Kezdőlap


Cím:	Válogatás a Kvant feladataiból (1986. december)
Szerző(k):	Erdős László
Füzet:	1986/december, 454 - 455. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Adott az $a_{1}, a_{2}, ...$ pozitív számok egy szigorúan monoton növő, nem korlátos sorozata. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan $K_{0}$ szám, hogy minden $k > K_{0}$ esetén

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} + ... + \frac{a_{k}}{a_{k + 1}} < k - 1; & (a) \\ \frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} + ... + \frac{a_{k}}{a_{k + 1}} < k - 1985! & (b) \end{matrix}

2. A táblára felírjuk az

\begin{matrix} 1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} ... \frac{1}{11} \frac{1}{12} \end{matrix}

számokat.
a) Igazoljuk, hogy akárhogyan is írunk

+

vagy

-

műveleti jeleket e számok közé, a kapott eredmény nem lehet

0

!
b) Legalább hány számot kell letörölni a tábláról ahhoz, hogy a maradó számok közé a

+

és

-

jeleket alkalmasan beírva az eredmény

0

legyen?

3. Egy háromszög oldalai egész számok, beírt körének sugara egységnyi. Határozzuk meg a háromszög oldalait!

4. Adott a térben egy

S

sík és egy rá merőleges

e

egyenes. Igazoljuk, hogy tetszőleges állású egységkocka

S

-re vonatkozó vetülete területének mérőszáma megegyezik a kocka

e

-re vonatkozó vetületének hosszával!

5. Létezik-e olyan

F

síkbeli halmaz, amellyel nem lehet lefedni egy egységsugarú félkört, de

F

két példánya már lefed egy egységsugarú kört, ha
a)

F

tetszőleges;
b)

F

konvex?

6. Az

A B C

egységoldalú szabályos háromszöget lefedtük öt egybevágó szabályos

H

háromszöggel (esetleg átfedésekkel). Bizonyítsuk be, hogy az

A B C

háromszög

H

-nak már négy példányával is lefedhető!

7. Adott a síkon hat pont, amelyik közül semelyik

3

nincs egy egyenesen. Tekintsük azt a

15

egyenest, amely a hat adott pont közül kettőn átmegy. Legfeljebb hány olyan ‐ az adott pontoktól különböző ‐ pont van a síkon, amelyen a

15

közül három egyenes áthalad?

8. A fehér síkon egy

K_{0}

kék alakzat van. A

K_{0}

alakzatból a

K_{1}

kék alakzat az alábbi szabály szerint képződik, amelyet egyidejűleg alkalmazunk

K_{0}

minden

P

pontjára: ha a

P

köré rajzolt egységsugarú kör területének legalább a fele kék, akkor

P

is kék marad, különben fehér lesz. A következő lépésben a

K_{1}

alakzatból ugyanígy nyerjük a

K_{2}

alakzatot, majd ebből

K_{3}

-t, s.i.t.
a) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

K_{0}

korlátos alakzatból kiindulva véges számú lépés után már az egész sík fehér lesz!
b) Igazoljuk, hogy ha

K_{0}

egy

100

sugarú kör, akkor

1 000 000

lépésen belül az egész sík fehérré válik!

9. Adott

1985

darab súly, rendre

1, 2, ..., 1985

grammosak. Be lehet-e őket

5

csoportba osztani úgy, hogy a súlyok száma is és összege is azonos legyen mind az

5

csoportban?

10. Egy

1 \times 1

méteres, négyzet alakú ketrecben egy tízméteres anakonda van. Münchhausen báró azt állítja, hogy egyetlen lövéssel legalább hat helyen át tudja lőni az anakondát. Nem túloz egy kicsit a báró? (Az anakondát egy tetszőleges tízméteres töröttvonalnak lehet tekinteni, amely egy

1 \times 1

méteres négyzet belsejében van.)

11. Egy szigeten

13

szürke,

15

barna és

17

zöld kaméleon él. Ha két különböző színű kaméleon találkozik, akkor annyira megijednek egymástól, hogy mindketten a harmadik színre változtatják bőrüket. Két azonos színű kaméleon nem ijed meg egymástól, így találkozáskor nem változik meg a színük. Lehetséges-e, hogy valamennyi idő múlva minden kaméleon azonos színű lesz?

12. Egy

5 \times 5

-ös telket

25

darab

1 \times 1

-es parcellára osztottunk. Van

25

manó, akik közül mindegyik legfeljebb

3

másikat utál (az utálat kölcsönös). Bizonyítsuk be, hogy a manók elhelyezhetők az egyes parcellákban úgy, hogy egyikük se utálja a szomszédait! (Két parcella szomszédos, ha van közös éle.)

Válogatta : Erdős László