A szelídítő belép az oroszlán ketrecébe. Azonnal látja, hogy a vadállat morcos kedvében van. Az ajtó azonban becsapódott és belülről nem is nyitható, ráadásul senki sincs hallótávolságban. A szelídítő tudja, hogy ő és az oroszlán egyformán gyorsak. Természetesen kíváncsi, vajon
a) van-e olyan stratégiája, amellyel tetszőleges ideig el tud menekülni, függetlenül attól, hogy a bestia mit tesz; vagy
b) létezik-e a (végtelen intelligenciájúnak feltételezett) oroszlán számára olyan stratégia, amelyet követve képes megfogni őt, bármit is tesz ellene?^{${}^{*}$}
‐ Ha a ketrec az egész sík lenne ‐ töpreng az ember bánatosan ‐, akkor az oroszlán kezdeti helyétől egy egyenes mentén egyre távolodva futnék, és biztos megmenekülnék. De sajnos ott van a rács. Így azután nagyon úgy néz ki, hogy a szelídítőből az állatok királyának tápláléka lesz.
Célunk, hogy felvidítsuk szegényt, és ezért bizonyítjuk, hogy meg tud menekülni (1. tétel). Sőt ha a támadás a Szahara közepén történt volna, még egy pálmafát is ültethetne, és ezt követően tudna úgy mozogni, hogy $\left(i\right)$ mindig a fa árnyékában marad, függetlenül ennek méretétől, $\left(ii\right)$ útja konvergál egy $S_{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}$, ponthoz, és a bestia mindvégig éhen marad. Szinte szükségtelen hozzátenni, hogy emberünk titokban fogja tartani az $S_{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}$ pont helyét. Ez már csak azért is könnyen fog menni, mert maga sem tudja, hol lesz ez a pont; ennek helye ugyanis függ az oroszlán mozgásától.

 

1. ábra

Haan=1/n,n=1,2,3,...,akkor

$\begin{array}{c}{\displaystyle a_1+a_2+a_3+\text{...}=\infty és{a}_1^2+a_2^2+a_3^2+\text{...}\le 2.}\end{array}$

 

Bizonyítás: Mivel

$\begin{array}{c}{\displaystyle a_{k+1}+a_{k+2}+\text{...}+a_{2k}\ge k{a}_{2k}=\frac{1}{2}}\end{array}$

minden $k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}$-re, az $a_1+a_2+a_3+\text{...}$ végtelen sorban van végtelen sok diszjunkt, egymás utáni számokból álló blokk, melyek összege legalább $1/2$. Így világos, hogy a sor divergens.
Másrészt ha $N=\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{...}\mathrm{,}$ akkor
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a_1^2+a_2^2+\text{...}+a_N^2\le 1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\text{...}+\frac{1}{\left(N-1\right)N}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =1+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\text{...}+\left(\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}\right)=2-\frac{1}{N}<2.}\hfill \end{array}}$


Miután a szelídítő bizonyította a lemmát, egy darab krétával, amit az oroszlán volt szíves odadobni neki, gondosan megjelöli a ketrec padlóján az $S_1$ pontot.

 

2. Tegyük fel, hogy emberünk épségben (anélkül, hogy az oroszlán elfogyasztotta volna) elérte az $S_0\mathrm{,}{S}_1\mathrm{,}{S}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{S}_n$ pontokat valamilyen $n$ természetes számra. Jelölje $O_n$ azt a pontot, ahol az oroszlán tartózkodik, amikor a szelídítő $S_n$-ben van. Emberünk sietve bebizonyítja a 2. lemmát:

 

2. Lemma. Ha a szelídítő maximális sebességgel fut $S_n$-ből az $S_n{O}_n$ szakaszra merőleges $e$ egyenes mentén, az oroszlán nem tudja utolérni.

 

Bizonyítás: Legyen $O\text{'}\mathrm{,}S\text{'}$ az oroszlán, illetve a szelídítő helyzete (2. ábra).

