Kezdőlap


Cím:	1986. évi Eötvös Loránd Fizikaverseny
Szerző(k):	Vermes Miklós
Füzet:	1987/február, 81 - 85. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat 1986. október 18-án tartotta 63. versenyét Budapesten és 12 vidéki városban az abban az évben érettségizettek és a középiskolai tanulók részére. A versenyzők 5 órai munkaidő alatt oldhattak meg három fizikai feladatot. Bármely segédeszköz használata meg volt engedve, beleértve természetesen a zsebszámítógépet is. A versenyben 332 dolgozatot adtak be. Ismertetjük a feladatokat és a verseny eredményét.

1. Egy

15 kg

tömegű test súrlódásmentesen csúszik végig egy sinus alakú lejtőn (1. ábra). Amikor

A

-ban van, akkor sebessége

v_{0} = 6 m/s

Mekkora erővel nyomja a lejtőt, amikor

C

-ben van?

A B = 1,4 méter

g = 10 {m/s}^{2}

1. ábra

(Vermes Miklós)

Megoldás.

A

-ban az

m g

súlyerő éppen a körmozgáshoz szükséges

v_{0}^{2} / r

erőt szolgáltatja. Itt

r

valamiféle rádiusz, amivel a sinus-görbe helyettesíthető (görbületi sugár):

\begin{matrix} m g = \frac{m v_{0}^{2}}{r}, \end{matrix}

innen

r = v_{0}^{2} / g = 3,6

méter.
C-ben a test sebessége

v

\begin{matrix} \frac{m v^{2}}{2} = \frac{m \cdot v_{0}^{2}}{2} + m g h, \end{matrix}

innen a C-ben levő sebesség:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{v_{0}^{2} + 2 g h} = \sqrt[]{92} m/s=9,59m/s. \end{matrix}

A nyomóerő

C

-ben:

\begin{matrix} m g + \frac{m v^{2}}{r} = 533 newton. \end{matrix}

2. Egy alul zárt, felül nyitott cső alsó felében

304 K

hőmérsékletű levegő, felette higany van. Az elzárt levegő hőmérsékletét lassan emeljük (2. ábra).
a) Legalább hány fokra kell emelnünk a levegő hőmérsékletét, hogy az összes higany távozzon a csőből?
b) Mennyi hőt kell a levegővel közölnünk, hogy a higany kifolyjon a csőből?
A külső levegő nyomása

76 cm

magas higanyoszlop nyomásával egyezik meg. Ezen a nyomáson,

304 K

hőmérsékleten a levegő sűrűsége

1,2 {g/dm}^{3}

. A levegő fajhője állandó térfogaton

c_{v} = 0,75 J/gK

. A higany és az üveg hőtágulásától eltekintünk.

2. ábra

(Szegedi Ervin)

Megoldás. Első rátekintésre látható, hogy a gáztörvénnyel megegyezésben van az az állapot, amikor

304

K hőmérsékleten nincs higany a csőben. De hőfelvétel nélkül nem lehet átjutni ebbe az állapotba.
Jelöljük

x

-szel a higanyszint felemelkedését eredeti szintjéhez képest. A térfogatot cm-ben, a nyomást higanycentiméterben mérjük. Eredetileg a

76

cm térfogatú levegő

76 + 76

Hgcm nyomáson van,

x

darabbal feljebb tolódva a térfogat

76 + x

, nyomása

76 + 76 - x

. A gáztörvény szerint:

\begin{matrix} \frac{(76 + 76) 76}{304} = \frac{(76 + x) (76 + 76 - x)}{T} . \end{matrix}

Az egyensúlyhoz tartozó

T

hőmérséklet:

\begin{matrix} T = 304 \cdot [1 + \frac{1}{152} \cdot x - \frac{1}{11552} \cdot x^{2}] . \end{matrix}

3. ábra

A függvénynek maximuma van

342

K hőmérsékleten (3. ábra) Ekkor

x = 38

cm,

p = 114

Hgcm.

