Cím: 1984. Beszámoló a XXV. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról
Szerző(k):  Pataki János 
Füzet: 1984/szeptember, 241 - 244. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Huszonöt évvel az első, Bukarestben megrendezett verseny után minden eddiginél népesebb mezőny gyűlt össze Prágában, ahol június 29. és július 10. között rendezték meg a XXV. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát. Öt világrész 34 országából 192 diák érkezett a csehszlovák fővárosba.
A részt vevő országok: Algéria, Amerikai Egyesült Államok, Ausztria, Ausztrália, Belgium, Brazília, Bulgária, Ciprus, Csehszlovákia, Finnország, Franciaország, Görögország, Hollandia, Jugoszlávia, Kanada, Kolumbia, Kuba, Kuwait, Lengyelország, Luxemburg, Magyarország, Marokkó, Mongólia, Nagy-Britannia, Német Demokratikus Köztársaság, Német Szövetségi Köztársaság, Norvégia, Olaszország, Románia, Spanyolország, Svédország, Szovjetunió, Tunézia, Vietnam.
A csapatok 6‐6 főből álltak, kivéve Algériát (4), illetve hagyományosan ,,egyszemélyes'' Luxemburgot (1), és az első ízben szereplő Norvégiát (1).

 

A magyar csapat tagjai:
 

Erdős László, a budapesti Berzsenyi Dániel Gimnázium IV. osztályos tanulója. Tanárai: Urbán János, Herczeg János.
Kós Géza, a budapesti Berzsenyi Dániel Gimnázium IV. osztályos tanulója. Tanárai: Bényei Károly, Pataki János.
Magyar Ákos, a budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium IV. osztályos tanulója. Tanárai: Surányi László, Vincze Márta.
Megyesi Gábor, a szegedi Ságvári Endre Gyakorló Gimnázium III. osztályos tanulója. Tanárai: Csúri József, Seres Lászlóné.
Mócsy Miklós, a budapesti I. István Gimnázium IV. osztályos tanulója. Tanára: Laczkó László.
Szabó Zoltán, a budapesti I. István Gimnázium IV. osztályos tanulója. Tanára: Laczkó László.
 

Bár a csapathoz csak július 2.-án, hétfőn csatlakozott Erdős László, aki a stockholmi fizikai diákolimpiáról érkezett, a hétfő reggeli indulásnál a repülőtéren jó néhányan felismerték a csapat ,,tévés személyiségeit'', Megyesi Gábort, az ez évi matematika KI MIBEN TUDÓS? vetélkedő győztesét és a döntők további szereplőit, Mócsy Miklóst és Szabó Zoltánt, valamint a magyar csapat felkészülését immár 20 éve vezető Reiman Istvánt.
Az Olimpia megnyitója július 3-án délután volt a több mint 600 éve alapított Károly Egyetem dísztermében. A verseny az ezt követő két napon, július 4-én és 5-én zajlott, mindkét napon 3‐3 feladatot kellett megoldaniuk a versenyzőknek; 8-tól 1/2 1-ig.
Az alábbi feladatsort a meghívott országok által korábban beküldött javaslatok alapján a verseny előtti napokban állította össze a nemzetközi zsűri, amelybe minden résztvevő állam egy tagot delegált. A zsűri magyar tagja Hódi Endre, küldöttségünk vezetője volt.
1. Legyenek x, y és z olyan nem-negatív valós számok, amelyekre fennáll, hogy
x+y+z=1.
Bizonyítsuk be az alábbi kettős egyenlőtlenséget:
0≦xy+yz+zx-2xyz≦727.
(7 pont)  (NSZK)
 

2. Adjunk meg olyan, pozitív egész számokból álló a, b számpárt, amely eleget tesz a következő feltételeknek:
 

(1)  Az ab(a+b) szám nem osztható 7-tel;
(2)  (a+b)7-a7-b7 osztható 77-nel.
 

Indokoljuk meg a választ!
(7 pont) (Hollandia)
 

3. Adott a síkban két különböző pont: O és A. Jelentse w(x) a sík minden x≠0 pontjára nézve az AOX∢ ívmértékét az óramutató járásával ellenkező irányban mérve (0≤w(x)<2π). Jelölje továbbá C(X) azt a körvonalat, amelynek középpontja O, sugarának hossza pedig OX+w(X)OX. Legyen adva véges sok szín, és színezzük ki a sík minden pontját ezek egyikével! Bizonyítsuk be, hogy van olyan Y pont, amelyre w(Y)>0, és amelynek színe előfordul a C(Y) körvonalon!
(7 pont) (Románia)
 

4. Egy ABCD konvex négyszögben legyen a CD egyenes érintője az AB átmérőjű körnek. Bizonyítsuk be, hogy az AB egyenes akkor és csak akkor érinti a CD átmérőjű kört, ha a BC és az AD egyenesek párhuzamosak.
(7 pont) (Románia)
 

5. Legyen egy síkbeli konvex n-szög (n>3) kerülete p, összes átlója hosszának összege pedig d.
Bizonyítsuk be, hogy
n-3<2dp<[n2]⋅[n+12]-2.
(7 pont) (Mongólia)
 

6. Legyenek a, b, c, d olyan páratlan egész számok, amelyekre
(1)  0<a<b<c<d,
(2)  ad=bc, és
(3)  alkalmas k, m egész számokkal érvényesek az
 

MMMMMMMa+d=2k,
 

   valamint b+c=2m egyenlőségek!
 

