A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Bevezetés: A pólus, a poláris és tulajdonságaik
A és pontokat a körre nézve konjugáltaknak nevezzük, ha a átmérőjű kör -val ortogonális helyzetű (1. ábra).
1. ábra Azoknak a pontoknak a halmazát, amelyek egy adott pontnak konjugáltjai az közepű, sugarú körre vonatkozóan, polárisának nevezzük -ra nézve. A továbbiakban rögzítjük a kört és elhagyjuk a "-ra nézve'' kifejezés ismételgetését.
I. tulajdonság (a poláris szerkesztése). Tetszőleges (-tól különböző) pont polárisa egyenes, amelyet a 2. ábrán látható módon szerkeszthetünk meg (a számok az egymás utáni szerkesztési lépéseket jelölik).
2. ábra Ha az egyenes a pont polárisa, ezt úgy is mondjuk, hogy az egyenesnek pólusa.
II. tulajdonság (a pólus szerkesztése). Tetszőleges egyenesnek, amely nem megy át -n, pontosan egy pólusa van, amit a 3. ábra szerint szerkeszthetünk meg (amennyiben az egyenes metszi a kört; az egyenes egy külső pontja).
3. ábra III. tulajdonság (kölcsönösség). Ha a pont polárisa átmegy egy ponton, akkor polárisa, , átmegy -n.
IV. karakterisztikus tulajdonság. Az pont akkor és csak akkor van rajta a pont polárisán, ha
A tulajdonságok bizonyítását az olvasóra hagyjuk.
A pólus és a poláris fogalmának alkalmazásai
1. példa (az érintők poláris tulajdonsága). Ha a pontból tetszőleges szelőt húzunk a körhöz, majd a keletkező metszéspont-párokban érintőket húzunk -hoz, az érintők metszéspontjai egy állandó egyenesen vannak.
Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy ez az egyenes éppen polárisa. Ha külső pont, akkor az I. tulajdonság alapján ez a -ből -hoz húzott érintők , érintési pontjait összekötő egyenes. Legyen egy szelő, az -ból és -ből húzott érintők metszéspontja (4. ábra; most még nem tudjuk, hogy a egyenesen van!).
4. ábra Az egyenes az I. tulajdonság alapján polárisa. Mivel ezen rajta van , azért is rajta van polárisán, a egyenesen (a kölcsönösségi tulajdonság alapján).
2. példa (a szelők poláris tulajdonsága). Ha a külső pontból két tetszőleges szelőt húzunk a körhöz, akkor a keletkező metszéspontok által meghatározott húrnégyszög átlóinak metszéspontja, valamint a -t nem tartalmazó oldalegyeneseinek metszéspontja egy, csak a -tól függő egyenesre, a polárisára illeszkednek.
5. ábra Bizonyítás. Legyen és metszéspontja , és -é (5. ábra). Bebizonyítjuk, hogy a , , illetve pont polárisa rendre , , illetve , amiből következik az állítás. A , és háromszögek körülírt körei legyenek , , , messék ezek a , , egyeneseket rendre az , , pontban (6. ábra).
6. ábra Mivel továbbá | | és , ezért az , és négyszögek húrnégyszögek. Ekkor a pont körre vonatkozó hatványának tulajdonságai alapján Ha (3)-at és (3)-t összeadjuk, valamint (4)-ből (4)-t és (5)-ből (5)-t kivonjuk, azt kapjuk, hogy (A fordító megjegyzése. Az olvasóra hagyjuk a hasonló állítás megfogalmazását és bizonyítását arra az esetre, ha egy a belsejében levő pontból indulunk ki.)
(7) és (8), (6) és (7), illetve (6) és (8) alapján és , illetve és , illetve és rajta van , , illetve polárisán, amiből következik állításunk. (A fordító megjegyzése. Amennyiben az és egyenesek párhuzamosak, ez a bizonyítás nem alkalmazható, hiszen nem jön létre az metszéspont.
6.a ábra Ilyenkor szimmetrikus trapéz (6/a ábra) és | | és így húrnégyszög. Ekkor viszont Szorozzuk meg ezt 2-vel és alkalmazzuk a következő összefüggéseket :
Rendezve : | | azaz így rajta van polárisán.)