 

 

2. ábra

 

Ekkor

$\begin{array}{c}{\displaystyle |O\text{'}S\text{'}|\ge |S\text{'}{O}_n|-|O_{n}O\text{'}|\ge |S\text{'}{O}_n|-|S_{n}S\text{'}|>0.}\end{array}$

Az oroszlánszelídítő és a matematikai pontosság szempontjából egyaránt életbevágó, hogy az utolsó egyenlőtlenség $>$ és nem $\ge$.
A lemma bizonyítása után a szelídítő maximális sebességgel szalad az $e$ egyenesen $\frac{1}{2}{a}_{n}q$ távolságra, úgy választva meg az irányt, hogy ha csak az előzőleg megjelölt $S_1$ pont nincs rajta véletlenül az $S_n{O}_n$ egyenesen, futás közben eleinte közeledjen hozzá. (3. ábra).

 

 

3. ábra

 

(Pillanatnyilag még fél attól, hogy futás közben nekimegy a ketrecnek és összetöri magát, amivel az oroszlán szabad prédájává válik. A 3. lemma szerencsére eloszlatja ebbéli aggályát.)
Ha ezt a szabályt követi, a 2. lemma szerint az oroszlán nem tudja elkapni. Útjának hossza összesen

$\begin{array}{c}{\displaystyle |S_0{S}_1|+\frac{1}{2}q\left(a_1+a_2+a_3+\text{...}\right)\mathrm{,}}\end{array}$

ami az 1. lemma szerint végtelen. És mivel $v_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$ véges, a leírt mozgás a végtelenségig tart. Már csak azt kell megmutatnunk, hogy az $S_n$ pont valóban a ketrec belsejében van. Ez következik abból, ha megmutatjuk, hogy

$\begin{array}{c}{\displaystyle |S_1{S}_n|<q\mathrm{,}n=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,.}}\end{array}$

3. Lemma.

$\begin{array}{c}{\displaystyle {|S_{n+1}{S}_1|}^2-{|S_n{S}_1|}^2\le {\left(\frac{1}{2}{a}_{n}q\right)}^{2}n=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,.}}\end{array}$

Bizonyítás: Jelölje $d_n$ az $S_1$ pontnak az $S_n{O}_n$ egyenestől vett távolságát, és $Q_n$ az $S_1$ merőleges vetületét az $e$ egyenesen.
1. eset $d_n\le \frac{1}{2}{a}_{n}q$ (4. ábra). Ekkor

$\begin{array}{c}{\displaystyle {|S_{n+1}{S}_1|}^2={|S_{n+1}{Q}_n|}^2+{|Q_n{S}_1|}^2\leqq {\left(\frac{1}{2}{a}_{n}q\right)}^2+{|S_n{S}_1|}^2\mathrm{.}}\end{array}$

 

 

4. ábra

 

 

 

5. ábra

 

2. eset. $d_n>\frac{1}{2}{a}_{n}q$ (5. ábra). Ekkor

$\begin{array}{c}{\displaystyle {|S_{n+1}{S}_1|}^2\le {|S_n{S}_1|}^2<{|S_n{S}_1|}^2+{\left(\frac{1}{2}{a}_{n}q\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$

Ezzel a 3. lemmát be is bizonyítottuk.
A lemmában $n$ helyébe $\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}m-1$ értékeket helyettesítve adjuk össze a kapott egyenlőtlenségeket:

$\begin{array}{c}{\displaystyle {|S_m{S}_1|}^2\le {\left(\frac{1}{2}q\right)}^2\left(a_1^2+a_2^2+\text{...}{a}_{m-1}^2\right)<{\left(\frac{1}{2}q\right)}^2\left(a_1^2+a_2^2+\text{...}\right)\le \frac{1}{2}{q}^2<q^2\mathrm{,}}\end{array}$

és így $|S_m{S}_n|<q$. Ezek szerint $q$ választása miatt az egész $S_0{S}_1{S}_2\text{...}$ út a ketrec belsejében fekszik. Tehát valóban megmentettük az oroszlánszelídítőt. Végül vegyük észre, hogy

