Kezdőlap


Cím:	Talpponti háromszögek és konvergens sorozatok
Szerző(k):	Hausel Tamás
Füzet:	1988/december, 433 - 437. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az alábbiakban a háromszögek talpponti háromszögének egy tulajdonságát fogjuk igazolni. Ez vezet majd el egy bizonyos sorozat konvergenciájának felismeréséhez, végül pedig a határérték kiszámításához.
Legyen $A B C$ hegyesszögű háromszög, oldalainak hosszúsága $a$ , $b$ és $c$ . Jelöljük a háromszög köré írt kör sugarát $R$ -rel, a háromszög területét $T$ -vel. Ismeretes, hogy

\begin{matrix} T = \frac{a b c}{4 R} . \end{matrix}

(1)

1. ábra

A háromszög magasságvonalait jelöljük

A M_{A}

B M_{B}

C M_{C}

-vel, a magasságpontot

M

-mel (1. ábra); legyenek a háromszög

A

B

C

csúcsánál lévő szögek rendre

α

β

γ

. Ekkor a magasságvonalak által levágott derékszögű háromszögekből

\begin{matrix} A M B ∢ = 180^{\circ} - M_{A} M B ∢ = 180^{\circ} - (90^{\circ} - M_{A} B M ∢) = \\ = 90^{\circ} + C B M_{B} = 90^{\circ} + (90^{\circ} - γ) = 180^{\circ} - A C B ∢, \end{matrix}

tehát

M

-nek az

A B

oldalra vonatkozó

M_{3}

tükörképe a háromszög köré írt körön van, és ugyanígy e körön helyezkedik el

M

-nek a

B C

, ill.

A C

oldalakra vonatkozó

M_{1}, ill. M_{2}

tükörképe is. A tükrözések miatt

\begin{matrix} M M_{1} = 2 \cdot M M_{A}, M M_{2} = 2 \cdot M M_{B}, M M_{3} = 2 \cdot M M_{C}, \end{matrix}

így az

M_{A} M_{B} M_{C}

talpponti háromszöget

M

-ből kétszeresére nagyítva a körbe írt

M_{1} M_{2} M_{3}

háromszöghöz jutunk. A talpponti háromszög köré írható kör

R'

sugara tehát

\begin{matrix} R' = \frac{1}{2} R . \end{matrix}

(2)

A talpponti háromszög oldalainak hosszúságát a koszinusztétel segítségével határozhatjuk meg; például

\begin{matrix} M_{A} M_{C}^{2} = M_{A} B^{2} + M_{C} B^{2} - 2 M_{A} B \cdot M_{C} B \cdot cos β = \\ = c^{2} cos^{2} β + a^{2} cos^{2} β - 2 a c cos^{3} β = (c^{2} + a^{2} - 2 a c cos β) cos^{2} β = b^{2} cos^{2} β, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} M_{A} M_{C} = b cos β, \end{matrix}

(3)

hasonlóan

\begin{matrix} M_{A} M_{B} = c cos γ, \\ M_{B} M_{C} = a cos α . \end{matrix}

(1), (2) és (3) alapján az

M_{A} M_{B} M_{C}

háromszög

T'

területére:

\begin{matrix} T' = \frac{a b c cos α cos β cos γ}{2 R} = 2 T cos α cos β cos γ . \end{matrix}

(4)

Ismeretes azonban (lásd pl. Reiman István: Fejezetek az elemi geometriából, 17‐18. oldal), hogy egy háromszög

α, β, γ

szögeire

\begin{matrix} cos α \cdot cos β \cdot cos γ ≦ \frac{1}{8}, \end{matrix}

(5)

ezért (4) és (5) miatt

\begin{matrix} T' ≦ \frac{1}{4} T . \end{matrix}

(6)

(6)-ban pontosan akkor áll egyenlőség, ha (5)-ben is egyenlőség van, ez pedig az idézett eredmény szerint csak szabályos háromszögnél következik be.
Mivel az

M_{A} M_{B} M_{C}

háromszöget

M

-ből kétszeresére nagyítva a négyszeres területű

M_{1} M_{2} M_{3}

háromszöghöz jutunk, ezért az utóbbi területét

T''

-vel jelölve, a (6) összefüggés így is írható:

\begin{matrix} T'' ≦ T . \end{matrix}

(7)

Vizsgáljuk meg, milyen eljárással lehet az

M_{1} M_{2} M_{3}

háromszögből az eredeti

A B C

háromszöget visszakapni! Mivel például

A M_{C} C

és

A M_{A} C

közös átfogójú derékszögű háromszögek, ezért

A M_{C} M_{A} C

húrnégyszög, tehát

A M_{C} M_{A} ∢ = = 180^{\circ} - γ

. Hasonlóan

B M_{C} M_{B} C

is húrnégyszög, azaz

B M_{C} M_{B} ∢ = 180^{\circ} - γ

, így

A M_{C} M_{A} ∢ = B M_{C} M_{B} ∢

. Ebből tüstént következik, hogy a

C M_{C}

magasságvonal felezi az

M_{A} M_{C} M_{B}

szöget, és így az

M_{1} M_{2} M_{3}

szöget is. A kerületi szögek tétele szerint ekkor a

C

pont felezi az

M_{3}

pontot nem tartalmazó

M_{1} M_{2}

körívet; hasonlóan

A

M_{2} M_{3}

B

pedig a megfelelő

M_{1} M_{3}

körív felezőpontja. Ez a következő kérdést veti fel:

Legyen

A B C

egy tetszőleges háromszög, és legyenek rendre

A_{1}

B_{1}

C_{1}

A B C

háromszög köré írt kör (a harmadik csúcsot nem tartalmazó)

B C

A C

A B

íveinek a felezőpontjai. Igaz-e, hogy az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög területe legalább akkora, mint az

A B C

háromszögnek a területe?

