Kezdőlap


Cím:	Az 1986-87. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1987/november, 348 - 350. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első forduló

I. és II. Kategória

1. Egy forgáshenger alakú edényben, amelynek alapköre

R

sugarú,

h

magasságig víz van. Az edénybe annyi

r

sugarú golyót dobunk, amennyi csak elfér egy rétegben.

Bizonyítsuk be, hogy ha

h ≧ \frac{2}{3} r

, akkor a víz nem lepi el teljesen a golyókat!

(Feltételezzük, hogy a víz felszíne párhuzamos a henger alapkörének síkjával és

r < R

2. Ha a

3 x^{2} - 2 x + 5

polinomban az

x

helyébe egy másik polinomot helyettesítünk, akkor a

12 x^{4} + 56 x^{2} + 70

polinomot kapjuk.
Mennyi az

x

helyébe helyettesített polinom együtthatóinak összege?

3. Bizonyítsuk be, hogy egy 8 cm oldalú négyzet belsejében tetszés szerint elhelyezett 33 pont közül mindig kiválasztható 3 pont úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög területe nem nagyobb

2 {cm}^{2}

-nél!

4. Az

a_{1}

a_{2}

a_{3}

a_{4}

és

a_{5}

valós számok ‐ a felírt sorrendben ‐ egy számtani sorozat egymást követő elemei. Az

a_{1}

és

a_{5}

\begin{matrix} a_{2} x^{2} + a_{3} x + a_{4} = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet gyökei.
Melyek ezek a valós számok?

5. Tekintsük azt a téglalapot, amelynek csúcspontjai egy derékszögű koordináta‐rendszerben a (0; 0), (50; 0), (50; 53) és a (0; 53) pontok!
Határozzuk meg azoknak a rombuszoknak a számát, amelyeknek csúcspontjai a megadott téglalap belsejébe vagy határára esnek, valamennyi csúcspontjuk mindkét koordinátája egész szám, és átlóik párhuzamosak a szóban forgó téglalap oldalaival!

6. Határozzuk meg az összes olyan

x

és

y

természetes számot (a 0-t is beleértve), amelyek kielégítik az

\begin{matrix} 5^{2 x} - 3 \cdot 2^{2 y} + 5^{x} \cdot 2^{y - 1} - 2^{y - 1} - 2 \cdot 5^{x} + 1 = 0 \end{matrix}

egyenletet!

III. és IV. Kategória

1. Egy egyenes körhenger felszínének és térfogatának mérőszáma egyenlő. Mekkora a henger sugara és magassága, ha mindkettő mérőszáma páros egész szám?

2. Az

A B C D

téglalapból úgy vágtuk ki az

A X Y

szabályos háromszöget, hogy

X

B C

Y

pedig a

C D

oldalon van. Bizonyítsuk be, hogy a téglalapból megmaradó három derékszögű háromszög közül kettő területének összege a harmadik területével egyenlő!

3. Állapítsuk meg az

\begin{matrix} f (x) = \sqrt[]{a^{2} + x^{2}} + \sqrt[]{{(b - x)}^{2} + c^{2}} \end{matrix}

függvény minimumát, ha

a

b

c

adott pozitív valós számok!

4. A

C

csúcsú

γ

szög egyik szárára mérjük fel a

C A

, másik szárára a

C B

szakaszt úgy, hogy a

C A + C B

összeg egy adott szakasszal legyen egyenlő (

0 < γ < 180^{\circ}

).
Bizonyítsuk be, hogy

A

és

B

összes lehetséges helyzeténél az

A B C

háromszögek köré írt köreinek

C

-n kívül van még egy közös pontja!

5. Bizonyítsuk be, hogy
a) megadható 1324 olyan 1987-nél kisebb különböző pozitív egész, amelyek között nincs három egymáshoz páronként relatív prím;
b) akárhogyan adunk is meg 1325 különböző 1987-nél kisebb pozitív egész számot, szükségképpen lesz közöttük három egymáshoz páronként relatív prím!

A második (döntő) forduló feladatai

I. kategória

1. A Mathlon olyan verseny, amely

M

különféle atlétikai számból áll. Egy ilyen versenyen hárman vettek részt,

A

B

és

C

. Mindegyik versenyszámban az első helyezett

p_{1}

pontot, a második

p_{2}

pontot, a harmadik

p_{3}

pontot kapott.

p_{1}

p_{2}

p_{3}

p_{1} > p_{2} > p_{3} > 0

feltételt kielégítő egész számok. (Holtverseny egyik versenyszámban sem fordult elő.)
A versenyen

A

22,

B

és

C

egyaránt 9‐9 pontot szerzett. A 100 m-es síkfutást

B

nyerte. Mennyi

M

, és ki volt a második magasugrásban?

