Cím: Az 1987. évi Arany Dániel Matematikai Verseny feladatai
Füzet: 1987/november, 354 - 358. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. forduló
 

Kezdők (legfeljebb I. osztályosok) versenye
 

1. Egy céllövölde használati díját úgy állapították meg, hogy jelentkezésnél mindenki fizet 5 Ft belépődíjat, lövésenként pedig 1,5 Ft-ot. A konkurens cég belépődíja 15 Ft, de itt 50 fillérbe kerül egy lövés. Melyik pavilont részesítenéd előnyben, ha 4, 8 vagy 12 alkalommal szeretnél lőni? Hány lövés esetén részesítenéd előnyben az egyik, ill. a másik pavilont?
 

2. Egy kétjegyű szám elé, majd mögé kettest írtam. Így háromjegyű számokat kaptam. A két háromjegyű szám különbsége 81. Melyik számra gondoltam?
 
3. Az ABCD téglalap oldalaira AB¯=3AD¯. Az AB¯ szakaszt három egyenlő részre osztjuk az M és N pontokkal. Határozzuk meg a következő szögösszeget:
AMD∢+AND∢+ABD∢!
 

4. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet
|1-|x+1||=x-[x].
(Az [x] jelenti az x-nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobbat!)
 

5. Adott egy paralelogramma. Tekintsük az összes olyan négyzetet, amelynek csúcsai a paralelogramma különböző oldalegyeneseire esnek. Hol helyezkednek el a négyzetek szimmetriaközéppontjai?
 

6. Melyek azok az n és k természetes számok, amelyekre
n⋅k=10⋅|n-k|?

7. Négyzetrácsos füzetlapon a négyzetoldalak hosszát tekintsük egységnyinek. Rajzoljunk rá egy téglalapot, melynek csúcsai rácspontokra illeszkednek és oldalai nem párhuzamosak rácsegyenesekkel. Igaz-e, hogy minden esetben egész szám az ilyen téglalap területe? (Először négyzetre oldjuk meg a feladatot.)
 

8. Határozzuk meg 19861987+19871986 10-nél kisebb pozitív osztóit!
 

Haladók (legfeljebb II. osztályosok) versenye
 

1. Oldjuk meg:
x2-2x+1+1=2y|x|=1-y2.



2. Egy kétjegyű számot megszorozva a jegyei felcserélésével nyerhető kétjegyű számmal, 3627-et kaptunk eredményül. Melyik ez a kétjegyű szám?
 

3. Adott egy O1 középpontú k1 kör és egy O2 középpontú k2 kör úgy, hogy k2 áthalad O1-en. Az O2O1 egyenes két pontban metszi a k1 kört, az O2-től távolabbi metszéspontja legyen M. A k1 és k2 kör az A és B pontokban metszi egymást. Tudjuk, hogy az MAO2B négyszög rombusz. Mekkorák a szögei?
 

4. Egy háromszögbe téglalapot írtunk úgy, hogy a téglalap négy csúcsa a háromszög kerületén van. Tudjuk, hogy a téglalap középpontja és a háromszög súlypontja egybeesik. Számítsuk ki a téglalap és a háromszög területének arányát!
 

5. Bizonyítsuk be, hogy 19871987-1987 osztható 36-tal!
 

6. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög szögfelezője kisebb, mint az ugyanabból a csúcsból kiinduló két oldalának mértani közepe!
 

7. Adott n db egész szám, melyek szorzata n, összegük 0. Bizonyítsuk be, hogy n 4-gyel osztható!
 

8. Legyenek a1,a2,...,an egymástól különböző, egynél nagyobb természetes számok. Bizonyítsuk be, hogy
(1-1a12)(1-1a22)⋯(1-1an2)>12.
 

II. forduló
 

Kezdők (I. osztályosok)
 

A szakközépiskolások feladatai
 

1. Melyek azok a különböző számjegyekből álló hatjegyű számok, melyeknek számjegyei ‐ valamilyen sorrendben ‐ 1,2,...,6, és az első két számjegyből álló kétjegyű szám osztható kettővel, az első három számjegyből álló háromjegyű szám osztható hárommal, és így tovább, és maga a szám osztható hattal?
 

2. Legyen egy trapéz egyik szárának végpontja P és Q. A P és Q csúcsoknál lévő belső szög szögfelezői a szemközti szár F felezési pontjában metszik egymást. Bizonyítsa be, hogy a trapéz területe PF⋅FQ!
 

