Kezdőlap


Cím:	Olimpiára előkészítő feladatok - 1989.
Füzet:	1989/január, 5 - 7. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1988. november 18-án került sor a jövő évi Nemzetközi Matematikai Diákolimpiára készülő magyar diákok első matematika versenyére. A versenyen 15 feladat szerepelt, mindegyik feladat kérdésére egyetlen, 1000-nél kisebb pozitív szám volt a válasz. A versenyzőknek csak ezt a számot kellett leírniuk minden egyes feladat esetén.^{$^{*}$}

A feladatok:

1. Egy 10 nyomógombos öt-nyomásos zár úgy nyílik, hogy tetszőleges sorrendben megnyomjuk az öt megfelelő gombot. A zárat átalakítják, és ezután egytől kilencig tetszőleges számú nyomógombon beállítható a zárat nyitó kombináció. Mennyivel nő így a lehetőségek száma? (A verseny tétellapján sajnálatos módon kimaradt a szöveg második szava, a "10'' szám, így ezt a feladatot a verseny értékelése során nem vették figyelembe.)

2. Tetszőleges pozitív egész

k

-ra jelölje

Q_{1} (k)

a tízes számrendszerben felírt

k

szám jegyeinek a négyzetösszegét. Ha

n \geq 2

, akkor legyen

\begin{matrix} Q_{n} (k) = Q_{1} (Q_{n - 1} (k)) . \end{matrix}

Határozzuk meg

\begin{matrix} Q_{1088} (11) \end{matrix}

értékét.

3. Mennyi

{(log_{2} x)}^{2}

, ha

log_{2} (log_{8} x) = log_{8} (log_{2} x)

4. Legyen

| x_{i} | < 1

, ha

i = 1, 2, ..., n

. Tegyük fel továbbá, hogy

| x_{1} | + | x_{2} | + ... + | x_{n} | = 19 + | x_{1} + ... + x_{n} |

. Milyen kicsi lehet az

n

5. Jelölje

\frac{m}{n}

annak a valószínűségét, hogy

10^{99}

egy véletlenszerűen kiválasztott osztója osztható

10^{88}

-nal.
Ha

(m, n) = 1,

akkor mekkora

m + n

értéke?

6. Írjunk pozitív egészeket az ábra 21 üres mezőjébe múgy, hogy mind az öt sorban és mind az öt oszlopban egy‐egy számtani sorozat álljon. Milyen szám kerül a

*

-gal megjelölt mezőbe?

\begin{matrix} * \\ 74 \\ 186 \\ 103 \\ 0 \end{matrix}

7. Az

A B C

háromszögben

tg CAB∢=22/7

, az

A

-ból induló magasság pedig két olyan szakaszra osztja a

B C

oldalt, melyek hossza 3 és 17. Mekkora az

A B C

háromszög területe?

8. A pozitív egészekből készíthető rendezett párok halmazán értelmezett

f

függvényre teljesül, hogy

\begin{matrix} f (x, x) = x, f (x, y) = f (y, x) \end{matrix}

és

\begin{matrix} (x + y) f (x, y) = y \cdot f (x, x + y) . \end{matrix}

Mennyi

f (14, 52)

értéke?

9. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek köbe 888-ra végződik?

10. Egy 26 lapú konvex poliédernek 12 négyzet-, 8 szabályos hatszög ‐ és 6 szabályos nyolcszöglapja van. A poliéder minden csúcsában egy-egy négyzet-, hatszög- és nyolcszöglap találkozik. A poliéder csúcsait összekötő szakaszok közül hány halad a poliéder belsejében?

11. Az

L

egyenest a sík adott

Q_{1}, Q_{2}, ..., Q_{n}

pontjai átlagegyenesének mondjuk, ha az

L

egyenesen léteznek olyan

P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}

pontok, hogy

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} \vec{O P_{i}} - \vec{O Q_{i}} = 0 . \end{matrix}

Tudjuk, hogy a

Q_{1} (32;