A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ebben a cikkben néhány, a háromszögek geometriájához tartozó állítást igazolunk, mégpedig oly módon, hogy a bizonyításokban a statika alapfogalmaira, axiómáira, szabályaira támaszkodunk. Feltételezzük, hogy az Olvasó előtt ismeretes az erővektor fogalma és tulajdonságai; a merev testre ható erők összegzésének módja; egy test egyensúlyának feltétele; ... Ennek ellenére ‐ a későbbiekben játszott szerepére tekintettel ‐ kiemeljük, hogy ha egy merev testre három, nem párhuzamos, egy síkban fekvő erő hat, és ezek egymással egyensúlyt tartanak, akkor hatásvonalaik egy pontban metszik egymást.
Bizonyításainkban lényegében ezt a megállapítást alkalmazzuk.
1. A háromszög szögfelezőire vonatkozó tétel
1. ábra Tekintsük az 1. ábra szerint felvett, az háromszög oldalegyenesei mentén ható, egyenlő nagyságú , , , erőket! Mivel ezek az erők nyilvánvalóan egyensúlyban vannak, eredőik, az ábrán látható , , erők szintén egyensúlyban lesznek. Ezek az eredők viszont ‐ a háromszög csúcsainál keletkező rombuszok alapján ‐ a háromszög szögeinek belső szögfelezőire illeszkednek; következésképpen a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Hasonló gondolatmenet alapján az Olvasó maga is könnyen beláthatja, hogy a háromszög két külső és egy belső szögfelezője egy ponton halad át.
2. A háromszög magasságaira vonatkozó tétel
2. ábra A 2. ábrán látható háromszög oldalain úgy helyeztük el az , , , erőket, hogy egy tetszőleges erő választása után az | | (1) | összefüggések teljesüljenek, vagyis erőrendszerünk egyensúlyban legyen, azaz az erők páronként alkotott eredői egy ponton haladjanak át. Határozzuk meg ezen eredők irányát! Adjuk össze például a csúcsban támadó és erőket! E célból bontsuk mindkettőt két összetevőre úgy, hogy ezek egyike az oldallal párhuzamosan, a másik rá merőlegesen helyezkedjen el!
3. ábra A 3. ábra alapján látható, hogy -vel párhuzamos összetevője -vel, azonos állású összetevője pedig -val egyenlő. De az (1) összefüggésből következik, hogy | |
ahonnan . Így és -vel párhuzamos összetevői azonos nagyságúak és ellentétes irányúak, ezért összegük . Ebből az következik, hogy és eredője az oldalra merőleges; ilyen módon az erő hatásvonala az oldalhoz tartozó magassággal egyezik meg. Hasonló módon kaphatjuk, hogy az és erők hatásvonala a háromszög másik két magasságvonalával esik egybe; következésképpen a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást.
3. A háromszög súlyvonalaira vonatkozó tétel
4. ábra Tekintsük a 4. ábrán látható módon elhelyezett , , , erőket! Legyen mindegyik erővektor hossza a megfelelő háromszögoldal fele! Ekkor az és erők eredője a , és erők eredője az és erőké pedig az oldalhoz tartozó súlyvonal mentén hat (lásd a megfelelő erőparalelogrammákat). Mivel pedig , , , egyensúlyban vannak, a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást.
4. A belső szögfelezőkre vonatkozó tétel általánosítása Az háromszögben vegyük fel az szöget és részekre osztó , a szöget és részekre osztó és a szöget és részekre osztó egyenest (5. ábra) !
5. ábra Helyezzünk el az csúcsnál egy tetszőleges nagyságú, -val azonos hatásvonalú erőt, majd bontsuk fel a háromszög oldalai mentén és összetevőkre! Járjunk el hasonló módon a háromszög és csúcsánál is, ezzel együtt azonban -t válasszuk úgy, hogy egyenlő legyen -gyel, -at pedig úgy, hogy nagysága egyenlő legyen -vel! Így az , , erőrendszerrel ekvivalens , rendszerhez jutunk.
Tekintsük a , és arányokat!