3. Oldja meg a valós számok lehető legbővebb részhalmazán az alábbi egyenlőtlenséget:
2x+2x2+3x+2≧-1.
 

Az általános tantervű osztályok feladatai
 

1. Bizonyítsa be, hogy a konvex négyszöget két középvonala négy olyan négyszögre bontja, melyek közül a két‐két szemközti négyszög területének összege egyenlő!
 

2. Az x, y, z valós számokra teljesül, hogy
y2+z2-x22yz+z2+x2-y22zx+x2+y2-z22xy=1.
Igazolja, hogy a három tört közül valamelyik kettő értéke 1!
 

3. Az 1,2,3,...,2000 számokat valamilyen sorrendben egymás mellé írva egy új számot képeztünk. Lehet-e az így kapott szám négyzetszám?
 

A speciális matematika tantervű osztályok feladatai
 

1. Az x, y, z valós számokra teljesül, hogy
y2+z2-x22yz+z2+x2-y22zx+x2+y2-z22xy=1.
Igazolja, hogy a három tört közül valamelyik kettő értéke 1!
 

2. Adott a térben négy különböző pont. Határozza meg azokat a síkokat, amelyek a négy pont mindegyikétől egyenlő távolságra vannak!
 

3. Helyezzünk el egy kör kerületén n pontot, és számozzuk meg ezeket tetszőleges sorrendben az 1-től n-ig terjedő sorszámokkal! Azt mondjuk, hogy két pont, A és B összeköthető, ha nem szomszédosak, továbbá az A és B pontokat összekötő körívek közül legalább az egyiken csak olyan pontok helyezkednek el, melyek sorszáma A sorszámánál és B sorszámánál is kisebb. Igazoljuk, hogy az összeköthető pontpárok száma n-3.
 

Haladók (II. Osztályosok)
 

A szakközépiskolások feladatai
 

1. Az alábbi ábra egy telek alaprajzát ábrázolja: a karikák gyümölcsfákat jelölnek.
 
 

Az A-val jelölt fán egy cinke, a B-vel jelölt fán egy rigó ül. Időegységenként mindkét madár a tőle észak‐déli vagy kelet‐nyugati irányban álló egyik legközelebbi fára repül. Lehetséges-e, hogy valamikor mindketten ugyanazon a fán ülnek?
 

2. Egy ABC háromszög (AC≠BC) beírt körének középpontja O. Az AO egyenes K, a BO egyenes M pontban metszi a szemközti oldalt. Mekkora a háromszög C csúcsánál lévő szöge, ha OM=OK?
 

3. Mekkora kerületű a koordinátasíkon azon (x;y) pontok halmaza, melyek koordinátáira teljesülnek a következők:
|x|≦3,(1)y2-3x2+2y≧-1,(2)y2≦4?(3)



Az általános tantervű osztályok feladatai
 

1. A sík két pontját szomszédosnak nevezzük, ha távolságuk nem nagyobb 1 egységnél. Egy pont önmagának nem szomszédja. Bizonyítsuk be, hogy a sík négy olyan pontja, melyek mindegyikének a fennmaradó három közül legalább kettő szomszédja, mindig lefedhető egy egységnyi sugarú körlappal!
 

2. Bizonyítsuk be, hogy 1-től 1 000 000-ig több olyan egész szám van, amely előáll két négyzetszám összegeként, mint amely két pozitív köbszám összegeként írható fel!
 

3. Legyen n pozitív egész szám. Az {a,b,c} számhármast "jónak'' nevezzük, ha az |a-b|, |b-c|, |c-a| értékek valamilyen sorrendben 1,n,n+1. Be lehet-e osztani az összes egész számot páronként közös elem nélküli "jó'' hármas csoportokba?
 

A speciális matematika tantervű osztályok feladatai
 

1. A sík két pontját szomszédosnak nevezzük, ha távolságuk nem nagyobb 1 egységnél. Egy pont önmagának nem szomszédja. Bizonyítsuk be, hogy a sík négy olyan pontja, melyek mindegyikének a fennmaradó három közül legalább kettő szomszédja, mindig lefedhető egy egységnyi sugarú körlappal!
 

2. Hány (x,y) valós számpárra teljesül, hogy
x2-xy+1=0
és
x2-2xy+2y2+2x-3y-1≦0?

3. Legyenek n, k és d olyan egész számok, melyekre 1≦d≦k≦n-2. Vegyünk fel a körvonalon n különböző pontot. Nevezzünk k szomszédos pontot "k hosszúságú ív''-nek. ‐ Hogyan kell kiválasztanunk a lehetséges n darab, k hosszúságú ív közül d különbözőt, hogy közös pontjaiknak száma a lehető legnagyobb legyen?