Kezdőlap


Cím:	Az 1984. évi (15.) Nemzetközi Fizikai Diákolimpia feladatainak megoldása
Szerző(k):	Szép Jenő
Füzet:	1984/november, 401 - 406. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. a) Tekintsünk egy átlátszó plánparalel lemezt! A lemez anyagának törésmutatója $(n)$ az alsó $(B)$ laptól mért távolság függvényében változik. Mutasd meg, hogy $n_{A} sin α = n_{B} sin β$ ! A jelöléseket az 1. ábra tartalmazza.

1. ábra

b) Tegyük fel, hogy egy nagy sík sivatagban állsz! Úgy látod, mintha bizonyos távolságban tőled vízfelszín volna. Ha közeledsz a "vízhez'', úgy tűnik, mintha az hátrébb menne oly módon, hogy a távolság közted és a "víz'' között állandó. Magyarázd meg a jelenséget!
c) Határozd meg, hogy a b)-ben leírt jelenségnél mekkora a levegő hőmérséklete közvetlenül a talajnál! Tegyük fel, hogy a szemed

1,6 m

magasan van a talaj felett, és a távolság közted és a "víz'' széle között

250 m

! A levegő törésmutatója

15^{\circ} C

-on, normál légnyomás mellett

1,000 276

. Tegyük fel, hogy a levegő hőmérséklete a talajtól mért

1 m

magasság felett mindenhol

30^{\circ} C

! A légnyomás egyenlő a normál légnyomással. Jelöljük a törésmutatót

n

-nel! Tegyük fel, hogy

n - 1

arányos a levegő sűrűségével! Vizsgáljuk meg az eredmény pontosságát!
Megoldás.

a

) Osszuk fel a plánparalel lemezt

k db

egyforma vastagságú, a határfelülettel párhuzamos részre! Ha

k

elég nagy, akkora a törésmutatót egy ilyen vékony részben állandónak tekinthetjük. Jelöljük az

i

-edik részben a törésmutatót

n_{i}

-vel,továbbá

n_{A} = n_{0}

n_{B} = n_{k + 1}

2. ábra

A 2. ábra alapján

\begin{matrix} \frac{sin α_{i}}{sin α_{i + 1}} = \frac{n_{i + 1}}{n_{i}} . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} \frac{n_{B}}{n_{A}} = \frac{n_{k + 1}}{n_{k}} \cdot \frac{n_{k}}{n_{k - 1}} \cdot \frac{n_{k - 1}}{n_{k - 2}} \cdot ... \cdot \frac{n_{1}}{n_{0}} = \\ = \frac{sin α_{k}}{sin α_{k + 1}} \cdot \frac{sin α_{k - 1}}{sin α_{k}} \cdot ... \cdot \frac{sin α_{0}}{sin α_{1}} = \frac{sin α}{sin β} . \end{matrix}

b)

A napsugárzás hatására a talaj közvetlen közelében a levegő jobban felmelegszik, mint szemmagasságban, így ott törésmutatója is kisebb. Ha a földfelszínnel elég kis szöget bezáróan nézünk lefelé, azaz elég távolra nézünk, akkor a talaj közvetlen közelében a teljes visszaverődés jelensége lép fel, és a talajon az ég kékjét mint "vizet'' látjuk. Ha odébb menve a hőmérsékleti viszonyok nem változnak, a "víz'' is odébb megy, hiszen a jelenséget csak bizonyos szög alatt nézve láthatjuk.

c)

Jelöljük

T

-vel az ismeretlen hőmérsékletet! Teljes visszaverődés határesetében

sin α = n_{T} / n_{30}

. Tudjuk, hogy

tg α = 250 m / 1,6 m

(3. ábra), innen

α = 89^{\circ} 38'

