A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Sokszor hasznos lehet, ha irracionális számokat hozzájuk közel eső racionális számokkal helyettesítünk. Most egy olyan módszerrel ismerkedhetünk meg, melynek segítségével teljes általánosságban megoldhatjuk a 2425. gyakorlatot. Közismert, hogy az irracionális számok tetszőleges pontossággal közelíthetők racionális számokkal: adott nevezőjű törtek között ugyanis van olyan, amelyik a nevező reciprokának a felénél közelebb van a vizsgált irracionális számhoz, és ez az eltérés bármilyen kicsi lehet, ha a nevező elég nagy. Vajon van-e ennél jobb módszer, léteznek-e olyan közelítő törtek is, amelyek a nevezőjük reciprokánál kisebb nagyságrendben térnek el a vizsgált számtól? Másképpen szólva lehet-e a valós számokat már viszonylag kis nevezőjű törtekkel is viszonylag jól közelíteni? A számot például a két tizedesre pontos értéknél jobban közelíti meg a lényegesen kisebb nevezőjű és még sokkal jobban a -nál még mindig kisebb nevezőjű . Az viszont bármely tőle különböző törttől legalább távolságra van, és ez általában is igaz: a racionális számokat ilyen értelemben nem lehet jól közelíteni. 1. Tétel: Ha egy racionális számot tőle különböző, nevezőjű racionális törtekkel közelítünk, akkor a hiba mindig legalább . Bizonyítás: Tegyük fel, hogy , Ekkor mert -tól különböző egész szám. Egészen más a helyzet az irracionális számok esetében :
2. Tétel: Tetszőleges irracionális számhoz végtelen sok alakú racionális szám található melyre a közelítés hibája tehát kisebb, mint a nevező reciprokának a négyzete.
(Feladat: Bizonyítsuk be, hogy az ilyen törtek mind különböző nevezőjűek.)
Bizonyítás: Legyen egy olyan pozitív egész szám, hogy már kisebb, mint -nak a hozzá legközelebb eső egész számtól való eltérése. Tekintsük a következő darab -nél kisebb, nem negatív számot: | | Ezek egyike sem és semelyik kettő nem egyenlő, különben az racionális volna. Van tehát köztük kettő, és , melyek eltérése -nél kisebb: különben nem férne el az darab szám a intervallumban. Ekkor a törtrész definíciója szerin
Ha most , akkor választással:
ugyanis miatt Ha pedig , akkor választással jutunk ugyanerre az eredményre.
A nagyobb -nél, hiszen egyébként volna, ellentétben választásával. Egy megfelelő törtet tehát már találtunk. Ha most egy olyan -et választunk, melyre akkor a fenti eljárást helyett -gyel elvégezve olyan törthöz jutunk, melyre
| | és ezért és különbözők. Ha most ezt az eljárást folytatjuk, tehát előállításához úgy választjuk -et, hogy legyen, akkor végtelen sok különböző törtet kapunk, melyekre
Még egy lépéssel továbbmehetünk, és megkérdezhetjük, mi a helyzet, ha egyszerre több számot szeretnénk azonos nevezőjű törtekkel közelíteni. Az előző bizonyítás módszerét magasabb dimenziókban általánosítva (pl. két irracionális szám, és esetén a egységnégyzet koordinátájú pontjait tekintve) a következő eredményre juthatunk:
3. Tétel: Legyenek tetszőleges irracionális számok. Ekkor található végtelen sok pozitív egész, és minden egyes -hoz a megfelelő egész számok úgy, hogy teljesül egyszerre esetén. Ez azt jelenti, hogy a "szimultán'' közelítés hibája még mindig kicsi a nevező reciprokához képest:
* A 3. Tétel ismeretében már bátran hozzáfoghatunk a 2425. gyakorlat következő általánosításához:
4. Tétel: Az valós számokról tudjuk, hogy bárhogyan is hagyunk el közülük egyet, a maradék szám két elemű halmazra bontható úgy, hogy a két halmazban egyenlő az elemek összege. Ekkor a számok mind egyenlők.