$\begin{array}{c}{\displaystyle |S_0{S}_m|\le |S_0{S}_1|+|S_1{S}_m|\le \frac{1}{2}p+q<p\mathrm{.}}\end{array}$

 

A 2. tétel bizonyítása

 

Egy alkalmasan választott délibáb segítségével a szelídítő könnyedén elképzelheti, hogy az oroszlánnal együtt egy ketrecben vannak, és így különböző $S_0$ és $p$ értékekre alkalmazhatja az 1. tételt. Legyen a szelídítő kiindulási pontja $S^0$ és legyen az 1. tételben $S_0=S^0$, $p=\frac{1}{2}r$. Használjuk a már leírt stratégiát egészen addig, amíg az ember által megtett út hossza el nem éri az $s$-et, ahol $s$ egy tetszőleges, de rögzített természetes szám. Jelölje $S^1$ azt a pontot, ahová így eljutott. Most változtassuk meg a stratégiát az $S_0=S^1$, $p=\frac{1}{4}r$ értékeknek megfelelően. Ezt ismét csak addig kövessük, amíg az ebben a fázisban megtett út hossza az $S^2$ pontnál eléri az $s$-et. Most megint megváltoztatjuk az eljárást az $S_0=S^2$, $p=\frac{1}{8}r$ választásnak megfelelően, és emellett is kitartunk egy újabb $s$ hosszú út erejéig stb.
Az így menekülő embert az oroszlán az egyes részfutamokban az 1. tétel szerint nem éri utol, az út összhossza összesen $s+s+s+\text{...}$, vagyis a szelídítő örök időkre megmenekül.
Állítsuk meg emberünket $S^k$-ból $S^{k+1}$ felé futtában egy $P$ pontban azért, hogy megvizsgálhassuk helyzetét. Hogy ez ne okozzon gondot a menekülésben, tekintsük e művelet idejét nullának. Vegyük észre, hogy

$\begin{array}{c}{\displaystyle |S^{0}P|\le |S^0{S}^1|+|S^1{S}^2|+\text{...}+|S^{k}P|\le \frac{1}{2}r+\frac{1}{4}r+\text{...}+\frac{1}{2^{k+1}}r<r\mathrm{,}}\end{array}$

és így állandóan élvezheti a pálmafa árnyékát, feltéve, hogy $r$ elég kicsi,
Még azt kell bizonyítani, hogy a szelídítő pályája konvergens. Minden $S^k$ utáni fázisban, mikor emberünk mondjuk $S^{\alpha }$ és $S^{\alpha +1}$ között egy $Q$ pontban van,
${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle |S^{k}Q|\le |S^k{S}^{k+1}|+|S^{k+1}{S}^{k+2}|+\text{...}+|S^{\alpha -1}{S}^{\alpha }|+|S^{\alpha }Q|\le }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \le r\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{k+1}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k+2}+\text{...}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\alpha }+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\alpha +1}\right)<r\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^k\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$

ami tetszőlegesen kicsi, ha $k$ elég nagy. Felhasználva Cauchy konvergencia kritériumát, következik, hogy az út konvergál egy ponthoz. Magát a kritériumot ezen a szinten nehéz volna pontosan megfogalmazni, mert lényegesen túlhaladná ennek a kis jegyzetnek a kereteit.

 

Tanulság: Ha egy oroszlánnal kerülnél szembe, semmi ok az aggodalomra, feltéve hogy akármilyen kicsire össze tudod húzni magad, és akármilyen nagy gyorsulást el tudsz viselni.

---

^{${}^{*}$} Itt, elvben, még egy lehetőség van: akár a szelídítő, akár az oroszlán választ stratégiát, a másik tud nyerni a stratégia ellen. Bár szinte magától értetődő, hogy ez esetünkben nem lehetséges, ennek szigorú bizonyítása lényegesen meghaladná lapunk kereteit. ‐ Szerk.