2. ábra

Megmutatjuk, hogy a kérdésre a válasz igenlő, ugyanis

A_{1} B_{1} C_{1}

hegyesszögű háromszög, amelynek a magasságpontjából kétszeresére nagyított talpponti háromszöge éppen

A B C

. Jelöljük az

A B C

háromszög szögeit

α

β

γ

-val (2. ábra). Mivel az

A_{1} B_{1} C_{1}

szöghöz tartozó körív fele az

A C

körívnek, ezért a kerületi szögek tétele értelmében

\begin{matrix} A_{1} B_{1} C_{1} ∢ = \frac{1}{2} A B_{1} C ∢ = \frac{1}{2} (A B_{1} B ∢ + B B_{1} C ∢) = \\ = \frac{1}{2} (A C B ∢ + B A C ∢) = \frac{1}{2} (α + γ), \end{matrix}

hasonlóan

\begin{matrix} C_{1} A_{1} B_{1} ∢ = \frac{1}{2} (β + γ), A_{1} C_{1} B_{1} ∢ = \frac{1}{2} (α + β) . \end{matrix}

α + β

α + γ

β + γ

szögek valamennyien kisebbek

180^{\circ}

-nál, így

A_{1} B_{1} C_{1}

valóban hegyesszögű háromszög. Nyilván

\begin{matrix} A_{1} C_{1} C ∢ = \frac{1}{2} B C_{1} C ∢ = \frac{1}{2} B A C ∢ = \frac{1}{2} α, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A_{1} C_{1} C ∢ + C_{1} A_{1} B_{1} ∢ = \frac{1}{2} α + \frac{1}{2} (β + γ) = 90^{\circ}, \end{matrix}

azaz

A_{1} B_{1}

merőleges

C C_{1}

-re, ugyanígy

A_{1} C_{1}

és

B B_{1}

, illetve

B_{1} C_{1}

és

A A_{1}

is merőlegesek. Ez a korábbiak szerint azt jelenti, hogy

A_{1} B_{1} C_{1}

talpponti háromszögét a magasságpontból kétszeresére nagyítva

A B C

-hez jutunk, ezért (7) miatt az

A B C

háromszög területe legfeljebb akkora, mint az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögé. A

B_{1} C_{1}

A_{1} C_{1}

A_{1} B_{1}

körívek felezőpontjai által meghatározott

A_{2} B_{2} C_{2}

háromszög területe ugyanígy nagyobb (vagy egyenlő) az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög területénél, és legfeljebb akkora, mint a belőle hasonlóan képezett

A_{3} B_{3} C_{3}

háromszögnek a területe.
Az eljárást tovább folytathatjuk, és az így egymás után keletkező

A_{2} B_{2} C_{2},

A_{3} B_{3} C_{3}

A_{4} B_{4} C_{4}

...

háromszögek területei egy növekvő számsorozatot alkotnak. Valamennyi háromszög területe kisebb az őket tartalmazó kör területénél; a területek sorozata tehát konvergens. Próbáljuk meg kiszámítani ezt a határértéket! A kiindulási háromszög oldalait

a

b

c

-vel, szögeit

α

β

γ

-val, a köréírt kör sugarát

R

-rel jelöljük. Mivel

\begin{matrix} a = 2 R sin α, b = 2 R sin β, c = 2 R sin γ, \end{matrix}

ezért az

A B C

háromszög területe (1) alapján

\begin{matrix} T_{0} = \frac{a b c}{4 R} = 2 R^{2} sin α sin β sin γ, \end{matrix}

illetve ugyanígy ‐ az

A_{n} B_{n} C_{n}

háromszög

α_{n}

β_{n}

γ_{n}

szögeivel az

A_{n} B_{n} C_{n}

háromszög területe

\begin{matrix} T_{n} = 2 R^{2} sin α_{n} sin β_{n} sin γ_{n} . \end{matrix}

Az egymásra következő háromszögek képzési szabálya szerint a szögek sorozatára:

\begin{matrix} α_{n + 1} = \frac{β_{n} + γ_{n}}{2}, β_{n + 1} = \frac{α_{n} + γ_{n}}{2}, γ_{n + 1} = \frac{α_{n} + β_{n}}{2} . \end{matrix}

