Cím:	Az 1985-86. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny (matematika) feladatai
Füzet:	1986/november, 346 - 348. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első forduló   1. Egy könyv lapjait megszámoztuk 1-gyel kezdve 1986-tal bezárólag. Hányszor fordul elő a számozásban az 1-es számjegy? 2. Ha egy $a$ oldalú négyzetet párhuzamosan vetítünk az egyik oldalával párhuzamos $e$ egyenesre, akkor a vetület $3a$ hosszúságú szakasz lesz. (Síkidom egyenesen való vetületét azok a pontok alkotják, amelyeket a síkidom összes pontján át húzott, egy adott iránnyal párhuzamos egyenesek metszenek ki az adott egyenesből.) Mekkora szöget zárnak be a vetítősugarak az $e$ egyenessel? 3. Határozza meg azokat az $a_1$, $a_2$, $\text{...}$, $a_{14}$ pozitív egész számokat, amelyek kielégítik a $\begin{array}{c}{\displaystyle 3^{a_1}+3^{a_2}+\text{...}+3^{a_{14}}=6558}\end{array}$ egyenlőséget! 4. Az $ABCD$ szabályos tetraéder $D$ csúcsából a szemközti $ABC$ lapra bocsátott merőleges szakasz (magasságvonal) felezőpontját jelölje $P$. Jelölje továbbá rendre $t_{ABC}$, $t_{ABP}$, $t_{BCP}$, $t_{CAP}$ az $ABC$, $ABP$, $BCP$, $CAP$ háromszögek területét! Igazolja, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{ABC}^2=t_{ABP}^2+t_{BCP}^2+t_{CAP}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (Szabályos tetraédernek nevezzük azt a háromszög alapú gúlát, amelynek élei egyenlők.) 5. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges $a$, $b$, $c$ egész számok esetén az $\begin{array}{c}{\displaystyle abc\left(a^2-b^2\right)\left(b^2-c^2\right)\left(c^2-a^2\right)}\end{array}$ szorzat osztható 80-nal! 6. Határozza meg azoknak az ($x;y$) pontoknak a halmazát, amelyeknek koordinátáira egyidejűleg fennállnak a következő egyenlőtlenségek: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 0\le x\le 2\pi \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0\le y\le 2\pi \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}\left(x-y\right)\le \text{cos}\left(x+y\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ 7. Az $O_1$ középpontú $k_1$ és az $O_2$ középpontú $k_2$ kör az $A$ pontban metszi egymást ($O_1$ a $k_2$ körön, $O_2$ pedig a $k_1$ körön kívül van). Az $O_{1}A$ egyenes a $k_2$ kört a $K_2$ pontban, az $O_{2}A$ egyenes a $k_1$ kört a $K_1$ pontban metszi még egyszer. Igazolja, hogy $O_1{K}_2{K}_1\sphericalangle =O_1{O}_2{K}_1\sphericalangle$. 8. Az $x_1$, $x_2$, $\text{...}$, $x_n$ valós számok egyidejűleg kielégítik az alábbi egyenleteket: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2x_2}& {\displaystyle =x_1+\frac{2}{x_1}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2x_3}& {\displaystyle =x_2+\frac{2}{x_2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ⋮}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2x_n}& {\displaystyle =x_{n-1}+\frac{2}{x_{n-1}}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2x_1}& {\displaystyle =x_n+\frac{2}{x_n}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ a) Bizonyítsa be, hogy $|x_1+x_2+\text{...}+x_n|\ge n\sqrt[]{2}$. b) Oldja meg az adott $n$ egyenletből álló egyenletrendszert!   A második forduló feladatai   I. kategória   1. Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenletrendszert: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2+y^2+z^2}& {\displaystyle =378}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x+y+z}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ 2. Bizonyítsa be, hogy ha egy háromszögben a szögek tangensei számtani sorozatot alkotnak, akkor a szögek kétszeresének sinusai szintén számtani sorozatot alkotnak. 3. Egy üdülő bármely 3 lakója között van kettő, aki nem ismeri egymást; de bármely 7 között van legalább kettő, aki ismeri egymást. Az üdülés befejeztével mindenki megajándékozza minden ismerősét egy-egy ajándéktárggyal. Bizonyítsa be, hogy $n$ lakó esetén legfeljebb $6n$ tárgy kerül ajándékozásra!   II. kategória   1. Jelölje rendre $A$, $B$, $C$, illetőleg $D$ egy paralelogrammának ‐ valamilyen körüljárás szerint ‐ egymás után következő négy csúcsát! Legyen $E$ az $AB$ oldalnak az a pontja, amelyre $2\cdot AE=EB$; $F$ a $BC$ oldalnak az a pontja, amelyre $2\cdot BF=FC$; $G$ a $CD$ oldalnak az a pontja, amelyre $2\cdot CG=GD$; végül $H$ a $DA$ oldalnak az a pontja, amelyre $2\cdot DH=HA$. Hányadrésze az $ABCD$ paralelogramma területének annak a négyszögnek a területe, amelyet az $AG$, $BH$, $CE$ és $DF$ egyenesek zárnak közre? 2. Fessük be egy $3\times 7$ mezőt tartalmazó "sakktábla'' minden mezőjét ‐ tetszés szerinti elosztásban ‐ vagy kékkel vagy sárgával! Nézzük meg ezután ennek a "sakktáblának'' valamennyi olyan, $m\times n$ mezőből álló ‐ téglalap alakú ‐ részét, ahol $2\le m\le 3$ és $2\le n\le 7$. Bizonyítsuk be, hogy ezek között a "résztáblák'' között mindig van legalább egy olyan, amelynek mind a négy sarkában azonos színűek a mezők ‐ bárhogyan színeztük is ki "sakktáblánkat''! 3. Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle 3^n+4^n+\text{...}+{\left(n+2\right)}^n={\left(n+3\right)}^n}\end{array}$ egyenletet a pozitív egész számok halmazán!   III. kategória   1. Egy különböző számokból álló számtani sorozatról tudjuk, hogy kilencedik tagja a második tag köbével egyenlő, továbbá a második tag négyzete és negyedik hatványa is tagja a sorozatnak. Írjuk fel a sorozat első két tagját! 2. Bizonyítsuk be, hogy ha $a$, $b$, $c$, $d$ tetszőleges pozitív számok, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge 2.}\end{array}$ 3. Az $ABCD$ tetraéder $AB$ élének hossza $a$, a $CD$ élé $b$, az $AB$ és $CD$ élek felezőpontjainak a távolsága $k$. Mekkora lehet maximálisan a tetraéder térfogata?   IV. kategória   1. Egy tetraéder kitérő élpárjainak felezőpontjait összekötő szakaszok páronként merőlegesek egymásra. Igazolja, hogy a tetraéder magasságvonalai egyenlő hosszúságúak! 2. Az ($u_n$) (Fibonacci) sorozat definíciója: $\begin{array}{c}{\displaystyle u_0\mathrm{,}{u}_1=1\text{és}{u}_{n+2}=u_n+u_{n+1}\mathrm{,}\text{ha}n\in \text{N}\mathrm{.}}\end{array}$ Igazolja, hogy a ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{u_{2^k}}$ sorozat konvergens és számítsa ki a határértékét! 3. Bizonyítsa be, hogy 1-től 1986-ig a természetes számok kiszínezhetők pirossal és kékkel úgy, hogy ne forduljon elő olyan 18 tagú számtani sorozat, amelynek minden eleme azonos színű!