Kezdőlap


Cím:	A gázmolekulák közepes szabad úthossza
Szerző(k):	Légrádi Imre
Füzet:	1989/január, 33 - 35. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Gázt tartalmazó edényben a molekulák rendszertelenül, de szakadatlanul ütköznek egymással. Azt a közepes távolságot, amelyet egy-egy molekula két ütközés között megtehet, a molekula közepes szabad úthosszának nevezzük. Ez függ a gáz állapotától. Tekintsünk egy homogén, azonos molekulákból álló gázteret.
Időegység alatt a molekula akkora utat fut be, mint amekkora az átlagos sebessége. Ha ugyanezen időegység alatt átlagosan $\bar{z}$ ütközésben vesz részt, akkor átlagos szabad úthossza

\begin{matrix} \bar{λ} = \frac{\bar{v}}{\bar{z}}, \end{matrix}

ahol

\bar{v}

a molekula átlagos sebessége.
Tegyük fel ideiglenesen, hogy a gáztér minden molekulája áll, kivéve egyet, amelynek sorsát most megfigyeljük. Legyenek a molekulák

d

átmérőjű gömbök. A mozgó molekula akkor ütközik egy állóba, ha a középpontjára illeszkedő és sebességvektorával párhuzamos egyenesnek az álló molekula középpontjától mért távolsága kisebb

d

-nél. A mozgó molekula középpontja az ütközések következtében egy zegzugos, egyenes szakaszokból álló vonalon halad. Ha e köré a töröttvonal köré végig

2 d

átmérőjű hengert képzelünk, akkor láthatjuk, hogy a mozgó molekula időegység alatt megtett útja során ütközni fog mindazokkal az álló molekulákkal, amelyeknek a középpontja a henger belsejébe esik.
Ha a molekulák sűrűsége a térben

ϱ_{m}

, akkor a mozgó molekula által időegység alatt befutott hengerben

d^{2} π \bar{v} ϱ_{m}

molekula van, tehát időegység alatt ennyi ütközésben vesz részt, azaz

\begin{matrix} \bar{z} = d^{2} π \bar{v} ϱ_{m} . \end{matrix}

Mivel azonban a valóságban a többi molekula is mozog, ezért az imént egyedül mozgónak tekintett molekula sebességének a többi molekulához mért relatív sebességét kell számítanunk.

Két, összeütközés pillanatában lévő molekulát tekintve, legyen sebességük

v_{1}

, ill.

v_{2}

az ábra szerint. Ekkor az első molekula relatív sebessége a másodikhoz viszonyítva vektorkivonással kapható. Nagysága a koszinusztételből adódik:

\begin{matrix} v_{rel}^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2 v_{1} v_{2} cos α . \end{matrix}

A relatív sebesség négyzetének átlaga a jobb oldal átlagainak összege. Mivel az összes molekula sebességének négyzetes középértéke ugyanaz, ezért

\begin{matrix} \bar{v_{1}^{2}} = \bar{v_{2}^{2}} = \bar{v^{2}}; \end{matrix}

továbbá mivel a molekulák sebességének minden iránya egyenlően valószínű, azaz a két sebességvektor között lévő

α

szög koszinusza egyenlő valószínűséggel vesz fel pozitív és negatív értékeket, melyeknek abszolút értéke egyenlő, ezért

\begin{matrix} \bar{cos α} = 0. \end{matrix}

Végeredményben tehát az ütközések számát megadó összefüggésbe

\bar{v}

helyett

\sqrt[]{2} \bar{v}

-t kell írnunk, azaz

\begin{matrix} \bar{z} = \sqrt[]{2} d^{2} π \bar{v} ϱ_{m} . \end{matrix}

A közepes szabad úthosszra tehát kapjuk, hogy

\begin{matrix} \bar{λ} = \frac{1}{\sqrt[]{2} d^{2} π ϱ_{m}} . \end{matrix}

Meg kell jegyeznünk, hogy a molekulák

d

átmérője a valóságban nem fix érték. Függ az ütköző molekulák mozgási energiájától, vagyis a hőmérséklettől. A számításba veendő átmérőt effektív átmérőnek nevezzük.
Ha a

p V = N k T

állapotegyenletből kifejezzük a molekulasűrűséget, akkor látjuk, hogy állandó hőmérsékleten a közepes szabad úthossz fordítottan arányos a gáz nyomásával.
A közepes szabad úthossznak és a gázt tartalmazó edény karakterisztikus hosszméretének a viszonya jellemzi az edényben kialakított vákuum minőségét. A vákuum fogalma tehát relatív fogalom.
Három vákuumszintről szokás beszélni:
Nagyvákuumról (magasvákuum), ha a közepes szabad úthossz jóval nagyobb az edény karakterisztikus méreténél. (Karakterisztikus hossznak azt a méretet tekintjük, amely valamilyen kísérlet szempontjából figyelembe veendő hosszmérete az evakuált térrésznek.) Ilyenkor a gáz molekulái az edény falával ütközve, többször is befuthatják az edény karakterisztikus hosszát anélkül, hogy egymással ütköznének.
Közepes vákuumról beszélünk, ha a közepes szabad úthossz megegyezik az edény karakterisztikus hosszával, vagy inkább kisebb annál.
Kisvákuumról (alacsonyvákuum) van szó, ha a közepes szabad úthossz jóval kisebb az edény karakterisztikus hosszánál.
Példaképpen számítsuk ki

20^{\circ} C

-os levegőre vonatkozólag a közepes szabad úthosszokat. A levegőt alkotó molekulák zömének effektív átmérője az adott hőmérsékleten

3, 8 \cdot 10^{- 10} m

.
Tekintsük a következő nyomástartományokat, a szokásos méretű edények esetén:

\begin{matrix} a) & normális nyomás & (10^{5}Pa), \\ b) & kisvákuum & (150 Pa ‐ 3 Pa), \\ c) & közepes vákuum & (0,4 Pa ‐ 0,013 Pa), \\ d) & nagyvákuum & (2, 1 \cdot 10^{- 3} Pa‐4, 6 \cdot 10^{- 5} Pa) . \end{matrix}

Az elmondottak szerint a molekulasűrűséget az állapotegyenletből kifejezve és a szabad úthossz összefüggésébe beírva:

\begin{matrix} \bar{λ} = \frac{k T}{\sqrt[]{2} π d^{2} p} = \frac{1, 38 \cdot 10^{- 23} \frac{J}{K} \cdot 293 K}{\sqrt[]{2} π {(3, 8 \cdot 10^{- 10})}^{2} m^{2} \cdot p} = \frac{6, 3 \cdot 10^{- 3} \frac{N}{m}}{p} . \end{matrix}

p

helyébe a fenti nyomásértékeket rendre behelyettesítve kapjuk a következő közepes szabad úthosszakat a

20^{\circ} C

-os levegőre:

\begin{matrix} a) & normális nyomáson: & 60 nanométer, \\ b) & kisvákuumban: & 50 mikrométer‐2,2 miliméter, \\ c) & közepes vákuumban: & 2 centiméter‐50 centiméter, \\ d) & nagyvákuumban: & 3 méter‐140 méter. \end{matrix}

Ilyen értelemben például vákuum van egy porózus falú edény pórusaiban annak ellenére, hogy az edényt kitöltő gáz nyomása mondjuk, 1 bar. Ugyanis a pórusok átmérője néhányszor tíz nanométer, a normális nyomású levegőben a közepes szabad úthossz is kb. ugyanennyi, így a gáz molekulái többször is átmehetnek a pórusokon úgy, hogy csak a fallal ütköznek, egymással pedig nem.