, így az előző egyenlőtlenségből

\begin{matrix} n_{T} = n_{30} \cdot 0,999 979 5. & (1) \end{matrix}

3. ábra

A feladat szövege alapján felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} n_{T} = 1 + k ϱ_{T}; n_{30} = 1 + k ϱ_{30}; 1,000 276 = 1 + k ϱ_{15}, & (2) \end{matrix}

ahol

ϱ

a levegő sűrűsége és

k

állandó. Tudjuk továbbá, hogy

\begin{matrix} ϱ_{T} \cdot (T + 273 K) = ϱ_{30} \cdot 304 K = ϱ_{15} \cdot 288 K . & (3) \end{matrix}

Az (1), (2), (3) összefüggésekből

T = 55, 7^{\circ} C

A számolásokból felhalmozódott hiba a számológép pontossága miatt nagyon kicsi (kisebb, mint

0,1^{\circ} C

). A valóságban a feladatban megadott adatok közül több csak nagy hibával mérhető (pl.

250 m

30^{\circ} C

), így az eredmény hibája legalább néhány

^{\circ} C

2. Egyes tavaknál időnként egy furcsa jelenséget (a vízszint periodikus változását) figyelhetjük meg ‐ nevezzük ezt billegésnek. A jelenség általában olyan tavak esetén fordul elő, amelyek mélységükhöz viszonyítva hosszúak, valamint keskenyek. Egy tavon gyakran látunk hullámokat, azonban viszonylag ritkán fordul elő a fenti jelenség, amelynek során az egész víztömeg együtt oszcillál, hasonlóan, mint a kávé a csészében, amikor egy vendégnek visszük.
A jelenség modellezéséhez téglatest alakú edényt használunk. Az edény hossza L, a vízszint magassága h. Tegyük fel, hogy a vízszint kezdetben kis szöggel dől a vízszinteshez képest! Ezután a víz "billegni'' kezd, azaz a víz felszíne állandóan sík, azonban oszcillál egy, az edény hosszának felénél levő vízszintes egyenes körül.
Dolgozz ki modellt a víz mozgására és határozz meg egy kifejezést az oszcilláció T periódusidejére! A kezdeti állapot a 4. ábrán látható. Tegyük fel, hogy

ξ ≪ h

4. ábra

A következő táblázat a periódusidőt adja meg a vízmélység függvényében két különböző hosszúságú edény esetén. Megfelelő módon ellenőrizd, hogy mennyire jól írja le az általad meghatározott összefüggés a mért adatokat! Mi a véleményed a modell használhatóságáról?

\begin{matrix} L=479 mm \\ h & T \\ (mm) & (s) \\ 30 & 1,78 \\ 50 & 1,40 \\ 69 & 1,18 \\ 88 & 1,08 \\ 107 & 1,00 \\ 124 & 0,91 \\ 142 & 0,82 \end{matrix}

\begin{matrix} L=143 mm \\ h & T \\ (mm) & (s) \\ 31 & 0,52 \\ 38 & 0,48 \\ 58 & 0,43 \\ 67 & 0,35 \\ 124 & 0,28 \end{matrix}

Az 5. ábra a svédországi Vättern-tóra vonatkozó mérési adatokat mutat, a vízszint változását Bastedalen-nél (a Vättern-tó északi végénél) és Jönköpingnél (déli végénél). Ez a tó 123 km hosszú és az átlagos vízmélység 50 m. Milyen a mérés időskálája?

5. ábra

Megoldás. Először határozzuk meg a víz súlypontjának vízszintes és függőleges irányú elmozdulását,

Δ x

-et és

Δ y

-t! A 6. ábrán látható jelöléseket használjuk.

6. ábra

Az a vízmennyiség, amely egyensúlyban a

P C A

háromszögben van, a billegés szélső helyzetében a

P B D

háromszögbe kerül, mialatt súlypontja vízszintesen

(2 L / 3)

-mal, függőlegesen pedig

(2 ξ / 3)

