Cím:	Az 1987-88. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1988/november, 352 - 354. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első forduló   I. és II. kategória   1. Egy tanácstagi választáson két jelölt indult. A választáson a szavazásra jogosultak $90\%$-a vett részt, de $60$-an érvénytelen szavazatot adtak le. A megválasztott tanácstag a szavazatra jogosultak $49\%$-ának szavazatát kapta; $492$-vel többet, mint vetélytársa. Mennyi volt a szavazásra jogosultak száma? Az érvényes szavazatoknak hány százalékát adták le a megválasztott tanácstagra?   2. Egy háromoldalú gúla egyik csúcsából kiinduló élek páronként merőlegesek egymásra. Az ebben a csúcspontban találkozó lapok területe rendre $A$, $B$, ill. $C$. Fejezzük ki a gúla térfogatát $A$, $B$ és $C$ segítségével.   3. Legyen $ABC$ egyenlő oldalú háromszög! Legyen továbbá $x$ tetszés szerint megadott szakasz! Az $ABC$ háromszög mindegyik oldalát meghosszabbítjuk ezzel az $x$ hosszúságú szakasszal, mégpedig $BA$-t $A$-n túl $A\text{'}$-ig, $CB$-t $B$-n túl $B\text{'}$-ig és $AC$-t $C$-n túl $C\text{'}$-ig.   Bizonyítsuk be, hogy ekkor az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszög köré írt kör középpontja azonos az $ABC$ háromszög köré írt kör középpontjával.   4. Egy kocka éleit tetszőleges módon megszámoztuk az $1$-től $12$-ig terjedő egész számokkal. Ezek után a kocka mindegyik csúcsához felírtuk azt a számot, amelyik egyenlő a belőle kiinduló élekhez írt számok összegével. a) Bizonyítsuk be, hogy ezek az összegek nem lehetnek mind egyenlők. b) Vajon egyenlők lehetnek-e valamennyien abban az esetben, ha az egyik élhez írt számot $13$-ra változtatjuk?   5. Bizonyítsuk be, hogy az $ABC$ háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha (belső) szögeinek $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ mérőszámai eleget tesznek a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha +\text{sin}\beta +\text{sin}\gamma =1+\text{cos}\alpha +\text{cos}\beta +\text{cos}\gamma }\end{array}$  egyenlőségnek.   6. Határozzuk meg az egész $a$, $b$ paramétereknek mindazokat az értékeit, amelyekre az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a^2+b^2\right)x^2+\left(4ab+1\right)x+\left(a^2+b^2\right)=0}\end{array}$ egyenletnek legalább az egyik gyöke egész szám.   III‐IV. kategória   1. Az $ABC$ háromszög oldalaira szerkesszünk hasonló egyenlő szárú háromszögeket, az $ABX$ háromszöget befelé, a $BCY$, $CAZ$ háromszögeket pedig kifelé; az alappal szemközti csúcsok rendre $X$, $Y$, és $Z$. Bizonyítsuk be, hogy ha az $X$, $Y$, $C$, $Z$ pontok nincsenek egy egyenesen, akkor egy paralelogramma csúcsai.   2. Igazoljuk számológép használata nélkül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{1\sqrt[]{2}+2\sqrt[]{1}}+\frac{1}{2\sqrt[]{3}+3\sqrt[]{2}}+\frac{1}{3\sqrt[]{4}+4\sqrt[]{3}}+\text{...}+\frac{1}{1987\sqrt[]{1988}+1988\sqrt[]{1987}}}\end{array}$ nagyobb, mint $\frac{43}{44}$ és kisebb, mint $\frac{44}{45}$.   3. Írjunk az egységsugarú kör köré egyenlő szárú háromszöget. Mennyi a szár hosszának lehető legkisebb értéke?   4. Adott a síkon $n$ pont $\left(n\geqq 3\right)$, amelyek közül semelyik három sem esik egy egyenesbe. A pontok közül pontpárokat választunk ki és ezeket szakaszokkal kötjük össze úgy, hogy a meghúzott szakaszok ne messék egymást (a végpontjaik lehetnek közösek). Igazoljuk, hogy bárhogyan is választjuk ki az összekötött pontpárokat, az így meghúzható szakaszok maximális száma mindig ugyanannyi.   5. $A$ és $B$ olyan érmével játszanak, amelyen a fej dobásának a valószínűsége $p\left(0<p<1\right)$. Ismételten dobálják az érmét, amíg az $FFF$ vagy az $FIF$ sorozat valamelyike meg nem jelenik. Ha $FFF$ előbb jön ki, mint az $FIF$, akkor $A$ nyer, ha pedig az $FIF$ jelenik meg előbb, mint $FFF$, akkor $B$ nyer. A $p$ milyen értékére igazságos a játék?   