Cím: Az 1985. évi Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny feladatai
Füzet: 1985/november, 353 - 357. oldal  PDF file
Témakör(ök): Arany Dániel

Kezdők (legfeljebb I. osztályosok)
 

I. forduló
 

1. Melyik nagyobb: 31983-231984-2 vagy 31984-231983-2?
 
2. Legyen A a sík azon pontjainak halmaza, amelyek x; y koordinátáira fennáll az yx2-1 egyenlőtlenség. A B halmazba azok a pontok tartozzanak, amelyekre y3-|x|, a C halmazba pedig azok, amelyekre |x|1 és |y-1|1 teljesül. Ábrázolja az (AB)C halmazt!
 
3. Adott a térben három különböző sík, S1, S2 és S3 tetszőleges helyzetben. Sorolja fel, hogy ‐ a síkok egymáshoz viszonyított helyzetétől függően ‐ mi lehet azoknak a pontoknak a halmaza, amelyeket legalább két sík tartalmaz!
 
4. Határozza meg mindazon x valós számokat, amelyek kielégítik az alábbi egyenletet:
sgn(1-3x-2)=|x-3|-2.sgna={1,haa>0;0,haa=0;-1,haa<0.

 
5. Két konvex négyszög oldalfelező pontjai egybeesnek. Igazolja, hogy a két négyszög területe egyenlő!
 
6. Bizonyítsa be, hogy ha a háromszög magasságpontja és köré írt körének középpontja a háromszög egyik szögfelezőjére szimmetrikus, akkor a háromszög egyik szöge 60!
 
7. Határozza meg az összes olyan pozitív egészekből álló (a,b,c) számhármast, amelyre b+2c+3a osztható (a+2b+3c)-vel, továbbá c+2a+3b osztható (b+2c+3a)-val!
 
8. Tekintse az alábbi szorzatokat:
A=(1-12)(1-14)(1-16)(1-18)...(1-1100),B=(1-13)(1-15)(1-17)(1-19)...(1-199).

Számítsa ki az AB szorzatot és mutassa meg, hogy
A2<9910000,B2>1100.
 

Haladók (II. osztályosok)

I. forduló
 

1. Van -e egész számokból álló megoldása az x2-2y2=3 egyenletnek?
 
2. Szerkesszük meg az egyenlőszárú trapézt, ha adott átlóinak metszéspontja, a köré írt köre és a szár hossza.
 
3. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat az (x;y) számpárokat amelyekre
|x+1|+|x-1|=|y+1|+|y-1|.

 
4. Mutassuk meg, hogy a sík bármely szabályos sokszögének csúcsai megszínezhetők legfeljebb három színnel úgy, hogy azonos színű csúcsok távolsága ne legyen egy egység.
 
5. Egy háromszög minden oldalának mértékszáma egész. Mekkorák lehetnek az oldalaik, ha összegük 200, továbbá a legnagyobb oldal ötszöröse és a másik két oldal háromszoros összege közötti különbség 120-szal nagyobb, mint a legkisebb oldal négyszerese?
 
6. Valaki azt állítja, hogy minden természetes számról el tudja dönteni, osztható-e 1985-tel, pusztán a szám utolsó 200 jegyének ismeretében. Lássuk be, hogy nincs igaza. Van-e olyan y szám, amelyre 1000<y<2000 és 1985 helyére y-t írva az állítás mégis igaz lesz?
 
7. A P(x) egész együtthatós polinomról tudjuk, hogy öt különböző egész helyen +1 értéket vesz fel. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan k egész szám, amelyre P(k)=-1.
 
8. Adott egy egységoldalú négyzet és a négyzetben 9 pont, amelyek közül semelyik három sincsen egy egyenesen. Igazoljuk, hogy van a 9 pont között 3 olyan, amelyek egy legfeljebb 0,125 területű háromszöget határoznak meg.
 

II. forduló
 

Kezdők (I. osztályosok)

Szakközépiskolai tanulóknak
 

1. Határozza meg azokat az egész számokból álló x, y számpárokat, amelyekre
x-|y-1|>-2,x+|y-32|<2
érvényes!
 
2. Legyen a és b a tér két adott egyenese. Mi azon szakaszok felezőpontjainak összessége, amelyek egyik végpontja az egyik, másik végpontja a másik egyenesen van?
 