7. ábra Az eddigi eredményeket összesítve mutatja a 7. ábra; láthatjuk, hány különböző nevezetes pontja van a (külső) pont polárisának: a és érintési pontok, az négyszög és oldalainak, illetve átlóinak metszéspontja ( és ) és az illetve pontpárokban húzott érintők metszéspontjai ( és ).
3. példa (Brocard tétele). Legyen , , és a -ba írt húrnégyszög átlóinak, illetve szemközti oldalpárjainak metszéspontja. Ekkor a háromszög magasságpontja egybeesik középpontjával, -val.
Bizonyítás. Mint az előző feladatban láttuk, , és polárisa a , , illetve egyenes. Mivel egy pont polárisa merőleges a pontot -val összekötő egyenesre, , és , amiből következik, hogy a háromszög magasságpontja (8. ábra). 8. ábra 4. példa. Legyen a -ba írt húrnégyszög (ebben a körüljárásban konvex), és az -ből és -ből húzott érintők metszéspontja. , , , 2, 3, 4). Ekkor az és az négyszögek átlói egy közös pontban metszik egymást. 9. ábra Bizonyítás. Legyen és metszéspontja , -é és -é , -é és -é (9. ábra). Mivel az és szelők átmennek -n, és rajta van polárisán. Mivel pedig és is rajta van ( mint az , -beli érintők közös pontja), azért az egyenes polárisa, tehát átmegy -n.
(Hasonlóan kapjuk, hogy is átmegy -n. (Ha és vagy és párhuzamos, a bizonyítást a "végtelen távoli'' egyenessel kiegészített ‐ projektív ‐ síkon érdemes elmondani. A ford.)
5. példa. A körön adott öt pont: , , , és . Legyen és metszéspontja , és -é , és -é , és -é , és -é , és -é . Ekkor az , , egyenesek egy ponton mennek át vagy párhuzamosak.
Bizonyítás. Ha a három egyenes párhuzamos, kész vagyunk; ha nem, akkor van köztük olyan ‐ feltehetjük, hogy ‐, amelyik metszi a másik kettőt. Legyen és metszéspontja , és -é . Mivel az és négyszögek -ba vannak írva, ezért polárisa átmegy az és illetve a és egyenespár metszéspontján (10. ábra). Ebből következik, hogy polárisa .
10. ábra Hasonlóan kapjuk az és négyszögekből, hogy polárisa átmegy az és , illetve az és egyenespár metszéspontján, azaz polárisa is . Eszerint és polárisa egyaránt , ami csak úgy lehetséges, ha azonos -gyel.
Azt is könnyen láthatjuk, hogy a három egyenes pontosan akkor párhuzamos, ha a -nak átmérője.
(A fordító megjegyzése. Jelen esetben a pólust és a polárist egy speciális kúpszelet (kör) segítségével definiáltuk, és a bizonyításoknál eléggé kihasználtuk az eukleidészi sík speciális tulajdonságait. A projektív geometriai megközelítésben fordított sorrend is elképzelhető: először bevezetjük a polaritás fogalmát (ez pontot egyenesbe, másfelől egyenest pontba vivő, illeszkedéstartó transzformáció, amely a pontnak megfelelő egyenest visszaviszi a pontba. Ezután a pont képét elnevezzük polárisának (az adott polaritásra nézve), az egyenes képét pólusának. Két pontot konjugáltnak nevezünk, ha rajta vannak egymás polárisán, egy pontot pedig önmagával konjugáltnak hívunk, ha rajta van a saját polárisán. Végül kúpszeletnek nevezzük az önmagával konjugált pontok halmazát.)
Feladatok
1. Adott a kör és a egyenes. Az egyenes egy pontja körül megrajzoljuk a kört, amelynek sugara egyenlő az -ből -hoz húzott érintő hosszával. Ez -t -ben és -ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy ha végigfut -n, a húrok egy ponton mennek át vagy pedig párhuzamosak. 2. A körök -ben metszik egymást, és Az szakasz meghosszabbításán felvesszük az pontot és megrajzoljuk a kört, ahol az -ból -hez (vagy -höz) húzható érintő hossza. Ez -et , -ben, -t , -ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy a és egyenes átmegy -n, illetve -n.
A Kvant-ból fordította Kós Géza |