Bizonyítás: Ha az számok egészek, akkor csak a 2425. gyakorlat megoldására kell hivatkoznunk. Ebből könnyen nyerhetjük az állítást, ha az számok mind racionálisak, ugyanis a számokat a nevezők legkisebb közös többszörösével szorozva a feltétel továbbra is fennáll, számaink pedig egészek lesznek. Mit tehetünk azonban akkor, ha a számok között irracionálisak is akadnak? Tegyük fel először, hogy az számok mindegyike irracionális. Stratégiánk ekkor a következő lesz : az számokat alkalmas racionális számokkal közelítve a 3. Tételből ezeknek a racionális számoknak az egyenlőségét kapjuk, ebből pedig maguknak az számoknak az egyenlőségét is beláthatjuk.
Legyen tehát a egy, a 3. Tétel biztosította nevező, pedig a tételbeli racionális közelítése, melyre tehát a 3. Tétel szerint
| | (*) |
Megmutatjuk, hogy ha elég nagy ‐ a 3. Tétel biztosítja, hogy ez lehetséges ‐, akkor (*)-ból következik, hogy az racionális számokra is teljesülnek a 4. Tétel feltételei, és így azok egyenlők. Ha ezután jelöli közös értéküket, akkor (*) szerint
| | és így | | amiből valóban a 4. Tétel állítása, adódik, hiszen bármilyen kicsi lehet, ha elég nagy. Be kell még látnunk, hogy az racionális közelítésekre valóban teljesülnek a 4. Tétel feltételei, ha a elég nagy. Válasszunk ki egyet az számok közül, és legyen a megfelelő elhagyása után kapott két egyenlő összegű csoport
| | (Ezek az számok valamilyen sorrendben.) Megmutatjuk, hogy ha elég nagy, akkor a megfelelő
| | különbség abszolút értéke kisebb, mint . Mivel egy nevezőjű tört ‐ hisz ilyenek összegének különbsége ‐ ez csak az esetben lehetséges, vagyis elegendően nagy -ra az közelítésekre valóban teljesülnek a 4. Tétel feltételei. Tekintsük ehhez alábbi alakját:
Tudjuk, hogy
| | így
| |
Mivel összeg abszolút értéke kisebb, vagy egyenlő, mint a tagok abszolút értékének összege, innen (*) felhasználásával
| | adódik. Láttuk, hogy a 3. Tétel biztosítja, hogy még is a -hoz tart, és mivel adott szám ‐ a 2425. gyakorlatban pl. 10 ‐, ezért ha elég nagy, akkor azaz és ezt akartuk bizonyítani. Ezzel teljes egészében igazoltuk a 4. Tételt arra az esetre, ha az , , számok mindegyike irracionális. Látnunk kell, hogy a bizonyítás lényegesen kihasználja, hogy a számok között nincsen racionális, ellenkező esetben ugyanis a (*)-beli becslés hibája -val szorozva már nem volna tetszőlegesen kicsivé tehető. Mit tegyünk tehát, ha a számok között racionális és irracionális számok is vannak. Nos, a 2425. gyakorlat megoldásában láttuk, hogy ha az számok mindegyikéhez hozzáadjuk ugyanazt az számot, akkor az így kapott számokra ugyanaz a feltétel teljesül, mint az számokra. Ha most -t meg tudjuk úgy választani, hogy a számok már mind irracionálisak legyenek, akkor az eddigiek alapján ez a számok egyenlőségét jelentené, ami természetesen maga után vonná az számok egyenlőségét is. Éppen ilyen létezését biztosítja az alábbi, önmagában is érdekes
Lemma: Ha , , , tetszőleges valós számok, akkor létezik olyan valós szám, hogy az összegek mindegyike irracionális.
Bizonyítás: Ha minden racionális, akkor bármely irracionális megfelelő. Föltehető tehát, hogy pl. irracionális. Azt állítjuk, hogy az | | számok között van megfelelő. Ha nem, akkor a skatulya-elv szerint van két különböző , hogy ugyanarra az -re racionális és . Ekkor e két szám különbsége, is racionális, ami nem lehet, hisz irracionális, pedig 0-tól különböző egész. Ezzel a lemmát és egyúttal a 4. Tételt is teljes egészében igazoltuk. A megoldás a KÖMAL 1988/3. számának 114. oldalán olvasható. |