3. Keressük meg az összes olyan természetes számot, amely a tízes számrendszerben nyolcjegyű, jegyei rendre a, b, c, d, e, f, g, h (a0), továbbá c=2d, a+d=h, bg+cf=bd2, c+g=d2, d=(a+e)2, e+g=f.
 

A matematikát általános tanterv szerint tanuló gimnazistáknak
 

1. Keressük meg azokat az x valós számokat, amelyekre teljesül az
11-11-x11-11+xegyenlőtlenség!

 
2. Legyen a és b a tér két adott egyenese. Mi azon szakaszok felezőpontjainak összessége, amelyek egyik végpontja az egyik, másik végpontja a másik egyenesen van?
 
3. Határozzuk meg azokat az n, m egész számokat, amelyekre teljesül az
n2+(n+1)2=m4+(m+1)4
összefüggés!
 

Speciális matematika tagozatos gimnáziumi tanulóknak
 

1. Határozzuk meg az összes olyan k pozitív egész számot, amelyhez találhatók olyan n, m pozitív egészek, hogy
1n2+1m2=kn2+m2.

 
2. Az egységsugarú körbe írt szabályos n-szög (n3) egy belső pontja legyen P. Bizonyítsa be, hogy van olyan A és B (nem feltétlenül szomszédos) csúcsa a szabályos n-szögnek, hogy
(1-2n)180APB<180.

 
3. Az 1, 2, ..., n számokat valamilyen ‐ tetszés szerinti ‐ sorrendben leírva kapjuk az a1, ..., an számokat. Mutassuk meg, hogy az
11a1+12a2+...+1nan
összeg értéke akkor a legkisebb, ha csökkenő sorrendbe rendeztük a számainkat, azaz ha a a1=n, ..., an=1!
 

Haladók (II. osztályosok)

Szakközépiskolások feladatai
 

1. Az A1, A2, ... sorozatra az An+1=An-An-1+An-2 képlet érvényes, A1=1, A2=A3=2. Mennyi A1985?
 
2. Egy egység sugarú kör kerületét egy szabályos n-szög és egy szabályos (n+1)-szög csúcsai ívekre darabolják. Bizonyítsuk be, hogy valamelyik ív legfeljebb πn(n+1) hosszúságú.
 
3. Egy asztalon kör alakú pénzérmék fekszenek. Mutassuk meg, hogy valamelyiket a többi érme elmozdítása nélkül eltávolíthatjuk az asztalról. Az érmét csak csúsztatni szabad, felemelni nem!
 

Az általános tantervű osztályok feladatai
 

1. Egy 6×6-os sakktáblára néhány dominót helyezünk úgy, hogy mindegyikük pontosan két szomszédos mezőt fed. Bizonyítsuk be, hogy ha 14 mező fedetlen, akkor legalább egy dominó még a táblára helyezhető a többi elmozdítása nélkül.
 
2. Oldjuk meg az xn+yn=(x+y)n egyenletet az egész számok körében (n természetes szám).
 
3. Egy konvex sokszöget egymást nem metsző átlóival háromszögekre bontottunk. Mutassuk meg, hogy a háromszögekbe írható körök sugarainak összege legalább 2tk, ahol t a sokszög területét, k pedig a kerületét jelöli.
 

A speciális matematika tantervű osztályok feladatai
 

1. A pozitív egész számokon értelmezett f függvényről a következőket tudjuk:
f(f(n))=4n-3minden pozitív egész  n-re,(1)f(2k)=2k+1-1minden nem negatív egész  k-ra.(2)
Határozzuk meg f(1985) értékét.
 
2. Egy háromszög oldalainak hossza a, b, c. Tekintsük a háromszögnek azokat a belső pontjait, amelyeknek a háromszög oldalaitól mért távolságaiból háromszög szerkeszthető. A háromszög területének mekkora hányadát fedik le ezek a pontok?
 
3. Egy virágüzletben n darab, egyenként három szál szegfűből álló csokrot rendelünk. Azt szeretnénk, hogy minden csokor három különböző színű szegfűt tartalmazzon, vagy minden csokor minden szegfűje ugyanolyan színű legyen. Bizonyítsuk be, hogy kívánságunk teljesíthető, ha az üzletben 7n szál szegfű van.