4. ábra

A körülményeket a

p - V

diagrammon kell megvizsgálnunk (4. ábra). A külső levegő és a higanyoszlop együttes nyomását süllyedő egyenes tünteti fel

76

cm-es térfogattól

114

cm-ig az egyenes pontjai stabilis egyensúlyi állapotokat jelentenek. Efelett az egyenes pontjaihoz tartozó állapotok labilis egyensúlyt jelentenek, mert a gáz nyomása nagyobb, mint az együttes külső nyomás. A

342

K-hez tartozó izotermát érinti a külső nyomás egyenese. Kérdés, amikor a lassú hőmérséklet-emeléssel elértük a

342

K-t és azt egy kissé túllépjük, akkor mi történik a higannyal?
A lassú melegítés történhet úgy, hogy a cső fala jó hővezető, és a cső egy termosztátban van, amelynek hőmérsékletét lassan emeljük. Ha most a levegő hőmérsékletét

342

K-en tartjuk, az állapotot jelző pont az izotermán halad lefelé, és a higany

342

K hőmérsékleten kifolyik.
A termosztátos kivitel esetében számítjuk ki a levegő hőfelvételét. A levegő kezdeti térfogata

0,548 {cm}^{2} \cdot 76 cm = 41,65 {cm}^{3}

, ekkor a sűrűsége

2,4 {g/dm}^{3}

, a levegő tömege

0,1

gramm.

342

K-ig történő melegítés alkalmával a levegő energiájának növekedése:

\begin{matrix} Δ E = 0,75 \cdot 0,1 (342 - 304) = 2,850 joule . \end{matrix}

Az átlagos nyomás eközben:

\begin{matrix} p = \frac{2 \cdot 1,01 \cdot 10^{5} + 1,5 \cdot 1,01 \cdot 10^{5}}{2} = 1,75 \cdot 1,01 \cdot 10^{5} Pa . \end{matrix}

A munkavégzés a

114

cm-es térfogatig történő kiterjedéskor:

\begin{matrix} p Δ V = - 1,75 \cdot 1,01 \cdot 10^{5} Pa \cdot 0,548 \cdot 10^{- 4} \cdot 38 \cdot 10^{- 2} m^{3} = - 3,644 joule . \end{matrix}

Ehhez járul az izotermális kiterjedés munkavégzése; a levegő mennyisége

10^{- 4} : 28,8 = 3,472 \cdot 10^{- 6} kmol

. Az izotermális kiterjedéshez tartozó munkavégzés:

\begin{matrix} - 3,472 \cdot 8200 \cdot 342 \cdot log nat \frac{152}{114} = - 2,801 joule . \end{matrix}

A gázon végzett összes munka:

Δ W = - 3,644 - 2,801 = - 6,445 joule

. A gázzal közölt hő a kísérlet termosztátos kivitele esetében az I. főtétel szerint:

\begin{matrix} Δ Q = 2,850 + 6,445 = 9,295 joule . \end{matrix}

Elképzelhető a kísérlet elvégzése úgy is, hogy a cső fala hőszigetelő és a hőközlést egy beépített izzószál működtetésével hajtjuk végre. Ebben az esetben amikor elértük, vagy esetleg egy kicsit túlléptük a

342 K

hőmérsékletet, a higany nem lökődik ki, mert az izotermálisan kiterjedő és lehűlő levegő nyomása kisebbé válik annál, amennyi a higany kilökéséhez szükséges. Ekkor azt kell keresnünk, hogy mely hőmérsékleten érint a külső nyomást feltüntető egyenes egy adiabatát (5. ábra).

5. ábra

Az adiabata egyenlete:

p V^{ϰ} = K, p = \frac{K}{V^{ϰ}}

.

Érintőjének tangense:

\begin{matrix} \frac{d p}{d V} = \frac{- ϰ K}{V^{ϰ + 1}} = \frac{- ϰ K}{V} \cdot \frac{1}{V^{ϰ}} = \frac{- ϰ p}{V} . \end{matrix}

A külső nyomás egyenesének tangense

- 1

, ezért

- 1 = \frac{- ϰ p}{V}

. Az érintési pontnak az egyenesen is rajta kell lennie:

\begin{matrix} p = 228 - V . \end{matrix}

Az egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} V = \frac{228 ϰ}{1 + ϰ} = 1,33 cm, p = \frac{228}{1 + ϰ} = 95 Hgcm . \end{matrix}

Az ehhez tartozó hőmérséklet

332,5

K. Eddig kell apró adagokban lassan hőt közölni a levegővel, hogy a higany kilökődjön.
Kiszámítjuk az adiabatikus megoldás esetében szükséges hőközlést. A levegő energiájának növekedése:

\begin{matrix} Δ E = 0,75 \cdot 0,1 \cdot (332,5 - 304) = 2,138 joule . \end{matrix}

