Cím:	Az 1983-84. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1984/november, 356 - 358. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az első (iskolai) forduló feladatai   1. Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenséget: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{3x-11}\le 7-x\mathrm{.}}\end{array}}$ 2. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 4\cdot 3^x+\sqrt[]{4\cdot 3^{2x}-4\cdot 3^{3x}+3^{4x}}=2.}\end{array}}$ 3. Egy $15$-ször $15$ mezőt tartalmazó, négyzet alakú táblázatba beírjuk a természetes számokat $1$-től $225$-ig úgy, hogy az első sorba balról jobbra rendre az $1$-től $15$-ig terjedők kerüljenek, a második sorba ugyanígy a $16$-tól $30$-ig terjedők, és így tovább; végül az utolsóba a $211$-től $225$-ig terjedők. Igazoljuk, hogy bármiképpen választunk ki a táblázatból egy $11$-szer $11$ mezőt tartalmazó, négyzet alakú összefüggő részt, az ebben található számok összege mindig osztható $121$-gyel!   4. Az $ABCD$ négyzet belsejében olyan $PAB$ egyenlő szárú háromszöget rajzolunk, amelyben $PAB\sphericalangle =PBA\sphericalangle ={15}^{\circ }$. Igazoljuk, hogy a $PCD$ háromszög szabályos!   5. Adott a konvex $ABCD$ négyszög. (A csúcsokat pl. az óramutatóval ellentétes körüljárási irányban betűztük meg.) Igazoljuk, hogy ha az $ABC$, $BCD$, $CDA$ és $DAB$ háromszögek kerülete egyenlő, akkor ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle A{B}^2+B{C}^2=C{D}^2+D{A}^2\mathrm{.}}\end{array}}$ ($A{B}^2$ jelöli az $AB$ oldal mérőszámának négyzetét.)   6. Milyen határok közé esnek a síkbeli derékszögű koordináta-rendszer $\left(0;2\right)$ pontján átmenő egyenesek közül azoknak az iránytangensei, amelyeknek az ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x\to \frac{1}{|\left[x\right]|}\mathrm{,}}\end{array}}$ függvény grafikonjával a $-4<x<-2$ számközben két metszéspontjuk van?   7. Határozzuk meg a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyek egyenlő távolságra vannak az $x$ tengely $\left[-2;2\right]$ és az $y$ tengely $\left[1;3\right]$ szakaszától!   8. Egy dobozban végtelen sok cédula van. Minden cédulára felírtunk egy természetes számot. Tudjuk, hogy bármiképpen veszünk is ki a dobozból végtelen sok cédulát, mindig van köztük két olyan, hogy a rájuk írt számok különbsége legfeljebb egymillió. Bizonyítsuk be. hogy van olyan szám, amely végtelen sok cédulán szerepel!   Második (döntő) forduló   A gimnáziumok speciális matematika tantervű III‐IV . osztályos tanulói számára   1. Egy háromszög oldalainak hossza $a$, $b$, $c$, a háromszögbe írt kör sugarának hossza $\varrho$, az egyes oldalakhoz hozzáírt körök sugarainak hossza rendre ${\varrho }_a$, ${\varrho }_b$, ${\varrho }_c$. Igazoljuk, hogy a háromszög akkor és csak akkor hegyesszögű, ha ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\varrho }^2+{\varrho }_a^2+{\varrho }_b^2+{\varrho }_c^2<a^2+b^2+c^2\mathrm{.}}\end{array}}$ 2. Adott a síkon nyolc pont úgy, hogy nincs közöttük négy egy egyenesen. Legfeljebb hány olyan egyenes van, amire az adott pontok közül három illeszkedik?   3. A végtelenhez tartó $\left(a_n\right)$ sorozat elemei természetes számok. Bizonyítsuk be, hogy ha a ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle b_n=\frac{a_1\cdot a_2\cdot \text{...}\cdot a_n}{2^{a_n}}}\end{array}}$ sorozat konvergens, akkor határértéke zérus!   Az alaptanterv szerint tanuló gimnáziumi III. és IV. osztályos tanulók feladatai   1. Határozzuk meg mindazokat az $x$ valós számokat, amelyekre az alábbi három állítás közül kettő igaz, egy pedig hamis: a) $x$ egész szám, b) $x^2-3x$ negatív egész szám, c) $x+\frac{1}{x}$ pozitív egész szám.   2. Bizonyos számú, egységnyi élű kockából egy nagyobb (tömör) kockát raktunk össze, majd befestettük ennek a nagyobb kockának néhány oldallapját. Ezután a nagyobb kockát szétszedtük egységnyi élű kockákra és azt találtuk, hogy $45$ darab egységnyi élű kockának egy oldallapja sincs befestve. Hány oldallapját festettük be a nagyobb kockának?   3. Jelentsenek $a$, $b$ és $c$ olyan nem-negatív valós számokat, amelyeknek összege $1$-gyel egyenlő! Bizonyítsuk be, hogy ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}\ge \frac{3}{2}\mathrm{.}}\end{array}}$ Mely esetben érvényes itt az egyenlőség?   A nem speciális matematika tantervű III‐IV. osztályos tanulók feladatai   1. Az $ABCDEF$ konvex hatszög $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FA$ oldalainak felezőpontjai rendre $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$. Bizonyítsuk be, hogy a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő $PS$, $QT$, $RU$ szakaszok között akkor és csakis akkor van két merőleges, ha ezekből a szakaszokból derékszögű háromszög szerkeszthető.   2. Hányféleképpen fedhető le a $2\times 30$-as sakktábla $1\times 2$-es dominókkal? (A táblát rögzítettnek tekintjük.) (A $2\times 30$-as sakktábla téglalap, amelynek oldalai $2$, ill. $30$ egyégnyiek; a lefedések számának pontos értékét kell megadni.)   3. Legyen $p$ $4$-nél nagyobb egész szám. Bizonyítsuk be, hogy $p$ akkor és csakis akkor primszám, ha $p$ bármely, négy pozitív egész összegére való felbontásában semelyik két tag szorzata sem egyenlő a másik két tag szorzatával.   Harmadik (rendkívüli döntő) forduló   A gimnáziumok speciális matematika tantervű III‐IV. osztályos tanulói számára   1. Határozzuk meg az összes olyan $a$, $b$, $c$ és $A$, $B$, $C$ nemnegatív valós számot, amelyre teljesülnek a következő egyenlőségek: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a+b+c=\mathrm{1,}}\\ \hfill {\displaystyle A+B+C=\mathrm{1,}}\\ \hfill {\displaystyle aA+bB+cC=\frac{1}{3}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle aB+bC+cA=\frac{1}{3}\mathrm{.}}\end{array}}$ 2. Legyen $ABC$ egy hegyesszögű háromszög, $P$ pedig a háromszög egy belső pontja. A $PAB$, $PBC$, $PCA$ háromszögek magasságpontjait jelölje rendre $R$, $S$, $T$. Bizonyítsuk be, hogy az $ABC$ és $RST$ háromszögek területe megegyezik!   3. Mutassuk meg, hogy annak a valós számokon értelmezett $f$ függvények, amely tetszőleges $x$ valós számra az ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle f\left(x\right)=\text{sin}x+\text{sin}\left(x\cdot \sqrt[]{2}\right)\mathrm{,}}\end{array}}$ értéket veszi fel, nincs legnagyobb értéke!