..., 1989^{2}, 1990^{2}

számok valamilyen sorrendben.

(22, Hollandia)

A következő évben Svédország látja vendégül a világ diákjait; a 32. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia házigazdája egy svéd kisváros, Sigtuna lesz.