A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ebben a cikkben egy olyan ‐ rendhagyónak nevezhető ‐függvénnyel foglalkozunk, amelyet számjegyek átlagának segítségével értelmezünk. Az egyszerűség kedvéért a számokat nem tizedes, hanem kettedes (diadikus) tört alakban kezeljük. A 10-es alaphoz hasonlóan itt is igaz, hogy minden valós szám felírható | | kettedes tört alakban, ahol a , számjegyek értéke 0 vagy 1 lehet. Ez a felírás egyértelművé tehető azzal, ha megtiltjuk, hogy a kettedes jegyek valahonnan kezdve csupa 1-esek legyenek; azaz | | helyett mindig a | | eredményeként adódó "véges'' alakot használjuk. Könnyen értelmezhetjük egy 0 és 1 közé eső diadikus tört első jegyének átlagát: legyen | | A függvény minden ilyen helyen vegye fel a értéket, amennyiben ez a határérték létezik. Ezzel a függvényt a [0, 1] intervallum valamely részhalmazán értelmeztük. (Látható, hogy , így .) Elsőként azt vizsgáljuk meg, van-e olyan szám, melyre , vagyis megegyezik saját számjegyeinek az átlagával. Ezután értelmezési tartományának a "nagyságát'' határozzuk meg, majd igazoljuk, hogy értéke "majdnem mindig'' . 1. Legyen . Tegyük fel, hogy az függvény folytonos az intervallumon, és itt minden -re . Megmutatjuk, hogy ekkor létezik olyan , melyre . (Speciálisan az függvényre kapjuk, hogy alkalmas -ra teljesül.) Előállítjuk a kívánt tulajdonságú számot. Mivel pozitív, ezért alkalmas természetes számra . A számsorozatnak így legalább két szomszédos eleme az nyílt intervallumba esik; jelölje ezek kisebbikét . Ekkor nyilván | | (1) | Ezután rekurzíven definiáljuk az , végtelen sorozatot, úgy, hogy , az -ból egy további kettedesjegy hozzáírásával keletkezzen a következőképpen: Ha , , akkor legyen , , ahol , ha , ill. , ha . Ha után tetszőleges 0‐1 sorozatot írunk, (1) szerint a kapott szám is -ben lesz; ezért . Legyen , ekkor , és az függvény folytonossága következtében . Megmutatjuk, hogy . Ehhez azt kell belátni, hogy minden pozitív számhoz található olyan , amellyel minden -nél nagyobb természetes számra . Legyen tehát egy ilyen rögzített pozitív érték. Mivel az sorozat határértéke, azért van olyan , hogy minden -nál nagyobb -ra. Belátjuk továbbá, hogy ha , akkor is teljesül. Ha ugyanis , akkor | | Ezután bebizonyítjuk, hogy létezik olyan -nál és -nál nagyobb természetes szám, amelyre | | (4) | Ha ilyen nem létezne, akkor (3) miatt vagy minden ‐ elég nagy ‐ -ra , vagy minden ‐ elég nagy ‐ -ra állna fenn. Az első esetben azonban következtében , így , ami az -re tett feltevésünknek ellentmond. A második esetben ugyanígy miatt , amiből , szintén ellentmondás. Az így kapott számra most már igazolhatjuk, hogy Ennek bizonyítását indirekt úton végezzük el. Tegyük fel, hogy a kívánt egyenlőtlenség nem teljesül minden, -nél nagyobb -ra; legyen a legkisebb olyan természetes szám, melyre és . Ez utóbbi egyenlőtlenség kétféleképpen valósulhat meg. 1 eset: . Mivel a számot a lehető legkisebbnek választottuk, ezért (és (4) miatt, ha ) (3) miatt viszont esetünkben tehát (2), (6) és (5) egybevetéséből | | (7) | és | | (8) | Definíciónk (7) alapján az jegyet adja, ekkor azonban , ami ellentmond (8)-nak. 2. eset: . A minimalitása folytán most míg (3) miatt ezúttal tehát (2), () és () értelmében | | () | és | | () | A () következtében , így ; ez ellentmond ()-nek. Mivel az bármilyen (kicsi) pozitív szám lehet, ezért valóban . 