Cím: Az 1986. évi Arany Dániel Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet: 1986/november, 352 - 355. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kezdők (legfeljebb I. osztályosok)
 

I. forduló
 

1. A következő számokból kihagytunk számjegyeket. Pótolja ki úgy, hogy a kapott szám osztható legyen:
a) 3-mal, b) 4-gyel, c) 6-tal.
□5;45□16;3□(4);2□(3);4□3(6)

Az összes megoldást írja le!
2. Bizonyítsa be, hogy az
N=1986+2(1+2+...+1985)
szám egy természetes szám négyzete.
3. Adott a térben egy S sík és a rá nem illeszkedő A és B pontok. Melyik a legrövidebb A-t B-vel összekötő útvonal, amely az S síknak legalább egy pontját is tartalmazza?
4. Oldja meg a valós számok halmazán a {x-13}-12=1-x egyenletet! ({z} jelenti a szám "tört részét'', azaz {z}=z-k, ahol k a legnagyobb olyan egész szám, amely z-nél nem nagyobb.)
5. Az I.a osztályban kiderült, hogy a félév folyamán 15, 11, 8, 7 és 5 tanuló kapott rendre legalább egy, legalább kettő, legalább három, legalább négy és legalább öt jeles osztályzatot matematikából. Az is kiderült, hogy ötnél több jelest senki sem kapott. Hány jelest osztottak ki matematikából a félév folyamán?
6. Bizonyítsa be, hogy ha az x és y valós számok kielégítik az
x2-3xy+2y2+x-y=0és(1)x2-2xy+y2-5x+7y=0(2)
egyenleteket, akkor xy-12x+15y=0.
7. Az ABC egyenlő szárú háromszögben CA=CB, az alap felezőpontja D, a CB száron D merőleges vetülete P és a DP szakasz felezőpontja F. Bizonyítsa be, hogy az AFPC négyszög területe:
CF⋅AP2!

8. Adott egy szimmetrikus trapéz és a belsejében egy P pont. Igazolja, hogy van olyan négyszög, amelynek csúcsai a trapéz oldalain helyezkednek el és a négyszög oldalainak hosszai megegyeznek P-nek a trapéz csúcsaitól mért távolságaival.
 


Haladók (II osztályosok)
 

I. forduló
 

1. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
|x⋅|x⋅|x-2∥|=x2-2x.

2. Az ábrán látható ABCDEFG hétszög AG oldalát az O pont két szakaszra osztja; AO mérőszáma k egész szám.
 
 

Az O pontból induló OB, OC, OD, OE, OF szakaszok az O középpontú egyenesszöget egyenlő szögekre bontják.
Határozzuk meg azt a legkisebb k értéket, amely esetén OG mérőszáma is egész szám.
3. Igazoljuk, hogy 721-335 osztható százzal.
4. Az ABCDE konvex ötszögben a BC, CD és AE oldalak rendre párhuzamosak az AD, BE, illetve BD átlókkal. Bizonyítsuk be, hogy BCAD=CDBE.
5. Mely pozitív egész számokra igaz az alábbi egyenlőség?
x2y-yz2-x2+z2=30.

6. Három kör, amelyek sugarainak aránya 1:2:3, egy síkon páronként kívülről érinti egymást. Bizonyítsuk be, hogy az érintkezési pontok által meghatározott háromszögnek van 45∘-os szöge!
7. Egy bolha a derékszögű koordináta-rendszer egész koordinátájú pontjain ugrál. Mindig egy szomszédos rácspontra ugrik, függőleges vagy vízszintes irányban. Hány különböző helyen lehet 100 ugrás megtétele után, ha tudjuk, hogy most az origóban van?
 
8. Összeállítható-e egy 1986×1986-os négyzet az ábrán látható T alakból?
 
 

II. forduló

 
Kezdők (I. osztályosok)

Szakközépiskolai tanulóknak
 

1. Egy osztály a tanév folyamán három kirándulást szervezett. Az elsőn az osztály 70%-a vett részt, a másodikon 80%-a, a harmadikon 90%-a. Így 12 tanuló háromszor, a többi kétszer kirándult. Hányan vannak az osztályban?
2. Minden négyjegyű természetes számot osszunk el számjegyeinek összegével! Határozzuk meg a hányados legkisebb és legnagyobb értékét!
3. Adott egy négyzet és egy egyenes, amely két olyan négyszögre bontja a négyzetet, amelyek közül az egyik háromszor akkora területű, mint a másik. Bizonyítsa be, hogyha kilenc ilyen egyenest rajzolunk, közülük legalább három egy ponton megy át! Hol lehet ez a pont?
 