A második (döntő) forduló feladatai I. kategória   1. Az $ABC$ háromszög $BAC$ szöge derékszög. Az $A$ csúcsból húzott magasság talppontja $D$, a $BAC$ szög szögfelezőjének talppontja $E$. Jelöljük továbbá a $BDA$ szög szögfelezőjének talppontját $M$-mel, az $ADC$ szög szögfelezőjének talppontját $N$-nel. Mutassa meg, hogy az $AMEN$ négyszög négyzet.   2. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget! $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{|x|}|2x|<0.}\end{array}$ 3. A természetes számok sorozatában kijelölünk $2n+1$ egymás után következő számot úgy, hogy a sorozat első $n+1$ számának négyzetösszege egyenlő a maradék $n$ szám négyzetének összegével. Hogyan kell az $n$ értéket megválasztani? Van-e olyan megoldás, amelyben a $2n+1$ szám között az $1988$ is előfordul?   II. kategória   1. Mely pozitív egész $n$ számok esetén négyzetszám, azaz egyenlő valamely egész szám négyzetével a következő összeg: $\begin{array}{c}{\displaystyle S_n=1+1\cdot 2+1\cdot 2\cdot 3+\text{...}+1\cdot 2\cdot \text{...}\cdot n?}\end{array}$ 2. Az $ABCD$ síknégyszög $AC$ és $BD$ átlója a négyszög belsejében levő $O$ pontban metszi egymást. Az $AOB$ háromszög területét jelölje $T_1$, a $COD$ háromszög területét $T_2$, végül az $ABCD$ négyszög területét $T$. a) Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{T_1}+\sqrt[]{T_2}\leqq \sqrt[]{T}\mathrm{.}}\end{array}$ b) Bizonyítsuk be továbbá, hogy az előbbi összefüggésben akkor és csak akkor érvényes az egyenlőség, ha $AB$ és $CD$ párhuzamosak.   3. Bizonyítsuk be, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\frac{3}{4}}\end{array}$ polinomfüggvénynek nincs valós zéróhelye.   III. kategória   1. Az $ABC$ háromszög köré irt körhöz $C$-ben húzott érintő az $AB$ egyenest a $P$ pontban metszi ($P$ és $B$ az $AC$ egyenesnek ugyanazon az oldalán vannak). Jelöljük $F$-fel, illetve $H$-val a $CPA$ háromszög $P$-beli külső szögfelezőjének az $AC$, illetve a $BC$ egyenessel való metszéspontját. Bizonyítsuk be, hogy a $CH$ szakasz az $AF$ és $BH$ szakaszok mértani közepe.   2. Legyen $k$ tetszőleges pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=k\mathrm{,}{x}_{n+1}=k{x}_n+\sqrt[]{\left(k^2-1\right)\left(x_n^2-1\right)}\mathrm{,}\left(n=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{...}\right)}\end{array}$ formában megadott sorozat elemei pozitív egészek.   3. Legyen $n$ pozitív egész, és $H$ az egész számoknak olyan halmaza, hogy minden eleme vagy két $H$-beli elem összege, vagy egy $H$-beli elem kétszerese. Továbbá minden olyan legfeljebb $n$-tagú összeg, amelynek valamennyi eleme $H$-ból való, nem egyenlő nullával. Megengedünk egytagú összeget is. Bizonyítsuk be, hogy $H$-nak legalább $2n+2$ eleme van.   IV. kategória   1. Egy $n$-elemű halmaz összes részhalmaza közül találomra kiválasztunk egyet, majd újra az összes részhalmaz közül megint találomra választunk ki egyet. Bizonyítsuk be, hogy annak a valószínűsége, hogy a két kiválasztott részhalmaz közül az egyik tartalmazza a másikat: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2{\left(\frac{3}{4}\right)}^n-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$ 2. Legyen $N=1988!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \text{...}\cdot 1988$, és tekintsük az összes $i\cdot j$ szorzatot, ahol $0\leqq i\leqq N-1$, $0\leqq j\leqq N-1$. Ha ezt az $N^2$ darab szorzatot maradékosan elosztjuk $N$-nel, akkor a kapott maradékok között a) a $2$ vagy a $3$ fordul elő többször? b) a $2$ vagy az $1987$ fordul elő többször?   3. Ha $k>1$ természetes szám és $S$ egy konvex sokszög, azt mondjuk, hogy $S$ $k$-adolható, ha elhelyezhető a síkon $k$ db egy pontból induló félegyenes úgy, hogy a szomszédos félegyenesek szöge $\frac{2\pi }{k}$, és a félegyenesek az $S$ sokszöget $k$ egyenlő területű részre osztják. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan $S$ konvex sokszög, amely semmilyen $k\geqq 5$ esetén sem $k$-adolható.