Kezdőlap


Cím:	Olimpiai előkészítő feladatok (Számelmélet) -1985. II.
Szerző(k):	Surányi László
Füzet:	1985/április, 170. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számelmélet II.

1. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan egész szám van, amely felírható két köbszám különbségeként, de nem írható fel két köbszám összegeként.

2. Legyen

k

tetszőleges egész szám. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan

m

pozitív egész szám van, amihez találhatók

ε_{1}

ε_{2}

...

ε_{m}

számok úgy, hogy

\begin{matrix} k = ε_{1} 1^{2} + ε_{2} 2^{2} + ... + ε_{m} m^{2} \end{matrix}

és minden

ε_{j} = \pm 1

3. Igazoljuk, hogy ha

p

prímszám és

a

b

olyan egészek, amelyekre

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{p - 1} = \frac{a}{b}, \end{matrix}

akkor

p | a

. Igaz-e az is, hogy

p^{2} | a

4. Bizonyítsuk be, hogy ha

n

és

k

pozitív egész, akkor

\begin{matrix} \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{n + k} \end{matrix}

nem lehet egész.

5. Adott a

k

természetes szám. Igazoljuk, hogy akkor és csak akkor van hozzá olyan

a

és

b

egész, amelyre

k = a^{2} + 3 b^{2}

, ha van hozzá olyan

c

és

d

egész, amelyre

k = c^{2} + c d + d^{2}

6. Legyen

n > 1

, páratlan egész. Megadhatók-e

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

különböző egészek úgy, hogy az

(x - a_{1}) (x - a_{2}) ... (x - a_{n}) + 1

polinom két kisebb fokú racionális együtthatós polinom szorzatára bomlik?
Mi a helyzet az

{(x - a_{1})}^{2} \cdot {(x - a_{2})}^{2} ... {(x - a_{n})}^{2} + 1

polinommal?

7. Igazoljuk, hogy tetszőleges

m

természetes számhoz végtelen sok olyan

k

természetes szám van, amelyre megadható

k

egész úgy, hogy azok

m

-edik hatványának reciprok összege éppen 1.

8. Legyen

a

és

b

egymáshoz relatív prím pozitív egész. Hány olyan

n

természetes szám van, amelyre az

a x + b y = n

egyenletnek nincs nem negatív

x

y

egész megoldása?