Kezdőlap


Cím:	1986. évi fizika OKTV feladatai
Szerző(k):	Vermes Miklós
Füzet:	1986/október, 321 - 328. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az I. kategóriában a szakközépiskolai tanulók versenyeztek. A II. kategóriába tartozott minden III. osztályos tanuló (kivéve a speciális, illetve komplex osztályok tanulói), továbbá minden, fizikából fakultáción részt nem vevő IV. osztályos tanuló. A III. kategóriába tartozott minden további IV. osztályos tanuló és a speciális, illetve komplex III. osztályos tanulók. A II. és III. kategóriában a feladatok ugyanazok voltak.

A II. és III. kategória feladatai

I. forduló

1. Az

α = 30^{\circ}

hajlásszögű lejtőn

m = 3

kg tömegű test van egy

D = 80 N/m

rugóállandójú rugóhoz erősítve (1/a. ábra). Kezdetben a testet úgy tartjuk, hogy a rugó erőmentes legyen, azután hirtelen elengedjük. A súrlódás igen kicsiny.

g = 10 {m/s}^{2}

1/a ábra

a) Milyen mélységig megy le a test a lejtőn?
b) Hol áll meg a test, ha végül is az igen csekély súrlódás megállítja?

Megoldás. a) A helyzeti energia csökkenése egyenlő a létrejövő rugalmas energiával (1/b. ábra):

1/b ábra

\begin{matrix} m g x \cdot sin α = \frac{D}{2} \cdot x^{2} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = \frac{2 m g x \cdot sin α}{D} = 0,375 méter . \end{matrix}

b) Egyensúly az erőegyenlőség esetében áll be:

\begin{matrix} D y = m g \cdot sin α . \end{matrix}

Innen:

\begin{matrix} y = \frac{m g \cdot sin α}{D} = 0,1875 méter \end{matrix}

2. Egy

15^{\circ}

- os hajlásszögű lejtőn két, egyenként

3 kg

tömegű test áll (2. ábra). A testeket

200 N/m

rugóállandójú rugó köti össze. A felső testnél

0,3

, az alsónál

0,1

a súrlódási együttható.

g = 10 {m/s}^{2}

2. ábra

a) Mekkora közös gyorsulással mozognak a testek?
b) Mennyi a rugó megnyúlása ekkor?

Megoldás. Mindegyik testnél a lejtő menti súlyerő-összetevő:

\begin{matrix} 30 \cdot sin 15^{\circ} = 7,76 newton . \end{matrix}

Mindegyik testnél a lejtőre merőleges súlyerő-összetevő:

\begin{matrix} 30 \cdot cos 15^{\circ} = 29,0 newton . \end{matrix}

A súrlódási erő a felső testnél:

0,3 \cdot 29,0 = 8,7

newton, ez a test egyedül nem indulna el.
A súrlódási erő az alsó testnél:

0,1 \cdot 29,0 = 2,9

newton.
A súlyerők lejtő menti összetevőinek összege:

\begin{matrix} 7,76 + 7,76 = 15,52 newton . \end{matrix}

A súrlódási erők összege:

8,7 + 2,9 = 11,6

newton.
A testet gyorsító erő:

15,52 - 11,6 = 3,92

newton.
A két test együtt elindul, gyorsulásuk:

\begin{matrix} a = F / m = 3,92 : 6 = 0,65 {m/s}^{2} . \end{matrix}

A felső test gyorsításához

0,65 \cdot 3 = 1,95

newton szükséges, amihez

8,7

newton járul a súrlódás miatt. Az összesen

1,95 + 8,7 = 10,65

newton nagyságú erőből levonandó a súly

7,76

newton nagyságú összetevője:

10,65 - 7,76 = 2,89

newton. A rugó nyúlása

2,89 : 200 = 0,01445

méter. Az alsó testtel végzett számítás természetesen ugyanennyit ad.