A matematikát általános tanterv szerint tanuló gimnazistáknak
 

1. Határozzuk meg azokat az a, b, c egész számokat (a≠0, a≠b), amelyekre a p(x)=ax2+bx+c jelöléssel p(a)=b2 és p(b)=a2!
2. Hogyan kell felvenni egy adott szabályos ötszöglemezen három pontot úgy, hogy az ezek által meghatározott háromszög legnagyobb területű legyen? Indokolja állítását!
3. Elhelyezhetők-e egy kör kerületén az 1, 2, ..., 12, 13 számok úgy, hogy bármely két szomszédos szám különbsége abszolút értékben legalább 3 és legfeljebb 5 legyen?
 

A speciális matematika tagozatos gimnáziumi tanulóknak
 

1. Határozzuk meg azokat az a, b, c egész számokat (a≠0, a≠b), amelyekre a p(x)=ax2+bx+c jelöléssel p(a)=b2 és p(b)=a2!
2. Legyenek a sík egy P pontján átmenő, páronként metsző, O1, O2, O3 középpontú körök P-től különböző közös pontjai: A, B, C! Igazolja, hogy ha A, B és C P-re nem illeszkedő egyenesen vannak, akkor az O1, O2, O3 és P egy kör pontjai!
3. Melyik az a legkisebb n természetes szám, amelyre igaz a következő állítás: bármely n egymás után következő természetes szám közül mindig ki lehet választani egy olyat, amely számjegyeinek összege osztható tizeneggyel!
 

Haladók (II. osztályosok)
 

Szakközépiskolások feladatai
 

1. Jelöljük P-vel az ABCD téglalap AB oldalának A-hoz közelebb eső harmadoló pontját. Tudjuk, hogy a PD szakasz az AC átlóval derékszöget zár be. Határozzuk meg a téglalap oldalainak arányát!
2. A valós számok halmazán értelmezett x↦f(x) (y=f(x)) és x↦g(x) (y=g(x)) lineáris függvényekről a következőket tudjuk:
f(x)⋅g(x)=f2(x)+g2(x)2-2minden valósx-re,(a)f(0)=-g(0)(b)f(1)=g(-1)(c)


Határozzuk meg a két függvényt!
3. Egy tíz tagú társaság minden tagja legalább hét másikat ismer. Mutassuk meg hogy bármely háromnak van közös ismerőse!
 

Az általános tantervű osztályok feladatai
 

1. Legyen k és d pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ha a k, k+d, k+2d, ... számok között van négyzetszám, akkor végtelen sok is található.
2. Az ABCD téglalap A csúcsából induló szögfelezőjének az ABD háromszögbe eső szakaszán vegyünk fel egy P pontot. A BP és CD, illetve a DP és CB egyenesek metszéspontja legyen E és F. Mutassuk meg, hogy FB=ED!
3. Igazoljuk, hogy ha k egynél nagyobb egész szám, akkor a 4k-nál kisebb, 4k-hoz relatív prímek összege osztható 8k-val.
 

A speciális matematika tantervű osztályok feladatai
 

1. Az első 1986 pozitív egész számot valamilyen sorrendben egymás mellé írtuk. Kaphatunk-e ilyen módon négyzetszámot?
2. A síkon véges sok egységoldalú négyzetlapot helyeztünk el úgy, hogy oldalaik párhuzamosak. A sík bármely pontját legfeljebb két négyzetlap fedi. Mutassuk meg, hogy a négyzetlapok beoszthatók legfeljebb három csoportba úgy, hogy minden csoportban páronként közös pont nélküli négyzetlapok legyenek!
3. Adott egy 25 jegyű A természetes szám. Egy abc háromjegyű szám "kiolvasható'' A-ból, ha A-ban előfordulnak az a, b, c jegyek úgy, hogy a-tól jobbra van b, b-től jobbra van c. Mutassuk meg, hogy van olyan nem 0-val kezdődő, csupa különböző jegyekből álló abc szám, amely nem olvasható ki A-ból!