-mal elmozdul. A

P C A

háromszögben levő és az összes víz tömegének aránya:

\begin{matrix} \frac{\frac{ξ (L / 2)}{2}}{L h} = \frac{ξ}{4 h} . \end{matrix}

Az egész víztömeg súlypontjának elmozdulása az egyensúlyi helyzethez képest

\begin{matrix} vízszintesen: Δ x = \frac{ξ}{4 h} \cdot \frac{2 L}{3} = \frac{ξ L}{6 h}, & (1) \end{matrix}

\begin{matrix} függőlegesen: Δ y = \frac{ξ}{4 h} \cdot \frac{2 ξ}{3} = \frac{ξ^{2}}{6 h} . & (2) \end{matrix}

A periódusidő meghatározása céljából a következő modellt készítjük:
1. Tegyük fel, hogy a víztömeg vízszintes mozgása harmonikus rezgőmozgás, és a víztömeg együtt mozog. Ha

v

-vel jelöljük a vízszintes mozgás maximális sebességét és

ω

-val a rezgés körfrekvenciáját, akkor a feltevés alapján

\begin{matrix} v = Δ x \cdot ω . & (3) \end{matrix}

2. Mivel

h

jóval kisebb, mint

L

, ezért tegyük fel, hogy a billegés során, amikor a víz felszíne vízszintes, akkor az egész víztömeg vízszintesen mozog. A feltevés alapján így

\begin{matrix} (1 / 2) m v^{2} = m g Δ y, & (4) \end{matrix}

ahol

m

az összes víz tömege. Az (1), (2), (3) ós (4) egyenletekből

\begin{matrix} T = \frac{π L}{\sqrt[]{3 h g}} . & (5) \end{matrix}

Készítsük el a feladatban közölt két táblázat megfelelőjét az (5) képletből számolt periódusidővel:

\begin{matrix} L=479 mm \\ h & T \\ (mm) & (s) \\ 30 & 1,60 \\ 40 & 1,24 \\ 69 & 1,05 \\ 88 & 0,94 \\ 107 & 0,85 \\ 124 & 0,79 \\ 142 & 0,74 \end{matrix}

\begin{matrix} L=143 mm \\ h & T \\ (mm) & (s) \\ 31 & 0,47 \\ 38 & 0,42 \\ 58 & 0,34 \\ 67 & 0,31 \\ 124 & 0,24 \end{matrix}

Láthatjuk, hogy a modell alapján számított periódusidő jól követi a mért periódusidő változásait, de szisztematikusan (átlagosan

15 %

-kal) kisebbek az értékek. Ezért az (5) képlet helyett a következő összefüggést használjuk a periódusidő meghatározására:

\begin{matrix} T = 1,15 \frac{π L}{\sqrt[]{3 h g}} . & (6) \end{matrix}

A (6) képletből számolt periódusidő hibája feltehetően

10 %

alatt marad.

A periódusidő a Vättern-tó esetén a (6) összefüggésből:

\begin{matrix} T = 3,2 óra. \end{matrix}

Az 5. ábra időtengelyén

19

beosztásra

12

periódus jut, így egy beosztás

2

órának felel meg kb.

10 %

-os hibával.

3. Egy elektromos szűrő áramkör négy alkotóelemből áll, amint azt a 7. ábrán láthatod. A feszültségforrás belső ellenállása elhanyagolható, és a terhelés ellenállását végtelennek veheted. A szűrő áramkörnek olyannak kell lennie, hogy az

U_{0} / U_{i}

hányados a 8. ábrának megfelelően függjön a frekvenciától, ahol

U_{i}

a feszültségforrás feszültsége és

U_{0}

a kimenő feszültség. Az

f_{0}

frekvenciánál az

U_{i}

és az

U_{0}

között a fáziskülönbségnek nullának kell lennie.

7. ábra

8. ábra

A szűrőáramkör megépítéséhez a következő alkotóelemek közül válogathatsz:

2 db 10 k

Ω

-os ellenállás,
2 db 10 nF-os kondenzátor,
2 db 160 mH-s tekercs. (A tekercsek nem tartalmaznak vasat és elhanyagolható ellenállásúak.)