3. Egy földrengésnél a földfelszín vízszintesen mozgott. Először egy hirtelen lökés

5 cm

- rel jobbra, azután

1

másodperc múlva egy hirtelen lökés

5 cm

- rel balra mozdította el a földfelszínt. A mennyezetről

4 m

hosszú fonálon csillár lóg le. Mekkora amplitúdóval leng a csillár a földrengés után?
(Nagy László)

3. ábra

Megoldás. Egy

4

méteres inga lengésideje

T = 2 π \sqrt[]{l / g} = 4

másodperc, az ehhez tartozó körfrekvencia

ω = 2 π / T = 1,57 s^{- 1}

. Az első lökés után eltelt

1

másodperc alatt az inga egynegyed lengést tett meg, ezért az

1

másodperc elteltekor fonala függőleges (3. ábra). Ebben a pillanatban az ingatest

ω r = 1,57 \cdot 0,05 = 0,0785

m/s sebességgel halad jobb felé. Az ingatest olyan rezgőmozgást végez, amelynek

t

pillanatban a kitérése (4. ábra):

\begin{matrix} 0,05 = A \cdot sin ω t . \end{matrix}

4. ábra

Sebessége ekkor

v = ω r \cdot cos ω t

alapján:

\begin{matrix} 0,0785 = 1,57 \cdot A \cdot cos ω t . \end{matrix}

Négyzetre emeléssel kiküszöbölve

ω t

-t, az amplitúdó:

\begin{matrix} A = 0,0707 méter . \end{matrix}

4. Két rögzített, párhuzamos fémlemezt (síkkondenzátort) feszültségforrásra kapcsoltunk. A lemezek között

600 V/m

térerősségű tér alakult ki (5. ábra).

5. ábra

a) Egyik esetben párhuzamosan a lemezek közé, felül vezetékkel összekötött, kezdetben semleges lemezpárt süllyesztünk. A lemezek közötti távolságok egyenlők. Mekkora térerősségek alakulnak ki?

a) ábra

b) Egy másik esetben a lemezeket a b) rajz szerint helyezzük el. A lemezek közötti távolságok egyenlők. Mekkora térerősségek alakulnak ki a lemezek között?

b) ábra

(Nagy László)

Megoldás. Kezdeti állapotban

U

feszültség és

d

lemeztávolság mellett a térerő (6. ábra):

\begin{matrix} \frac{U}{d} = 600 V/m . \end{matrix}

6. ábra

a) A lemezek közötti térből hiányzik

d / 3

szélességű réteg (7. ábra), emiatt a kapacitás

3 / 2

-szer nagyobb lesz. A töltéssűrűség és vele együtt a térerő is

3 / 2

-szer lesz nagyobb, vagyis a két szélső rétegben a térerősség:

900

N/m.

7. ábra

b) A belógatott lemezpárnak összegezve semlegesnek kell maradnia (8. ábra).

8. ábra

Az eredeti kondenzátor bal oldali lemezének két oldalán ugyanolyan erős

E_{1} = E_{2}

térnek kell kialakulnia. Ezért a belógatott lemezpár jobb oldali lemezének jobb oldali felén kétszer annyi pozitív töltésnek kell jelentkeznie, mint negatív töltésnek. Ennek következtében

E_{3} = 2 E_{2}

.
Az eredeti potenciálkülönbség:

\begin{matrix} 600 d = E_{2} \cdot \frac{d}{2} + E_{3} \cdot \frac{d}{2} . \end{matrix}

Az egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} E_{1} & = E_{2} = 400 V/m, \\ E_{3} & = 800 V/m . \end{matrix}

II. forduló

1. Az

L = 5,6 méter

hosszú fonálon függő

m = 0,5 kg

tömegű testnek vízszintesen

v_{0} = 14 m/s

kezdősebességet adunk (9. ábra). A fonál teherbírása

40 newton

. Hol lesz a test akkor, amikor a fonál elszakad?

g = 10 {m/s}^{2}

9. ábra

(Nagy László)

Megoldás. A körpálya mentén a fonalat

40

newtonnál kevesebb erő feszíti. Keressük azt a

φ

szöget, amelynél a test elhagyja a körpályát (10. ábra). Ennek feltétele, hogy a súlyerő fonálirányú összetevője éppen a körmozgást okozó erővel legyen egyenlő:

\begin{matrix} m g \cdot cos φ = \frac{m v^{2}}{L} . \end{matrix}

10. ábra

Az elváláskor meglevő sebességet az energiatörvényből kapjuk meg:

\begin{matrix} \frac{m v^{2}}{2} = \frac{m v_{0}^{2}}{2} - m g L (1 + cos φ) . \end{matrix}

v^{2}

kiküszöbölésével megkapjuk a körpálya elhagyását jelentő

φ

szöget:

\begin{matrix} cos φ = \frac{v_{0}^{2} / L - 2 g}{3 g} = 0,5, vagyis φ = 60^{\circ} . \end{matrix}

Ekkor a sebesség:

\begin{matrix} v^{2} & = v_{0}^{2} - 2 L g (1 + 0,5) = 28, \\ v & = 2 \sqrt[]{7} = 5,29 m/s . \end{matrix}

