Cím: 1989. Beszámoló a XXX. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról
Szerző(k):  Pataki János 
Füzet: 1989/szeptember, 252 - 253. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A XXX. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát július 13. és 24. között rendezték az NSZK-beli Braunschweig-ben, Gauss szülővárosában.
A magyar csapat nagyon erős mezőben 50 ország között a 10. helyen végzett. A nemzetek közötti pontversenyt a Kínai Népköztársaság csapata nyerte 237 ponttal.

 

A magyar csapat tagjai:
 

Balogh József és Csirik János, a szegedi Ságvári Endre Gyakorló Gimnázium III. osztályos tanulói, Csúri József és Tarcsay Tamás tanítványai;
Fleiner Tamás és Sustik Mátyás, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulói, Laczkó László és Kőváry Károly tanítványai;
Benczúr Péter, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium III. osztályos tanulója, Thiry Imréné és Kardos Gyula tanítványa;
Pásztor Gábor, a miskolci Földes Ferenc Gimnázium IV. osztályos tanulója, Szabó Kálmán tanítványa.
 

Benczúr Péter 37, Balogh József és Fleiner Tamás 34-34, Pásztor Gábor pedig 30 pontos teljesítménnyel második díjat, Csirik János 23 ponttal harmadik díjat szerzett. Sustik Mátyás 17 ponttal járult hozzá a csapat eredményéhez.
 

A verseny feladatai a következők voltak: *
 

1. Bizonyítsuk be, hogy az {1,2,...,1989} halmaz előáll 117 darab olyan diszjunkt halmaz, A1,A2,...,A117 egyesítéseként, amelyekre teljesül, hogy
a) mindegyiküknek 17 eleme van, továbbá hogy
b) mindegyikükben ugyanannyi az elemek összege.
(7 pont)
(Fülöp-szigetek)
 

2. A hegyesszögű háromszög A-ból, B-ből és C-ből induló belső szögfelezői rendre az A1,B1, illetve C1 pontban metszik a háromszög körülírt körét. AB- és a C-beli külső szögfelező az AA1 egyenest az A0 pontban metszi és hasonlóan kapjuk a B0 és a C0 pontokat. Bizonyítsuk be, hogy
i) az A0B0C0 háromszög területe egyenlő az AC1BA1CB1 hatszög területének kétszeresével;
ii) az A0B0C0 háromszög területe legalább négyszer akkora, mint az ABC háromszög területe.
(7 pont)
(Ausztrália)
 

3. Legyenek n és k adott pozitív egész számok, S pedig olyan n-elemű síkbeli ponthalmaz, amelynek
a) semelyik három pontja nincs egy egyenesen;
b) az S halmaz minden P pontjához található legalább k darab S-beli pont, amelyek mind egyenlő távolságra vannak a P ponttól.
Bizonyítsuk be, hogy
k<12+2n.

(7 pont)
(Hollandia)
 

4. A konvex ABCD négyszög AB,BC és AD oldalaira teljesül, hogy AB=AD+BC. A négyszög belsejében úgy helyezkedik el a P pont, hogy AP=h+AD és BP=h+BC, ahol h éppen a P pontnak a CD egyenestől mért távolsága. Bizonyítsuk be, hogy
1h≧1AD+1BC.

(7 pont)
(Izland)
 

5. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n-hez található n darab szomszédos pozitív egész szám úgy, hogy egyikük sem egyenlő egy prímszám pozitív egész kitevőjű hatványával.
(7 pont)
(Svédország)
 

6. Az 1,2,...,2n-1,2n számok egy x1,x2,...,x2n-1,x2n permutációját nevezzük jónak, ha van olyan i∈{1,2,...,2n-1}, amelyre |xi-xi+1|=n. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n-re az 1,2,...,2n-1,2n számok összes permutációjának több, mint a fele jó.
(7 pont)
(Lengyelország)
*A zárójelben a javaslatot tevő ország neve szerepel.