Cím:	Az 1984. évi Arany Dániel Matematikai Tanulmányi Verseny feladata
Füzet:	1984/november, 363 - 365. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kezdők (legfeljebb I. osztályosok)   I. forduló   1. Egy tartályba egy csapon át $600$ liter/perc sebességgel $30\%$-os szörp ömlik. Háromnegyed óra múlva egy másik csapot is megnyitnak, ezen $40\%$-os szörp folyik be, $800$ liter/perc sebességgel. Mennyi idő múlva lesz a tartályban a szörp $35\%$-os?   2. Legyen $A$ és $B$ egy kör átmérőjének a két végpontja. Szerkesszük meg a kör kerületén azokat az $X$ pontokat, amelyekhez húzható körérintő az átmérő meghosszabbítását olyan $C$ pontban metszi, amelyre $AX=CX$!   3. ‐ Nem tudod ‐ kérdezte a lottóhúzás napján egy matematikus a kollégáját ‐, hogy milyen számokat húztak ki? ‐ Képzeld ‐ felelte az ‐ , van köztük olyan szám, amellyel bármely két kihúzott szám összege osztható! ‐ Mi ez a szám? ‐ Ha megmondanám, kitalálnád a nyerőszámokat. ‐ Legalább azt mondd meg, páros-e vagy páratlan ez a szám? ‐ kérdezte a matematikus, majd a válasz után felkiáltott: ‐ Ötösöm van! Mi volt az öt nyerőszám, ha a telitalálattal rendelkező matematikus csak egy szelvénnyel játszott? (Feltesszük, hogy mindketten jól okoskodtak és persze igazat mondtak.)   4. Ábrázoljuk az (egész számegyenesen értelmezett) ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x\to |||x|-1|-1|-1\text{függvényt}!}\end{array}}$ 5. Az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szöge derékszög. $CB$ oldalán a $C$-től távolodva fölvett $A_1$, $A_2$, $\text{...}$, $A_n$ pontokra teljesüljön, hogy az $A{A}_1$, $A{A}_2$, $\text{...}$, $A{A}_n$ egyenesek az $A$-nál levő szöget $n+1$ egyenlő részre osztják. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $C{A}_1<A_1{A}_2<\text{...}<A_{n}B$!   6. Egy sakkversenyen $n$ nő és $2n$ férfi vett részt. Mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott. Nem volt döntetlen és a nők által megnyert játszmák száma úgy aránylik a férfiak által megnyert játszmák számához, mint $7:5$. Hány nő vett részt a játékban?   7. Jelöljünk ki egy négyzetlapon öt pontot úgy, hogy a pontok között föllépő legkisebb távolság a lehető legnagyobb legyen. Mekkora ez a távolság?   8. Bizonyítsuk be, hogy bármely $n$ páratlan természetes számra $n^{1984}-1$ osztható $2^8$-nal.   II. Forduló   Az általános tantervű osztályok feladatai   1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle |x-y|=\mathrm{7,}}\\ \hfill {\displaystyle |x|+|y|=8.}\end{array}}$ 2. Létezik-e olyan érintőötszög, melynek oldalai ‐ valamilyen sorrendben ‐ $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ egység hosszúak? (Érintőötszögnek azt az ötszöget nevezzük, amelybe írható olyan kör, amely az ötszög mindegyik oldalát annak belső pontjában érinti.)   3. Egy $8\times 8$-as sakktáblán $42$ figura van. Mutassuk meg, hogy van legalább egy olyan $4\times 4$-es kis résztáblája, amelynek átlós mezőin legalább $4$ figura áll. (A $4\times 4$-es sakktábla átlós mezőinek azt a $8$ mezőt nevezzük, amelyek e sakktábla két átlójára illeszkednek.)   A szakközépiskolások feladatai   1. Legyenek $A$ és $B$ kétjegyű természetes számok. Jelölje $A^{*}$ az $A$, $B^{*}$ pedig a $B$ számjegyeinek megcserélésével adódó kétjegyű számot. Határozzuk meg az összes lehetséges olyan $A$-t és $B$-t, melyre $AB-1$ és $A^{*}{B}^{*}-1$ osztható $10$-zel!   2. $7\text{db}$ különböző nagyságú almából és $3\text{db}$ különböző nagyságú barackból két csomagot készítünk. Hány különböző módon lehet ezt megtenni úgy, hogy mindkét csomagban $5\text{db}$ gyümölcs, és ezek között legalább egy-egy barack legyen?   3. Megegyezik az általános tantervű osztályok 2. feladatával.   A speciális matematika tagozatos osztályok feladatai   1. Igazoljuk, hogy ha $a$, $b$, $n$ olyan természetes számok, melyekre $a^{2n}-b^{2n}$ osztható $9$-cel, akkor $a^2-b^2$ is osztható $9$-cel.   2. $A$ és $B$ legyen két adott pont a síkon. Tegyük fel, hogy egyetlen körző áll rendelkezésünkre, és azzal is csak egy bizonyos rögzített $r$ sugarú kört tudunk rajzolni, ahol $r>AB$. E körző segítségével szerkesszünk olyan $C$ pontot a síkon, hogy az $ABC$ háromszög szabályos legyen.   