A felsorolt alkotóelemek közül négy felhasználásával tudsz olyan szűrő áramkört készíteni, amely kielégíti az ábrákon látható feltételeket. Határozd meg az összes lehetséges kombináció esetén az

f_{0}

frekvenciát és az

U_{0} / U_{i}

hányadost ennél a frekvenciánál!
Megoldás. Legyen

A (ω) = U_{0} (ω) / U_{i}

. Tekintsük a 9. ábra szerinti kapcsolást!

9. ábra

Egyenáram esetén a kondenzátorok szakadásként viselkednek, ezért

A (0) = = 1

. Nagy frekvencián a kondenzátorok rövidzárként viselkednek, ezért

{lim}_{ω \to \infty}^{} A (ω) = 1

Nyilván teljesül továbbá, hogy

0 \leq A \leq 1

A 9. ábra jelöléseit használva felírhatjuk a következőket:

\begin{matrix} I_{1} + I_{2} = I, U_{2} + U_{3} = U_{1}, U_{1} + U_{4} = U_{i}, U_{3} + U_{4} = U_{0} . \end{matrix}

A kapcsoláshoz tartozó vektorábrát a 10. ábrán láthatjuk.

10. ábra

Jelöljük

x

, ill.

y

indexszel a vektorok vízszintes ill. függőleges komponenseit! A vektorábráról leolvasható összefüggések a következők:

\begin{matrix} U_{0 x} = U_{4 x} = R I_{x} = R (I_{2} + I_{1 x}) = U_{2} + R I_{1} cos α, \\ U_{0 y} = U_{4 y} - U_{3} = R I_{1} sin α - U_{2} ctg α, \\ U_{i x} = 2 U_{2} + R I_{1} cos α, \\ U_{i y} = R I_{1} sin α - U_{2} ctg α, \\ tg α = U_{2} / U_{3} = R C ω, \\ I_{1} = U_{1} C ω = U_{2} \sqrt[]{1 + R^{2} C^{2} ω^{2}} / R . \end{matrix}

A fenti egyenletrendszer rendezésével:

\begin{matrix} U_{0 x} = 2 U_{2}, \\ U_{i y} = U_{0 y} = U_{2} (R C ω - \frac{1}{R C ω}), \\ U_{i x} = 3 U_{2} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} A^{2} (ω) = \frac{U_{0 x}^{2} + U_{0 y}^{2}}{U_{i x}^{2} + U_{i y}^{2}} = \frac{R^{4} C^{4} ω^{4} + 2 R^{2} C^{2} ω^{2} + 1}{R^{4} C^{4} ω^{4} + 7 R^{2} C^{2} ω^{2} + 1} . \end{matrix}

Ezt a kifejezést

ω

szerint deriválva, és

0

-val egyenlővé téve a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} ω \cdot (ω^{4} R^{4} C^{4} - 1) = 0. \end{matrix}

Az egyenletnek az

A (ω)

minimumához tartozó megoldása:

\begin{matrix} ω_{0} = I / R C = 10^{4} (1 / s), így f_{0} = 1,6 kHz és A (ω_{0}) = 2 / 3. \end{matrix}

Ilyen frekvencia mellett

U_{i y} = U_{0 y} = 0

, ezért

U_{i}

és

U_{0}

azonos fázisban van, ahogy a feladat megkívánja.
További helyes kapcsolások láthatóak a 11. ábrán. Ezekben az esetekben

f_{0}, A (ω_{0})

kiszámítása és a fázisazonosság belátása a fentihez hasonlóan végzendő. (Az Olimpián ezek elvégzése is hozzátartozott a feladat megoldásához.)

11. ábra

Mérési feladatok

1. Adott: 1. Egy 0,20 kHz frekvenciára beállított szinuszjel generátor.
2. Egy kétcsatornás oszcilloszkóp.
3. Milliméterpapír.
4. Egy dióda.
5. Egy 0,1

μ

F kapacitású kondenzátor.
6. Egy ismeretlen ellenállás.
7. Egy csatlakozókkal ellátott szerelőlap.
8. Vezetékek.