Ezzel a sebességgel és

60^{\circ}

-os indítási szöggel ferde hajítás kezdődik. Az elhajított test koordinátái

0

-hoz viszonyítva:

\begin{matrix} x = v \cdot cos φ \cdot t - L sin φ = \sqrt[]{7} \cdot t - 2,8 \sqrt[]{3}, \\ y = v \cdot sin φ \cdot t - g t^{2} / 2 + L cos φ = \sqrt[]{21} \cdot t - 5 t^{2} + 2,8. \end{matrix}

A körrel való metszéspont megkeresése céljából ezeket behelyettesítjük a kör

x^{2} + y^{2} = L^{2}

egyenletébe. Figyelembe véve, hogy számadatainkkal

g L cos φ + v^{2} = 0

, az eredmény:

\begin{matrix} \frac{g^{2}}{4} \cdot t^{4} - v g \cdot sin φ \cdot t^{3} = 0. \end{matrix}

t^{3}

-tel egyszerűsítve:

\begin{matrix} \frac{g^{2}}{4} \cdot t - v g \cdot sin φ = 0. \end{matrix}

A megoldás:

t = 4 v sin φ / g = 0,4 \sqrt[]{21} = 1,833 s

.
Ezzel a körrel való találkozási pont koordinátái:

x = 0

y = - L

. Éppen a kiindulási helyén feszül meg a fonál és szakad el.

2. Egy hengerben héliumgáz van

218,4 K

hőmérsékleten (11. ábra). A henger alapterülete

0,5 m^{2}

, a dugattyú kezdeti magassága

0,32 méter

. A

300 kg

tömegű dugattyút egy rugó köti össze a henger fenekével. A rugóállandó

2,67 \cdot 10^{8} N/m

11. ábra

Ebben az állapotban a rugó nyújtatlan. A külső légnyomás

10^{5} Pa

. A hélium molhője

C_{0} = 12,3 joule/molK

g = 10 {m/s}^{2}

. A henger fala hővezető, ezért a gáz lassan felveszi a külső hőmérsékletet és eközben

1800 joule

munkát végez.
a) Mennyi a külső hőmérséklet?
b) Mennyi a hélium hőfelvétele?
(Jurisits József)

Megoldás. Kezdetben a gáz nyomása

10^{5} + \frac{6000}{0,5} = 1,12 \cdot 10^{5}

Pa, a gáz a dugattyút

0,5 \cdot 1,12 \cdot 10^{5} = 56 000

newton erővel nyomja. A gáz felmelegedésekor a munkavégzés ezen erő és a rugó ereje ellen történik. A munkavégzés

x

méteres emelkedésnél:

\begin{matrix} 56 000 x + 0,5 \cdot 2,67 \cdot 10^{5} x^{2} = 1800. \end{matrix}

Az egyenlet megoldása adja a dugattyú emelkedését:

x = 0,03

méter.
Keressük a gáz normáltérfogatát. A kezdeti térfogat

160 {dm}^{3}

, az általános gáztörvény szerint:

\begin{matrix} \frac{1,12 \cdot 10^{5} \cdot 160}{218,4} = \frac{10^{5} V_{0}}{273} . \end{matrix}

A normáltérfogat

V_{0} = 224 {dm}^{3}

, tehát a feladatban

10

mol héliumról van szó.
A felmelegedett gáz esetében a térfogat

0,5 \cdot 0,35 = 0,175 {dm}^{3}

. Ekkor a rugó ereje

2,67 \cdot 10^{5} \cdot 0,03 = 8000

newton, ami

8000 : 0,5 = 16 000

Pa-t jelent. A felmelegedett gáz nyomása:

\begin{matrix} 1,12 \cdot 10^{5} + 16 000 = 128 000 Pa . \end{matrix}

Az általános gáztörvényből számítjuk a felmelegedett gáz hőmérsékletét:

\begin{matrix} \frac{1,12 \cdot 10^{5} \cdot 0,16}{218,4} = \frac{1,28 \cdot 10^{5} \cdot 175}{T} . \end{matrix}

Innen a hőmérséklet:

T = 273 K

.
A gáz energiájának növekedése:

\begin{matrix} Δ E = 10 \cdot 12,3 \cdot (273 - 218,4) = 6716 joule . \end{matrix}

Az I. főtétel szerint:

\begin{matrix} Δ E = Δ W + Δ Q, \\ 6716 = - 1800 + Δ Q . \end{matrix}

A gáz hőfelvétele

Δ Q = 8516

joule.

A