2. -ben értelmezési tartománya, valamint azon pontok halmaza, melyekben nem értelmezett, egyaránt kontinuum számosságú. A) Az előző részben bizonyított tételt az konstans függvényekre alkalmazva azt kapjuk, hogy minden -beli értéket fölvesz, így az értelmezési tartománya is (legalább) kontinuum számosságú. B) Tegyük fel ezután, hogy az , helyen nincs értelmezve. Változtassuk meg néhány négyzetszám sorszámú helyen álló kettedesjegyét. Megmutatjuk, hogy az így létrejövő helyen sem értelmes a függvény. Tegyük fel ugyanis, hogy létezik. A összegek legfeljebb az 1., 4., 9., -edik helyeken különbözhetnek egymástól, ahol . Így | | ezért Ekkor azonban , következésképpen is konvergens lenne; ennek az ellenkezőjét tettük fel, tehát sem létezik. Az így kapható számok számossága megegyezik a (végtelen) 0‐1 sorozatok számosságával, hiszen éppen egy ilyen sorozattal jelölhető ki, hogy mely számok négyzeteinek megfelelő helyen változtatjuk meg -et: a sorozat -edik eleme pontosan akkor legyen 1-es, ha az -edik kettedesjegy változik. Ha tehát megadunk legalább egy olyan -et, amelyre az sorozatnak nincs határértéke, akkor a függvény (legalább) kontinuum számosságú helyen nincs értelmezve [0, 1]-ben. Egy megfelelő szám a következő: , ahol rendre darab 1-es, ill. 0 számjegy követi egymást felváltva. Könnyen látható, hogy minden -ra | | és | | tehát az sorozatnak valóban nem létezik határértéke. 3. Végezetül megmutatjuk, hogy értéke valószínűséggel , azaz a intervallumból véletlenszerűen választott helyen értéke valószínűséggel tér el -től ‐ ide számítva azt az esetet is, hogy nem értelmezett. Jelöljük -val azoknak a [0, 1]-beli számoknak a halmazát, amelyekben nem értelmezett vagy az értéke nem . Azt fogjuk megmutatni, hogy nullmértékű, azaz tetszőleges pozitív esetén lefedhető olyan intervallumokkal, amelyek összhosszúsága legfeljebb . Nullmértékű például minden olyan halmaz, amelynek véges sok vagy megszámlálhatóan végtelen sok pontja van. Ez a következőképpen látható be: Rendezzük sorba a halmaz elemeit, és a sorban az -edik elemet fedjük le egy hosszúságú intervallummal; ezzel a halmazt lefedjük egy legfeljebb hosszúságú intervallumrendszerrel. Megszámlálható sok nullmértékű halmaz egyesítése is nullmértékű. Ha ugyanis e halmazok és , akkor -et összhosszúságú intervallumrendszerrel lefedve, majd a lefedéseket egyesítve a , halmazok egyesítését lefedő, összhosszúságú intervallumrendszerhez jutunk. Az iménti előkészületek után térjünk vissza vizsgálatához; legyen egy (a továbbiak során rögzítettnek tekintett) pozitív szám. Jelölje azoknak a [0, 1]-beli értékeknek a halmazát, melyekre az egyenlőtlenség végtelen sok -re teljesül. Ha egy ilyen szám, akkor legyen a legnagyobb olyan egész, amelyre . Ha , akkor első tizedesjegye között az 1-esek száma 0, 1, , vagy lehet. darab 1-es esetén ugyanis -re míg -re és A darab 1-es -féleképpen helyezkedhet el az első számjegy között, és bármelyik ilyen elhelyezéshez tartozó számok egy hosszúságú intervallumnak a pontjai. (Egy , tört ugyanis pontosan akkor ilyen, ha éppen a kívánt elhelyezés, az rész pedig tetszőleges, azaz , a intervallum egyik pontja.) Az feltételnek eleget tevő pontok tehát lefedhetők az | | összhosszúságú intervallumrendszerrel. Becsüljük meg nagyságát! Ha , akkor a binominális tétel értelmében
azaz | | Az függvény deriváltja: | | Mivel és , ezért van olyan hely a (0, 1) nyílt intervallumban, amelyre . Jelölje az értéket ; ekkor Legyen tetszőleges pozitív szám, és válasszuk -et olyan nagynak, amelyre már (ez megtehető, hiszen ). Ezzel az -nel a intervallumrendszerek egyesítésének összhossza legfeljebb | | A , intervallumrendszerek egyesítése lefedi a halmazt. Ha ugyanis a egyik pontja, akkor léteznie kell olyan, -nél nem kisebb értéknek, amelyre , hiszen ellenkező esetben csak véges sok -re elégíti ki az egyenlőtlenséget. tehát lefedhető egy legfeljebb összhosszúságú intervallumrendszerrel; mivel tetszőlegesen kicsi lehet, ezért nullmértékű halmaz. Ily módon pl. is nullmértékű, tehát a halmazok egyesítése is nullmértékű. Végezetül megmutatjuk, hogy lefedi -t (ekkor persze ), így is nullmértékű. Tegyük fel, hogy a halmazok egyikében sincs benne. Ez azt jelenti, hogy mindegyik természetes számra az egyenlőtlenség csak véges sok -ra teljesül. Így minden -re létezik olyan , hogy valamennyi, -nél nagyobb egészre , tehát | | vagyis nincs benne -ban sem. Eszerint része -nek.
|