Kezdőlap


Cím:	Válogatás a Kvant feladataiból (1988. január)
Szerző(k):	Erdős László
Füzet:	1988/január, 7 - 9. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Bizonyítsuk be, hogy egyetlen egész együtthatós $P (x)$ polinomhoz sem találhatók olyan különböző $x_{1}$ , $x_{2}$ , $...$ , $x_{n}$ $(n ≧ 3)$ egész számok, amelyekre $P (x_{1}) = x_{2}$ , $P (x_{2}) = x_{3}$ , $...$ , $P (x_{n - 1}) = x_{n}$ , $P (x_{n}) = x_{1}$ .

2. Az

a_{n}

számsorozat (

n = 1, 2, ...)

különböző pozitív egész számokból áll és teljesül rá, hogy

a_{n} < 100 n

. Bizonyítsuk be, hogy a számsorozatban van olyan elem, melynek tízes számrendszerbeli felírásában
a) előfordul az egyes számjegy;
b) előfordul 1986 darab egyes egymás után.

3. Három sokszög úgy helyezkedik el a térben, hogy síkjaiknak egyetlen közös

O

pontja van.
a) Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan sík, amelyre a három sokszöget vetítve a vetületek területe egyenlő.
b) Hány ilyen sík megy át az

O

ponton?

4. Egy buszra a végállomáson

32

utas száll fel, akik

32

különböző, egymástól 1-1 kilométerre levő megállóig akarnak utazni. A vezető indulás előtt szavazást tart arról, hogy melyik megállókban álljanak meg. Egy általa kiválasztott sorrendben felsorolja a

32

megállót, és az utasok minden egyes megállóra külön-külön szavaznak. Egy utas a megálló kihagyására szavaz, ha távolabb akar utazni, tartózkodik, ha közelebb, és csak akkor szavaz az adott megálló mellett, ha éppen ott kíván leszállni. Ha többen szavaznak a soron következő megálló ellen, mint mellette, akkor abban a megállóban nem áll meg a busz, és azok, akik ebben a megállóban akartak volna leszállni, a továbbiakban az ehhez legközelebbi, még nem törölt megállóig utaznak. (Ha két legközelebbi van, akkor a végállomáshoz közelebbit választják.) Természetesen minden egyes megálló esetén mindenki annak megfelelően szavaz, hogy pillanatnyilag hol akar leszállni. Határozzuk meg, hogy
a) legalább
b) legfeljebb

hány helyen áll meg a busz.

5. Bizonyítsuk be, hogy az

A = 111 ... 11

‐

1986

darab egyesből álló ‐ számnak legalább
a)

8

,
b)

128

pozitív osztója van.

6. Egy bajnokságon

16

teniszező indult, mindenki mindenkivel egyszer játszott. Tegyük fel, hogy bármely

10

versenyzőt kiválasztva, ezek körbe állíthatók úgy, hogy mindenki legyőzte a jobb oldali szomszédját.
a) Lehetséges-e a játszmáknak ilyen kimenetele?
b) Mutassuk meg, hogy ha a fenti feltétel teljesül bármely

10

versenyzőre, akkor teljesül bármely

11

-re is.

7. A síkban egy

O

kezdőpontból felmérünk

n

darab egységvektort. Bizonyítsuk be, hogy ha valamely

k < \frac{n}{2}

esetén teljesül, hogy az

O

-n áthaladó bármely egyenes mindkét oldalán legalább

k

darab vektor van, akkor az összes vektor összegének hossza legfeljebb

n - 2 k

. (Az egyenesen fekvő vektor mindkét félsíkhoz számítható.)

8. Keressük meg az összes olyan

a > 0

természetes számot, amelyre

a - 1

felírható az

a

szám
a) két,
b) három

osztójának összegeként. (Az osztók közé számít az

1

is, és egy osztó többször is szerepelhet az előállításban.)
c) Bizonyítsuk be, hogy bármely

n

-re csak véges sok olyan

a

szám létezik, hogy

a - 1

előáll

a

osztói közül

n

darabnak az összegeként.

9. a) Keressünk

11

egymás utáni természetes számot, melyek négyzeteinek összege négyzetszám.
b) Bizonyítsuk be, hogy ha

2 < n < 11

, akkor nem létezik

n

egymás utáni természetes szám, melyek négyzetösszege négyzetszám.

10. Az

f (x)

folytonos függvény minden valós számra értelmezve van, és teljesül rá az

\begin{matrix} f (f (x)) = f (x) + x \end{matrix}

feltétel.
a) Keressünk két ilyen függvényt.
b) Igazoljuk, hogy pontosan két ilyen tulajdonságú függvény van.

11. Tekintsük mindazokat az

A X B Y

tetraédereket, melyek egy adott gömb köré vannak írva. Bizonyítsuk be, hogy rögzített

A

és

B

pontok mellett az

A X B Y

térbeli négyszög szögeinek összege (azaz

A X B ∢ + X B Y ∢ + B Y A ∢ + Y A X ∢

) nem függ

X

és

Y

választásától.

12. a) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

pozitív számokra fennáll az alábbi egyenlőtlenség, ha

c = 4

\begin{matrix} \frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{1} + a_{2}} + ... + \frac{n}{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}} ≦ c \cdot (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}}) . \end{matrix}

b) Bizonyítsuk be, hogy a jobb oldalon

c

értékét

2

-re lehet csökkenteni, de

c < 2

-re nem marad igaz az egyenlőtlenség.

13. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

a_{1} ≧ a_{2} ≧ ... ≧ a_{n}

pozitív számok esetén teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek:

\begin{matrix} a_{1}^{2} - a_{2}^{2} + a_{3}^{2} ≧ {(a_{1} - a_{2} + a_{3})}^{2}; & (1) \\ a_{1}^{2} - a_{2}^{2} + a_{3}^{2} - a_{4}^{2} ≧ {(a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4})}^{2}; & (2) \\ a_{1}^{2} - a_{2}^{2} + ... - {(- 1)}^{n} \cdot a_{n}^{2} ≧ {(a_{1} - a_{2} + ... - {(- 1)}^{n} \cdot a_{n})}^{2} . & (3) \end{matrix}

14. Bizonyítsuk be, hogy egy síkon el lehet helyezni átfedés nélkül néhány körlemezt úgy, hogy mindegyik pontosan

5

másikat érintsen.
Mutassuk meg, hogy

5

helyett

6

érintő körre ez már nem igaz.