A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Bizonyítsuk be, hogy egyetlen egész együtthatós polinomhoz sem találhatók olyan különböző , , , egész számok, amelyekre , , , , .
2. Az számsorozat ( különböző pozitív egész számokból áll és teljesül rá, hogy . Bizonyítsuk be, hogy a számsorozatban van olyan elem, melynek tízes számrendszerbeli felírásában a) előfordul az egyes számjegy; b) előfordul 1986 darab egyes egymás után.
3. Három sokszög úgy helyezkedik el a térben, hogy síkjaiknak egyetlen közös pontja van. a) Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan sík, amelyre a három sokszöget vetítve a vetületek területe egyenlő. b) Hány ilyen sík megy át az ponton?
4. Egy buszra a végállomáson utas száll fel, akik különböző, egymástól 1-1 kilométerre levő megállóig akarnak utazni. A vezető indulás előtt szavazást tart arról, hogy melyik megállókban álljanak meg. Egy általa kiválasztott sorrendben felsorolja a megállót, és az utasok minden egyes megállóra külön-külön szavaznak. Egy utas a megálló kihagyására szavaz, ha távolabb akar utazni, tartózkodik, ha közelebb, és csak akkor szavaz az adott megálló mellett, ha éppen ott kíván leszállni. Ha többen szavaznak a soron következő megálló ellen, mint mellette, akkor abban a megállóban nem áll meg a busz, és azok, akik ebben a megállóban akartak volna leszállni, a továbbiakban az ehhez legközelebbi, még nem törölt megállóig utaznak. (Ha két legközelebbi van, akkor a végállomáshoz közelebbit választják.) Természetesen minden egyes megálló esetén mindenki annak megfelelően szavaz, hogy pillanatnyilag hol akar leszállni. Határozzuk meg, hogy a) legalább b) legfeljebb hány helyen áll meg a busz.
5. Bizonyítsuk be, hogy az ‐ darab egyesből álló ‐ számnak legalább a) , b) pozitív osztója van.
6. Egy bajnokságon teniszező indult, mindenki mindenkivel egyszer játszott. Tegyük fel, hogy bármely versenyzőt kiválasztva, ezek körbe állíthatók úgy, hogy mindenki legyőzte a jobb oldali szomszédját. a) Lehetséges-e a játszmáknak ilyen kimenetele? b) Mutassuk meg, hogy ha a fenti feltétel teljesül bármely versenyzőre, akkor teljesül bármely -re is.
7. A síkban egy kezdőpontból felmérünk darab egységvektort. Bizonyítsuk be, hogy ha valamely esetén teljesül, hogy az -n áthaladó bármely egyenes mindkét oldalán legalább darab vektor van, akkor az összes vektor összegének hossza legfeljebb . (Az egyenesen fekvő vektor mindkét félsíkhoz számítható.)
8. Keressük meg az összes olyan természetes számot, amelyre felírható az szám a) két, b) három osztójának összegeként. (Az osztók közé számít az is, és egy osztó többször is szerepelhet az előállításban.) c) Bizonyítsuk be, hogy bármely -re csak véges sok olyan szám létezik, hogy előáll osztói közül darabnak az összegeként.
9. a) Keressünk egymás utáni természetes számot, melyek négyzeteinek összege négyzetszám. b) Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor nem létezik egymás utáni természetes szám, melyek négyzetösszege négyzetszám. 10. Az folytonos függvény minden valós számra értelmezve van, és teljesül rá az feltétel. a) Keressünk két ilyen függvényt. b) Igazoljuk, hogy pontosan két ilyen tulajdonságú függvény van.
11. Tekintsük mindazokat az tetraédereket, melyek egy adott gömb köré vannak írva. Bizonyítsuk be, hogy rögzített és pontok mellett az térbeli négyszög szögeinek összege (azaz ) nem függ és választásától.
12. a) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges , , , pozitív számokra fennáll az alábbi egyenlőtlenség, ha : | |
b) Bizonyítsuk be, hogy a jobb oldalon értékét -re lehet csökkenteni, de -re nem marad igaz az egyenlőtlenség.
13. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pozitív számok esetén teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek:
14. Bizonyítsuk be, hogy egy síkon el lehet helyezni átfedés nélkül néhány körlemezt úgy, hogy mindegyik pontosan másikat érintsen. Mutassuk meg, hogy helyett érintő körre ez már nem igaz.
|