Az Élet és Tudomány című folyóirat Gondolkodás iskolája rovatának ez évi 5. feladata a következő volt (némi átfogalmazással):
"Periodikus-e a kettőhatványok utolsó két számjegyéből alkotott sorozat?"
A kérdés az ún. "skatulyaelv" felhasználásával egyszerűen megválaszolható. A skatulyaelv lényege az az egyszerű tény, hogy ha $n+1$ tárgyat legfeljebb n skatulyába helyezünk, akkor valamelyik skatulyába legalább két tárgy kerül. A feladatunkban ezt úgy lehet kihasználni, hogy először megmutatjuk, hogy van két különböző kettőhatvány, amely ugyanarra a kétjegyű számra végződik. Valóban, az utolsó két jegy legfeljebb százféle lehet: 00, 01, ..., 99, és így az első 101 darab kettőhatvány között már lesz két olyan, amelyeknek utolsó két jegye azonos.
A következő észrevétel az, hogy ha a $2^k$ és a $2^m$ hatványok ugyanarra a kétjegyű számra végződnek, akkora $2^{k+1}$-nek és a $2^{m+1}$-nek is azonos az utolsó két jegye. Amikor ugyanis a $2^k$ számot kettővel szorozzuk, az eredmény utolsó jegye csak a $2^k$ szám utolsó két jegyétől függ, s ez az utolsó két jegy a $2^k$ és $2^m$ számoknál ugyanaz.
Ez azt jelenti, hogy ha $2^k$ és $2^m\left(k<m\right)$ utolsó két jegye azonos, akkor a $2^{k+1}$ és $2^{m+1}$, a $2^{k+2}$ és $2^{m+2}\mathrm{,}\text{...}$ számok is ugyanarra a két jegyre végződnek, vagyis a $2^k\mathrm{,}{2}^{k+1}\mathrm{,}{2}^{k+2}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{2}^{m-1}$ kettőhatványok utolsó két jegye a vizsgált sorozat egy periódusát adja.
Azonnal felmerül a kérdés, vajon mekkora a kettőhatványok utolsó két jegyéből alkotott sorozat legrövidebb periódusa. (Perióduson ‐ és annak hosszán ‐ általában a legrövidebb periódust értik, ezentúl mi is egyszerűen periódust mondunk legrövidebb periódus helyett.)
A skatulyaelvre támaszkodó bizonyításból láttuk, hogy 101 egymás utáni kettőhatvány között már van kettő, amelyek azonos kétjegyű számra végződnek, így a periódus hossza a százat nem haladja meg. Némi számolással felírhatjuk a periódust (csak az utolsó két jegyet kell kiszámolnunk), s a következő sorozatot kapjuk :
$\mathrm{02,}\text{<span style="font-weight: bold;">04</span>}\mathrm{,}\mathrm{08,}\mathrm{16,}\mathrm{32,}\mathrm{64,}\mathrm{28,}\mathrm{56,}\mathrm{12,}\mathrm{24,}\mathrm{48,}\mathrm{96,}\mathrm{92,}\mathrm{84,}\mathrm{68,}\mathrm{36,}\mathrm{72,}\mathrm{44,}\mathrm{88,}\mathrm{76,}$
$\mathrm{52,}\text{<span style="font-weight: bold;">04</span>}\mathrm{,}\mathrm{08,}\mathrm{16,}\text{...}$

Látható tehát, hogy a várt 100 körüli periódushossz helyett a legrövidebb periódus hossza csupán 20.
Még egy fontos észrevételt tehetünk a sorozat kezdetével kapcsolatban. Jogosan merül fel ugyanis, hogy a $2^1=2$ utolsó két jegyén mit értsünk. A fenti sorozatban ezen a 02-t értettük. Jól mutatja azonban ennek a választásnak az önkényességét az, hogy a 02 ezután sehol sem fordul elő a periódusban, így a sorozatban sem. Az ilyen problémák elkerülése végett a sorozat periodikusságán azt értjük, hogy a sorozat valahonnan ‐ nem feltétlenül az első tagtól kezdve ‐ periodikus, s később majd látni fogjuk a magyarázatot a sorozat elejének szabálytalanságára. (A figyelmes olvasó észrevehette, hogy a feladatra adott előző bizonyítás is ilyen értelemben bizonyította a periodikusságot.)
Az eredeti feladatot általánosabban is megfogalmazhattuk volna úgy, hogy a kettőhatványoknak nem az utolsó két, hanem az utolsó $k$ jegyéből alkotunk sorozatot, és ennek a periodikusságát vizsgáljuk. Az előző gondolatmenet minimális változtatással most is alkalmazható.
A bizonyításból azonban ismét csak annyi derül ki, hogy a periódus hossza ${10}^k$-nál nem lehet nagyobb, de konkrét értéket nem kapunk, pedig már a $k=2$ esetben is láttuk, hogy a ${10}^2$ becslés nagyon durva. Az alábbiakban azt vizsgáljuk, hogy hogyan lehetne ezt pontosabbá tenni. (Külön utalás nélkül ezentúl minden betű egész számot jelöl.)
A lényeges észrevétel az, hogy a periódus hosszára kapott ${10}^k$ nagyságú korlát jelentősen javítható, ha figyelembe vesszük, hogy nem az összes legfeljebb $k$-jegyű szám lehet a vizsgált periódus tagja. Egyrészt a periódus minden tagja osztható $2^k$-nal, mint egy $k$-nál magasabb kettőhatvány és egy ${10}^k$-nal osztható szám különbsége, másrészt egyetlen tag sem osztható 5-tel. Számoljuk össze, hogy hány legfeljebb $k$ -jegyű szám van, amely $2^k$-nal osztható, de 5-tel nem. A $\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}{10}^k-1$ számok között nyilván ${10}^k:2^k=5^k$ darab $2^k$-nal osztható szám van. Ebből le kell vonnunk a $2^k\cdot 5$-tel is osztható számok számát, ilyenekből ${10}^k:\left(2^k\cdot 5\right)=5^{k-1}$ darab van. Így azt kaptuk, hogy $4\cdot 5^{k-1}$ olyan legfeljebb $k$-jegyű szám van, amely a periódusban ‐ oszthatósági meggondolások miatt ‐ előfordulhat, $s$ mivel a periódusban nincs két azonos tag, ezért legfeljebb ilyen hosszú a periódus.
Észrevehetjük, hogy a $k=\mathrm{1,}2$ esetben a periódus hosszára kapott $4\cdot 5^{k-1}$ felső becslés pontos. Vajon igaz-e ez más $k$ értékekre is?
Ha tudnánk, hogy a periódus hossza pontosan $4\cdot 5^{k-1}$, akkor ez azt jelentené, hogy minden olyan legfeljebb $k$-jegyű szám valóban elő is fordul a periódusban, amely $2^k$-nal osztható és 5-tel nem. Így pontosan megmondhatnánk, hogy - a sorrendtől eltekintve ‐ mely $k$-jegyű számokra végződnek a kettőhatványok. Nézzük, mire használható ez a felismerés! Eközben egy kis kitérőt teszünk.