Ennek az összefüggésnek és néhány kísérleti próbálkozásnak alapján az az érzésünk támadhat, hogy

n

növekedtével a szögek egyre inkább "kiegyenlítődnek'', azaz

α_{n}

β_{n}

és

γ_{n}

határértéke egyaránt

60^{\circ}

. Látni fogjuk, hogy ez valóban így is van. Valamivel általánosabban a következő állítást bizonyítjuk ehhez be:

(8) Ha

x_{0}, y_{0}, z_{0}

tetszőleges valós számok, és az

(x_{n}), (y_{n}), (z_{n})

sorozatokat az

\begin{matrix} x_{k + 1} = \frac{y_{k} + z_{k}}{2}, y_{k + 1} = \frac{x_{k} + z_{k}}{2}, z_{k + 1} = \frac{x_{k} + y_{k}}{2} \end{matrix}

szabály szerint képezzük, akkor mindhárom sorozat konvergens, és

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} x_{n} = {lim}_{n \to \infty}^{} y_{n} = {lim}_{n \to \infty}^{} z_{n} = \frac{x_{0} + y_{0} + z_{0}}{3} = A . \end{matrix}

Vegyük észre, hogy

x_{n} + y_{n} + z_{n} = x_{0} + y_{0} + z_{0} = 3 A

. Ezt az

n

-re vonatkozó teljes indukcióval láthatjuk be;

n = 0

-ra állításunk nyilvánvalóan igaz. Tegyük fel, hogy

x_{k} + y_{k} + z_{k} = 3 A

, ekkor

\begin{matrix} x_{k + 1} + y_{k + 1} + z_{k + 1} = \frac{y_{k} + z_{k}}{2} + \frac{x_{k} + z_{k}}{2} + \frac{x_{k} + y_{k}}{2} = x_{k} + y_{k} + z_{k} = 3 A, \end{matrix}

tehát az állítás minden

k

-ra fennáll. Ennek felhasználásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} x_{n + 1} = \frac{y_{n} + z_{n}}{2} = \frac{3 A - x_{n}}{2}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} A - x_{n + 1} = \frac{x_{n} - A}{2}, \end{matrix}

következésképpen (minden

n

-re)

\begin{matrix} | x_{n + 1} - A | = \frac{| x_{n} - A |}{2} . \end{matrix}

Ebből az

n

-re vonatkozó indukcióval egyszerűen adódik, hogy

\begin{matrix} | x_{n} - A | = \frac{| x_{0} - A |}{2^{n}} . \end{matrix}

Nyilván

| x_{0} - A |

nem függ

n

-től,

1 / 2^{n}

pedig

n

növekedtével

0

-hoz tart, így

| x_{n} - A |

határértéke is

0

, azaz

(x_{n})

határértéke

A

; ugyanígy bizonyítható be, hogy az

(y_{n}), (z_{n})

sorozatok is

A

-hoz tartanak.
A bizonyított (8) állítás felhasználásával az

A_{n} B_{n} C_{n}

háromszögek területének határértéke már igen könnyen kiszámítható. (8) miatt ugyanis

{lim}_{n \to \infty}^{} α_{n} = {lim}_{n \to \infty}^{} β_{n} = {lim}_{n \to \infty}^{} α_{n} = 60^{\circ},

ezért a szinuszfüggvény folytonossága miatt ‐ a háromszögek területének határértéke:

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} 2 R^{2} sin α_{n} sin β_{n} sin γ_{n} = 2 R^{2} {(sin 60^{\circ})}^{3} = \frac{3 \sqrt[]{3}}{4} R^{2} . \end{matrix}

A (8) állítás bizonyításának mintájára könnyen igazolhatjuk (8) következő általánosítását:

(9) Legyenek

a_{1}^{(1)}

a_{1}^{(2)}

...

a_{1}^{(k)}

tetszőleges valós számok, és képezzük az

(a_{n}^{(1)})

(a_{n}^{(2)})

...

(a_{n}^{(k)})

sorozatokat az

\begin{matrix} a_{n + 1}^{(l)} = \frac{1}{k - 1} (- a_{n}^{(l)} + \sum_{i = 1}^{k} a_{n}^{(i)}) \end{matrix}

szabály szerint

(l = 1, 2, ..., k)

. Ekkor az

(a_{n}^{(l)})

sorozatok konvergensek, és közös határértékük:

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} a_{n}^{(l)} = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i = 1}^{k} a_{1}^{(i)} . \end{matrix}

A (9) állításból az

a_{1}^{(1)} = a_{1}

a_{1}^{(2)} = a_{1}^{(3)} = ... = a_{1}^{(k)} = a_{2}

speciális eset révén a következőt bizonyíthatjuk be:

(10) Ha

a_{1}

és

a_{2}

valós számok és

k

2-nél nagyobb pozitív egész, akkor az

\begin{matrix} a_{n} = \frac{a_{n - 2} + (k - 2) a_{n - 1}}{k - 1} (n = 3, 4, 5, ...) \end{matrix}

rekurzióval képezett

(a_{n})

sorozat konvergens, és a határértéke:

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} a_{n} = \frac{a_{1} + (k - 1) a_{2}}{k} . \end{matrix}

Hausel Tamás
(Budapest, Fazekas M. Gimn., III. o. t.)