12. ábra

Állítsd össze a 12. ábra szerinti áramkört! Kösd az

A

és a

B

pontot a váltóáramú generátor kivezetésére! A generátor 0,20 kHz frekvenciájú. Határozd meg méréssel az

R

ellenálláson disszipálódó átlagos teljesítményt, amikor a generátor áramának amplitúdója 2,0 V (azaz a csúcstól csúcsig mért amplitúdó 4,0 V)!

A megoldás menete a következő: A kapcsolás összeállítása után a kondenzátor feszültségét vezessük az oszcilloszkóp bemenetére. Ekkor az oszcilloszkóp ernyőjén a 13. ábrán vastagon kihúzott vonal látható.

13. ábra

A kondenzátor feltöltése a

P

pontig tart (ez nem a szinusz hullám teteje), majd a

P

és

Q

pont között a kondenzátor az

R

ellenálláson keresztül kisül, mialatt a diódán nem folyik áram. A

P

és

Q

pont közötti görbéből a kondenzátor feszültségét leíró

U = U_{0} e^{- t / R C}

összefüggés segítségével

R

meghatározható. A megfelelő feszültség és idő értékeket az oszcilloszkóp ernyőjéről kell leolvasni. Több mérés elvégzése után

R

értékét

5 - 10 %

hibán belül meg tudjuk határozni.

R

meghatározása után egy teljes periódust (pl. a

P

és

P'

közötti részt) sok egyenlő részre osztva leolvashatjuk az egyes időpillanatokban a feszültség értékét.

U^{2}

-et az idő függvényében ábrázolva, majd a kapott görbét numerikusan integrálva a

P = U^{2} / R

képlet segítségével meghatározhatjuk a keresett átlagos teljesítményt. Körültekintően végezve a mérést, az eredmény hibája kb.

10 %

lesz.

2. Az adott neonlámpa spektrumában a sárga-narancs-vörös tartományban számos spektrum-vonal található. A rövidebb hullámhosszú tartomány egyik sárga vonala nagyon erős. Határozd meg ennek a vonalnak a hullámhosszát! Becsüld meg, mekkora az általad mért hullámhossz pontossága!
Adott: Egy 220 V váltófeszültségre kapcsolt neonlámpa, egy ismeretlen hullámhosszú lézer, egy optikai rács, egy objektív mikrométer (amelyen egy 1 mm hosszúságú szakasz

100

részre van osztva), egy 1 m hosszú vonalzó, állvány.
Megjegyzés. Ha előre tudod valahonnan a lézer hullámhosszát, nem használhatod ezt az adatot.

A megoldás menete a következő: Az objektív mikrométerrel nem tudunk a neon fényén látható elhajlást létrehozni. Tehát a keresett hullámhossz közvetlenül nem mérhető. Ezért a következőt csináljuk: A lézer fényét a falra vetítjük, és a fénysugárra merőlegesen eléje tesszük az objektív mikrométert. Ekkor a falon jól látható az elhajlási kép. A lézer fényének hullámhosszát meghatározhatjuk az elhajlási törvényből.

λ = d sin α_{n} / n

, ahol

d = 1 / 100 mm

a rácsállandó, és

α_{n}

n

-edik elhajláshoz tartozó elhajlási szög. (Az

n = 3

-hoz tartozó elhajlás is jól látható.)

A lézer hullámhosszának meghatározása után a lézer segítségével határozzuk meg az adott optikai rács rácsállandóját!
A mérést az előbbihez hasonló módon végezhetjük el. Ha a mérést gondosan végezzük, akkor

5 - 10 %

hibával megkapjuk az optikai rács rácsállandóját.

Most már az optikai rács segítségével meghatározhatjuk a keresett hullámhosszt. A neonlámpa nagyon kicsi, és gyenge fényű. Ezért az optikai rácsot a szemünk elé tartva nézünk a neonlámpa felé. A lámpa egyik sarka, valamint a sárga színű elhajlási kép megfelelő sarka közötti látszólagos távolságot megmérve kiszámíthatjuk az elhajlás szögét. Ismét a fenti képletet használva kapjuk a keresett hullámhosszt kb.

10 %

-os hibával.