3. Megegyezik az általános tantervű osztályok 3. feladatával.   Haladók (II. osztályosok)   I. forduló   1. Az $x$ és $y$ valós számokról tudjuk, hogy $x+y>0$. Bizonyítsuk be, hogy $\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$!   2. Ábrázoljuk a derékszögű koordinátarendszerben azokat az $\left(x;y\right)$ számpárokat, amelyekre $||x|-|y||<1$!   3. Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes számra $\begin{array}{c}{\displaystyle 5^{2n+1}\cdot 2^{2n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}}\end{array}$ osztható $38$-cal!   4. Egy szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalainak hossza $a$ és $b$, egyik szára felezőpontjának a másik szárra való merőleges vetülete ennek a szárnak egyik végpontjába esik. Számítsuk ki a trapéz területét!   5. Tegyük fel, hogy $a$, $b$ és $c$ $1$-nél nagyobb és $100$-nál kisebb egész számok, $e$ és $f$ pedig olyan $100$-nál nagyobb egészek, melyekre teljesül $e+f=a+b+c$. Mutassuk meg, hogy $ef<abc$.   6. Egy egyenlő oldalú konvex ötszögben három átló hossza azonos. Bizonyítsuk be, hogy az ötszög szabályos!   7. Oldjuk meg a természetes számok halmazán a ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 7\left[\sqrt[]{x}\right]+1=x}\end{array}}$ egyenletet ($\left[a\right]$ jelöli az $a$-nál nem nagyobb egész számok közül a legnagyobbat)!   8. Adott $20$ különböző pozitív egész szám, mindegyik kisebb $70$-nél. Mutassuk meg, hogy páronkénti különbségeik közt van négy egyenlő!   II. forduló   Az általános tantervű osztályok feladatai   1. Bizonyítsuk be, hogy minden $x\ge \frac{1}{2}$ valós számra ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{9x+7}<\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x+1}+\sqrt[]{x+2}<\sqrt[]{9x+9}\mathrm{.}}\end{array}}$ 2. A sík egy véges $H$ ponthalmazának az a tulajdonsága, hogy bármely $P\mathrm{,}R\in H$ pontpárhoz van egy $Q\in H$ pont, amelyre $PQR\sphericalangle$ hegyesszög. Bizonyítsuk be, hogy $H$ valamely ponthármasa hegyesszögű háromszöget határoz meg!   3. Negyven gyufaszálat szétosztottunk húsz skatulyába, mindegyikben van gyufaszál, egyikben sincs huszonegy darab. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható néhány skatulya, amelyekben összesen húsz gyufaszál van!   A szakközépiskolások feladatai   1. Adott az $ABC$ háromszög síkjában a háromszög oldalegyeneseire nem illeszkedő $O$ pont. Húzzunk az $O$ ponton át a háromszög oldalaival párhuzamos egyeneseket, ezek a háromszög másik két oldalegyenesét egy-egy pontban metszik. Az $O$ pont és az egy-egy oldalegyenesen fekvő $2$ metszéspont három háromszöget határoz meg. Fejezzük ki az $ABC$ háromszög területét ezeknek a háromszögeknek a területével!   2. Bizonyítsuk be, hogy minden $x\ge \frac{1}{2}$ valós számra ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{9x+7}<\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x+1}+\sqrt[]{x+2}<\sqrt[]{9x+9}\mathrm{.}}\end{array}}$ 3. Egy $4$ egység élhosszúságú kockát akarunk szétvágni $64$ darab $1$ élhosszúságú kis kockára. Ezt megtehetjük egyszerűen $9$ vágással, ha a szétvágással keletkező darabokat nem mozdítjuk el egymástól. Hány vágásra csökkenthető ez le, ha az egyes vágások után a kapott darabokat alkalmas módon átrendezhetjük?   A speciális matematika tantervű osztályok feladatai   1. Határozzuk meg a $\underset{1984\text{db}}{\overset{}{\underbrace{33\text{...}3}}}\cdot \underset{1984\text{db}}{\overset{}{\underbrace{66\text{...}6}}}$ szorzat számjegyeinek összegét!   2. Legyen $P_1\mathrm{,}{P}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{P}_5$ a sík öt pontja. Bizonyítsuk be, hogy a fellépő leghosszabb és legrövidebb távolság hányadosa legalább $2\text{sin}{54}^{\circ }$!   3. Tavaly a teniszezők átlagosan tizennyolc különböző ellenféllel játszottak. Kiválasztható-e néhány versenyző úgy, hogy ha csak ezek egymás elleni mérkőzéseit tekintjük, akkor mindenki legalább tíz másikkal játszott?