Az átlagos nyomás:

\begin{matrix} p = \frac{2 \cdot 1,01 \cdot 10^{5} + 1,25 \cdot 1,01 \cdot 10^{5}}{2} = 1,64 \cdot 10^{5} Pa . \end{matrix}

A térfogatváltozás:

\begin{matrix} Δ V = 0,548 \cdot 10^{- 4} m^{2} \cdot 0,75 \cdot 0,75 m = 3,124 \cdot 10^{- 5} m^{3} . \end{matrix}

A gázon végzett munka :

Δ W = - 1,64 \cdot 10^{5} \cdot 3,124 \cdot 10^{- 5} = - 5,123 joule

. Az I. főtétel szerint a hőközlés:

\begin{matrix} Q = 2,138 + 5,123 = 7,261 joule . \end{matrix}

3. Egy kondenzátor

a

és

b

méretű lemezeinek a síkjai

φ

szöget zárnak be. Mekkora a kondenzátor kapacitása? (6. ábra)

6. ábra

(Vermes Miklós)

Megoldás. Az erővonalak a lemezekről merőlegesen indulnak ki (7 ábra). Sűrűségüknek a távolsággal fordított arányban kell csökkenni, mert a potenciálkülönbség a lemezek bármely két pontja között ugyanakkora, és a töltésegység átvivésének a munkája (a potenciálkülönbség) csak így lehet mindenütt ugyanakkora.

7. ábra

A térerő a lemezek bal oldali végén

E_{0}

, a metszési éltől

x

távolságban

\begin{matrix} E = \frac{c}{x} \cdot E_{0} . \end{matrix}

A síkok metszési élétől

x

távolságban

d x

szélességű,

a

hosszúságú sávon

d Q

töltés van, az ezekből kiinduló erővonalak száma

4 π \cdot 9 \cdot 10^{9} d Q

. Ugyanez a térerővel kifejezve:

\begin{matrix} 4 π \cdot 9 \cdot 10^{9} \cdot d Q = a E d x = a \cdot \frac{c}{x} \cdot E_{0} \cdot d x . \end{matrix}

d x

szélességű sávon levő töltés:

\begin{matrix} d Q = \frac{a}{4 π \cdot 9 \cdot 10^{9}} \cdot \frac{c}{x} \cdot d x . \end{matrix}

A kondenzátor összes töltése:

\begin{matrix} Q = \int_{c}^{c + b} \frac{a E_{0} c}{4 π \cdot 9 \cdot 10^{9} x} d x = \frac{a E_{0} c}{4 π \cdot 9 \cdot 10^{9}} \cdot log nat \frac{c + b}{c} . \end{matrix}

A lemezek közötti potenciálkülönbség (az 1 coulomb átvivési munkája) például a lemezek bal szélén,

E_{0}

térerő és

c

út mellett:

\begin{matrix} U = E_{0} c \cdot φ \end{matrix}

A kondenzátor kapacitása

C = Q / U

alapján:

\begin{matrix} C = \frac{a}{4 π \cdot 9 \cdot 10^{9}} \cdot log nat (1 + \frac{b}{c}) . \end{matrix}

A verseny eredménye

I. dí́jat ketten kaptak egyenlő helyezésben: Kaiser András és Kohári Zsolt; mindketten a Budapesti Műszaki Egyetem Villamosmérnöki Karának hallgatói és a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnáziumban érettségiztek mint Horváth Gábor tanítványai.
II. díjat kapott Drasny Gábor, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium III. o. tanulója; tanára: Horváth Gábor.
III. díjat öten kaptak egyenlő helyezésben: Jakovác Antal honvéd, aki a budapesti Apáczai Csere János Gyakorló Gimnáziumban érettségizett, mint Kelemen László tanítványa; Ligeti Zoltán és Montágh Balázs, a budapesti Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Karának fizikus, illetve matematikus hallgatói; mindketten a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnáziumban érettségiztek mint Horváth Gábor tanítványai; továbbá Cynolter Gábor és Gyuris Viktor, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium IV. o. tanulói, tanáruk Horváth Gábor.
Dicséretet ketten kaptak egyenlő helyezésben: Benczúr András, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium IV. o. tanulója (tanára Horváth Gábor) és Török Balázs, a budapesti I. István Gimnázium IV. o. tanulója (tanára Moór Ágnes).
A bizottság dicsérőleg állapította meg, hogy a 2. feladatra kiemelkedően szép megoldást adott Majoros László, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium IV. o. tanulója (tanára Horváth Gábor).