Az , és csúcsoknál keletkezett paralelogrammák alapján | | és ezért | | (2) | A továbbiakban két eset lehetséges: I. | | (3) | ekkor , azaz az és erők, s így a velük ekvivalens , , erők is egyensúlyban vannak, és ebből következik, hogy az , és egyenesek egy pontban metszik egymást. II. | | ekkor (2) szerint . Belátjuk, hogy ebben az esetben az , és egyenesek nem metszhetik egy pontban egymást. Tegyük fel ennek ellenkezőjét! Ebben az esetben az , és erőket hatásvonaluk közös pontjába helyezve megkereshetjük eredőjüket , amely ekvivalens kell legyen és eredőjével. Ez azonban nem lehetséges, mert az és a erők eredője az egyenesen fekszik, hatásvonala pedig biztosan különbözik ettől, hiszen nem eleme ennek az egyenesnek. A kapott ellentmondás azt mutatja, hogy az , és egyenesek nem egy ponton haladnak át. Ezek szerint az 5. ábrán látható egyenesek csak akkor metszik egymást egy pontban, ha fennáll a (3) összefüggés. Másképpen szólva: annak, hogy , és egyenesek egy pontban messék egymást, szükséges és elégséges feltétele, hogy (3) teljesüljön. Ezt az állítást a belső szögfelezőkre vonatkozó tétel általánosításának tekinthetjük, hiszen ott nem csak (3) bal oldala, hanem a , , arányok bármelyike is 1-gyel egyenlő. Eredményünkből levezethető a háromszög magasságaira mondott tétel is; javasoljuk, hogy ezt az Olvasó végezze el önállóan.
5. A súlyvonalakra vonatkozó tétel általánosítása, Ceva tétele
6. ábra Tekintsük az háromszöget! Legyen és erők hatásvonala és , eredőjük hatásvonala pedig (6. ábra)! Vegyük fel a oldallal párhuzamos, -n áthaladó egyenest, és bontsuk fel az erőt ; az erőt és összetevőkre! Az ábra alapján | | ahonnan | |
Mivel és erők eredőjének hatásvonala megegyezik -gyel, . Következésképpen | | (4) |
7. ábra
Vegyük most az háromszög oldalain az , , pontokat, és kössük össze őket a szemközti csúcsokkal (7. ábra)! Helyezzük el az , és pontokban támadó , és erőket úgy, hogy hatásvonalaik az , és egyenesek legyenek, majd bontsuk fel őket olyan összetevőkre, melyek a háromszög oldalaira esnek! Mindemellett -et válasszuk tetszőlegesen, az és erőket pedig úgy, hogy teljesüljön! Továbbá (4) szerint | | Ezen egyenlőségek szorzatát képezve kapjuk, hogy | | majd a tényezők sorrendjének változtatásával és (5) figyelembe vételével kapjuk, hogy: | | (6) | Vizsgáljuk az alábbi két esetet: I. | | (7) | Ekkor , azaz ezek az erők egyensúlyban vannak; következésképpen , és is, tehát az , és egyenesek egy pontban metszik egymást. II. Ekkor (6) szerint és különbözőek. Az előző tétel bizonyításakor említett gondolatmenet alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy az , és egyenesek nem haladhatnak át egy ponton. Így annak, hogy az , és egyenesek egy pontban messék egymást, szükséges és elégséges feltétele, hogy fennálljon a (7) egyenlőség. Most bizonyított tételünk Ceva nevét viseli, és ennek valóban speciális esete a súlyvonalakról szóló tétel, hiszen abban az esetben Ceva tétele, csakúgy, mint az előző pontban bizonyított tétel, kiterjeszthető arra az esetre, amikor a vizsgált egyenesek a háromszögön kívül metszik egymást. A mechanika geometriai alkalmazásait érintő kirándulásunkat ezzel befejeztük, csupán az érdekesség kedvéért megemlítjük, hogy szintén statikai megfontolásokkal igazolható többek között Pitagorász-tétele vagy a körlemez egy pontján áthaladó szelőkre vonatkozó tétel. |