2. Oldja meg a következő egyenletet a pozitív egész számok halmazán!

\begin{matrix} x y z + x z + y z - x y - x - y + z = 1986. \end{matrix}

3. Egy háromszög

a

oldala 4 egység,

cos α = \frac{1}{3}

és a háromszög köré írt kör sugara legfeljebb 4 egység.
Tudjuk, hogy a háromszög minden oldalának mérőszáma egész szám. Határozza meg a

b

és

c

oldal hosszát!

II. kategória

N

olyan szám, amelyről a következőket tudjuk:
a)

N

egy természetes szám négyzete;
b)

N

a tízes számrendszerben olyan négyjegyű szám, amelynek minden jegye kisebb 7-nél;
c) ha

N

mindegyik számjegyét növeljük 3-mal, akkor ismét egy természetes szám négyzetét kapjuk.
Melyik ez az

N

szám?

2. Jelölje

a

b

c

valamely háromszög oldalainak hosszát, továbbá rendre

A

B

, illetve

C

ebben a háromszögben a megadott oldalakkal szemben lévő szögek mérőszámát!
Bizonyítsuk be, hogy ha

\begin{matrix} a b^{2} cos A = b c^{2} cos B = c a^{2} cos C, \end{matrix}

akkor a háromszög egyenlő oldalú!

3. Igaz-e, hogy ha

u

és

v

olyan két valós szám, amelyekre

u

v

és

u v

egy racionális együtthatójú, harmadfokú polinom három gyöke, akkor

u v

racionális?

III. kategória

1. Egy háromszög oldalainak hossza 3, 4 és 5. Hány olyan egyenes létezik, amely a háromszöget úgy vágja ketté, hogy a két rész egyenlő kerületű és egyenlő területű is?

2. Nevezzük el tüskés kockának azt a testet, amit úgy kapunk, hogy a kocka minden lapjára kifelé egybevágó szabályos négyoldalú gúlákat állítunk; a kocka lapjai a gúlák alaplapjai. Mekkora lehet maximálisan a 2-es élhosszúságú kockából származtatott tüskés kocka térfogatának és felszínének aránya?
Bizonyítsuk be, hogy a maximumot adó test élei egyenlők!
Kitölthető-e a tér a maximumot adó egybevágó testekkel egyrétűen és hézagtalanul, azaz úgy, hogy a tér minden pontját legalább egy test a belsejében vagy a határán tartalmazza és két testnek nincs közös belső pontja?

3. Az

f

függvény a [0; 1] intervallumban van értelmezve, és ha

x_{1} \neq x_{2}

, akkor

\begin{matrix} | f (x_{2}) - f (x_{1}) | < | x_{2} - x_{1} |, \end{matrix}

továbbá

f (0) = f (1) = 0

.
Bizonyítsuk be, hogy az értelmezési tartomány bármely

x_{1}

x_{2}

értékpárjára teljesül a következő egyenlőtlenség:

\begin{matrix} | f (x_{2}) - f (x_{1}) | < \frac{1}{2} . \end{matrix}

IV. kategória

1. Egy természetes számot csupaegynek hívunk, ha tízes számrendszerbeli felírásában minden számjegye 1-es (pl. 11, 111, 11111, csupaegy, de 101 nem az).
Mely

m

természetes számokra létezik

m

darab csupaegy úgy, hogy ezek mind különböző maradékot adnak

m

-mel osztva?

2. A [0; 1] intervallumon értelmezett folytonos

f

függvényre

f (0) = 0, f (1) = 1

, továbbá minden

0 < x < 1

értékhez van olyan

h

, hogy

0 ≦ x - h < x + h ≦ 1

és

\begin{matrix} f (x) = \frac{f (x - h) + f (x + h)}{2} . \end{matrix}

Igazoljuk, hogy

f (x) = x

minden

0 < x < 1

-re!

3. Legyenek egy háromszög csúcsai

A_{1}

A_{2}

A_{3}

, a súlypontja

S

.
Messék az

A_{1} S

A_{2} S

A_{3} S

egyenesek a háromszög köré írt kört másodszor a

B_{1}

B_{2}

B_{3}

pontokban. Igazolja, hogy

\begin{matrix} S B_{1} + S B_{2} + S B_{3} ≧ A_{1} S + A_{2} S + A_{3} S! \end{matrix}