A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Igazolja, hogy ha egy háromszög oldalával szemközti szög , akkor ahol , a háromszög másik két oldala, a háromszög köré írt kör sugara, pedig a háromszög területe. Megoldás. A koszinusztétel szerint A háromszög területe Ha a háromszög köré írt kör sugara, akkor Mivel és , ezért és . Ezeket felhasználva adódik, hogy valóban 2. Tekintsük az | | függvényt, ahol . Mely helyen veszi fel a függvény a legkisebb értékét és mennyi ez a legkisebb érték? Megoldás. Azonos átalakításokkal | | Ismeretes, hogy és | | Ezeket alkalmazva, majd teljes négyzetté kiegészítve kapjuk a következőket:
Az függvény az helyen veszi fel a legkisebb értékét és a legkisebb érték . 3. Igazolja, hogy ha , , akkor Mikor egyenlő a két kifejezés? Megoldás. Ekvivalens átalakításokkal az | | (1) | egyenlőséget kell igazolni. Mivel ezért elegendő igazolni a következőket: illetve Azonos átalakításokkal kapjuk, hogy | | Mivel , ezért a (4), a (3) és így az (1) egyenlőtlenséget is igazoltuk. A (2) illetve a (3) egyenlőtlenségben az egyenlőség akkor áll fenn, ha , illetve és , ezért az (1)-ben csak és esetén áll fenn egyenlőség. 4. Az háromszög oldalai ; ; egység. Számítsa ki a oldalhoz tartozó súlyvonal hosszát. Megoldás. Jelölje a oldal felezőpontját , az szöget , így az szög , végül legyen . Az és az háromszögekben alkalmazzuk a koszinusztételt:
mert . E két egyenlet összeadása, majd a kapott egyenlet rendezése után
Az adatok a háromszöget egyértelműen meghatározzák, igy az súlyvonal hossza egység. 5. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek az (egyenlete: ) és az (egyenlete: ) egyenesek közé eső szakaszát a pont az e egyenestől számítva arányban osztja. Megoldás. Az egyenes egy tetszőleges pontja , , az egyenes egy tetszőleges pontja , . Azokat az és pontokat keressük, amelyekre azaz Mivel , ezért és ahonnan , , azaz a szóban forgó pont és az pont , így a keresett egyenes egyenlete: . Megjegyzés: A feladat más módon is megoldható. Az és egyenes metszéspontja . Legyen az a pont, amelyre . Most . A ponton áthaladó, az egyenessel párhuzamos egyenes (egyenlete: az egyenest az pontban metszi (miért?), így az egyenes egyenlete: . 6. Egy négyzetes oszlop alapéle , magassága (térfogatát jelölje ); egy szabályos háromoldalú gúla alapéle , magassága (térfogatát jelölje .) a) Mekkora a arány, ha ? b) Mekkora az arány, ha és a négyzetes oszlop palástfelszíne egyenlő a gúla palástfelszinével (oldallapjai területének összegével)? Megoldás. a) A feltétel szerint , tehát | | s mivel , ezért . b) A gúla alaplapjának magassága , ennek harmada . Ha a gúla oldallapjának a oldalhoz tartozó magassága , akkor | | ezért . A feltétel szerint a palást felszínek egyenlők, tehát amiből , azaz . 7. Oldja meg a egyenlőtlenséget! Vegyük figyelembe, hogy és . Azonosságok alkalmazásával, ekvivalens átalakításokkal kapjuk, hogy
Legyen , ekkor , és az egyenlőtlenség a következő alakra hozható Ennek megoldása (algebrai vagy grafikus úton) így , vagy . A 3 alapú logaritmus- (vagy az exponenciális-) függvény szigorú monoton növekedése miatt az egyenlőtlenség megoldásai 8. Mely -ra van pontosan egy valós gyöke az egyenletnek? Megoldás. Az egyenletnek , esetén van értelme, azaz ha | | Az egyenletnek akkor van pontosan egy valós gyöke, ha a diszkrimináns nulla. Ez akkor teljesül, ha Mivel , ezért .
Ez utóbbi egyenlet megoldásai | |
tehát megoldások. Ha , akkor szintén megoldás; ha , akkor , így nem megoldás, míg ha , akkor szögek egybeesnek az szögekkel, így attól nem eltérő megoldások.
|