Cím: Megjegyzések a "Mérőlap felvételire - 1988. - I." megoldásához
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1988/december, 438 - 439. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. a) x=43; b) x≦-4 vagy 0≦x<43; c) x>43.
2. Az átlók hossza 443, illetve 193 egység.
3. Mindkét egyenlet valamire nézve másodfokú. Az egyenletrendszer megoldásai: x1=2, y1=1;x2=-2,y2=-1;x3=3,y3=-3;x4=-3,y4=3.
4. Az egyenlet D diszkriminánsa D=-4(a2-3a)≧0, ha 0≦a≦3; ekkor valósak az adott egyenlet gyökei. Most p(a)=(x1-x2)2=(D=)9-4(a-32)2. Ez a=32 esetén a legnagyobb (0<32<3), így p(a) legnagyobb értéke 9.
5. Dolgozhatunk paraméter alkalmazásával vagy a megfelelő szerkesztés lépéseit számítással követve. A megoldás során alkalmazhatjuk vektorok 90∘-os elforgatását, valamint összeadását.
A feltételeknek két négyzet felel meg :
B1(4;6),C1(0;8),D1(-2;4), illetve B2(4;-2),C2(0;-4),D2(-2;0).
6.
x1,n=π6+n⋅π2,n∈Z,x2,k=π3+k⋅π2,k∈Z.

7. Mivel q≠1 (q=1 nem felel meg a feltételeknek), ezért q=-2, n=5 adódik. A sorozat első n eleme:
3,-6,12,-24,48.

8. Ha a gúla alapéle a, magassága m, a kocka éle b, akkor b=ama+m, így azt kell igazolni,hogy
(ama+m)3≦49⋅a2m3.
Ekvivalens átalakításokkal kapjuk, hogy
(a+4m)(2a-m)2≧0,
így igaz az állítás. Az egyenlőség m=2a(3b=2a) esetén teljesül. A feladat differenciálszámítás, valamint három pozitív szám számtani és mértani közepe közötti egyenlőtlenséggel is megoldható.