Cím: 1988. évi Kürschák József Matematikai Tanulóverseny
Füzet: 1989/január, 7 - 8. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Bolyai János Matematikai Társulat ez év október 21-én pénteken délután 3 órai kezdettel rendezte meg az idei Kürschák József Matematikai Tanulóversenyt.
A versenyt egyidejűleg a következő helyeken tartották: Budapest, Békéscsaba, Debrecen, Eger, Győr, Kaposvár, Kecskemét, Miskolc, Nagykanizsa, Nyíregyháza, Pécs, Salgótarján, Sopron, Szeged, Székesfehérvár, Szolnok, Szombathely, Tatabánya, Veszprém.

*

A verseny feladatai:
1.  Bizonyítsuk be, hogy ha az ABCD konvex négyszög belsejében van olyan P pont, hogy a PAB, PBC, PCD, PDA háromszögek egyenlő területűek, akkor a négyszög valamelyik átlója felezi a négyszög területét.
2. Az 1,2,...,n számok közül úgy akarunk kiválasztani {a,b,c} hármasokat, hogy a<b<c, továbbá, hogy bármely két kiválasztott {a,b,c}, {a',b',c'} hármasra az a=a', b=b', c=c' egyenlőségek közül legfeljebb egy teljesüljön.
 

Maximálisan hány ilyen számhármast választhatunk ki?
 

3. A konvex PQRS négyszög minden csúcsának mindkét koordinátája egész szám. A négyszög átlóinak metszéspontja legyen E. Bizonyítsuk be, hogy ha a négyszög P és Q csúcsánál lévő szögeinek összege 180∘-nál kisebb, akkor a PQE háromszög tartalmaz a belsejében vagy a határán olyan P-től és Q-tól különböző pontot, amelynek szintén egész számok a koordinátái.
*

A három feladat kidolgozására négy órát fordíthattak a versenyzők, és mindennemű könyv és jegyzet szabadon volt használható.
A tanulóverseny több mint 85 éves hagyományának megfelelően a versenyen csak olyan feladatok szerepeltek, amelyek megoldásához a középiskolai anyagon túlmenő ismeretekre nincs szükség, viszont megoldásuk a versenyzők önálló matematikai gondolkodó készségét teszi próbára.
Az eredményhirdetés 1988. december 16-án volt a Társulatban.
A díjazottakat és a feladatok megoldásait legközelebbi számunkban közöljük.