F. 2611. Egy téglatest alakú ládát olyan egybevágó téglákkal akarunk megtölteni, amelyek éleinek aránya $1:2:4$. Bizonyítsuk be, hogy ez csak akkor lehetséges, ha a láda úgy is megtölthető, hogy az ugyanolyan hosszú téglaélek mind párhuzamosak legyenek.
A feladatra két megoldást közöltünk a KÖMAL 1987. évi 6. számában. Az alábbi megoldás Hajós Györgytől származik, 1961-ből.
A legrövidebb téglaélt válasszuk hosszegységnek. Olyan $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c$ élű ládát tekintünk, amely megtölthető a megadott téglákkal. Az $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c$ számok mindegyike egész, mert a láda megtöltésekor minden téglaélt egész, 1, 2, 4 hosszúságú téglaélek fednek le. Azt kell bizonyítanunk, hogy az $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c$ számok között van 4-gyel osztható, és van még egy másik páros. Az $ab$, $ac$ és $bc$ szorzatok mind párosak, mert mindegyikük egy-egy ládalap területe, és a láda megtöltésekor minden ládalapot páros, 2, 4 vagy 8 területű téglalapok borítanak be. Eszerint az $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c$ számok közül legalább kettő páros, és már csak azt kell megmutatnunk, hogy van közöttük 4-gyel osztható is. Az $abc$ térfogat osztható 8-cal, ezért ha $a$, $b$ és $c$ közül csak kettő páros, akkor egyikük osztható 4-gyel is.
A nehezebb eset az, amikor $a$, $b$ és $c$ mindegyike páros. Ekkor persze minden ládalap területe osztható 4-gyel. Ha tehát a ládát az egyik ládaélre merőleges síkokkal 1 vastagságú rétegekre vágjuk fel, akkor minden réteg térfogata osztható 4-gyel. Egy-egy ilyen rétegből egy tégla 2, 4 vagy 8 térfogatú részt foglal el aszerint, hogy a tégla 4, 2 vagy 1 hosszúságú élei párhuzamosak-e a kiszemelt ládaéllel. Minthogy 2, 4 és 8 közül csak a 2 nem osztható 4-gyel, az egy ilyen rétegbe nyúló téglák között páros sok olyan van, amelynek a leghosszabb éle párhuzamos a kiszemelt ládaéllel, vagyis avval, amelyikre merőleges síkokkal rétegekre vágtuk a ládát.
Válasszuk ki most az egyik ládalaptól kezdve minden negyediket a rétegek közül. Minden olyan tégla, amelynek leghosszabb, 4 egységnyi éle erre a ládalapra merőleges, belenyúlik e rétegek valamelyikébe, és csak egybe. A fentiek szerint tehát az ilyen állású téglák száma páros. Miután pedig ez a három egy csúcsba futó ládalap mindegyikére teljesül, valamennyi téglát számbavesszük, és így a ládában összesen páros sok tégla van. A láda $abc$ térfogata eszerint a 8-nak páros számú többszöröse, és így 16-tal is osztható. Ezért $a$, $b$ és $c$ között ilyenkor is van 4-gyel osztható.