Bizonyítsuk be, hogy ekkor a=1.
(7 pont) (Lengyelország)
 

*

 

Míg a magyar csapat rögtönzött nemzetközi bridzsversenyen pihente ki a fáradalmakat, a zsűri tagjai már az első versenynap délutánján hozzákezdtek saját csapatuk dolgozatainak javításához. A versenyzők anyanyelvükön kapták meg a feladatokat és írták meg a dolgozatokat. A javított dolgozatok a második versenynap délelőttjétől kezdve pontos menetrend szerint kerültek az úgynevezett koordinátor-bizottságok elé, ahol végül eldőlt, melyik megoldás hány pontot ér. Szombat délutántól késő éjszakáig tartó ülésén a zsűri megvitatta a nyitva maradt kérdéseket, továbbá döntött a díjak odaítéléséről. Eszerint első díjban részesült az a 14 versenyző, akinek összpontszáma elérte 40-et, második díjat kaptak azok, akiknek pontszáma 26 és 39 közé esett, szám szerint 35-en, végül harmadik díjat kaptak 49-en, azok, akik legalább 17 és legfeljebb 25 pontot szereztek. A zsűri ezen kívül F. Nazarov szovjet versenyzőnek az 5. feladatra adott megoldását különdíjjal jutalmazta.
A feladatok nehézségi foka nem haladta meg az átlagost, a mezőny jó felkészültségét mutatja, hogy nyolcan: 1‐1 bolgár, román, NDK-beli, amerikai, vietnami és 3 szovjet versenyző, elérték a maximális 42 pontot.
A magyar diákok igen jól szerepeltek. Mócsy Miklós 40 ponttal első, Megyesi Gábor 37, Szabó Zoltán 35, Kós Géza 34, Magyar Ákos 28 ponttal második, Erdős László pedig 21 ponttal harmadik díjat szerzett.
Az immár hivatalos, nemzetek közötti pontversenyben csapatunk ‐ az Egyesült Államok csapatával együtt holtversenyben ‐ a 4‐5. helyen végzett. Az alábbi táblázat az egyes országok díjazottjainak a számát és a megszerzett pontszámokat mutatja. Látható, hogy a nagy fölénnyel vezető szovjet csapat mögött igen szorosan alakult a verseny. Némi meglepetés Bulgáriának és Mongóliának a korábbi években megszokottnál sokkal jobb teljesítménye.
 
  I.    II.    III.    Pont-  )     I.    II.    III.    Pont-OrszágOrszágdíjasok  szám  )díjasokszámSzovjetunió|  5    1    ‐    235  Brazília    ‐    ‐    3    92  Bulgária    2    3    1    203  Görögország    ‐    1    ‐    88  Románia    2    2    2    199  Kanada    ‐    ‐    1    83  Magyarország    1    4    1    199  Kolumbia    ‐    ‐    2    80  USA    1    4    1    195  Kuba    ‐    ‐    1    67  Nagy-Britannia    1    3    1    169  Belgium    ‐    ‐    1    56  Vietnam    1    2    3    162  Marokkó    ‐    ‐    1    56  NDK    1    2    3    161  Svédország    ‐    ‐    ‐    53  NSZK    ‐    2    4    150  Ciprus    ‐    ‐    1    47  Mongólia    ‐    3    2    146  Spanyolország    ‐    ‐    ‐    43  Lengyelország    ‐    1    5    140  Algéria    ‐    ‐    ‐    36  Franciaország    ‐    2    2    126  Finnország    ‐    ‐    ‐    31  Csehszlovákia    ‐    2    2    125  Tunézia    ‐    ‐    ‐    29  Jugoszlávia    ‐    ‐    4    105  Norvégia    ‐    ‐    1    24  Ausztália    ‐    1    2    103  Luxemburg    ‐    ‐    1    22  Ausztria    ‐    1    2    97  Kuwait    ‐    ‐    ‐    9  Hollandia    ‐    1    2    93  Olaszország    ‐    ‐    ‐    0
 

A versenyek után a hétfői eredményhirdetésig még három színes napot töltöttünk Prágában és környékén. Láthattuk a 30 éves háború eseményeit felidéző történelmi lovasjátékot, megnéztük a híres prágai Laterna Magicát, szombaton délután pedig ‐ ezúttal különféle matematikai játékokban ‐ ismét összemérték tudásukat a csapatok.
A matematikai diákolimpiák 25 éves történetét bemutató kiállításon megtudhattuk, hogy legrégebben ‐ 1864 óta ‐ Franciaországban rendeznek középiskolai matematikai versenyeket; Marokkóban viszont tavaly rendezték az elsőt.
Július 8-án, vasárnap egész napos buszkiránduláson vettünk részt. IV. Károly (német-római császár) gyönyörű fekvésű kastélyát látogattuk meg Karlštejnben, majd délután a koněprusy-i cseppkőbarlang egy részét jártuk be.
A záróünnepély és a díjak átadása július 9-én, hétfőn délután volt. Ennek végén a hagyományokhoz híven a jövő évi olimpia rendezőinek nevében a finn küldöttség vezetője kívánt sok sikert mindenkinek: azoknak, akiknek ez volt az utolsó találkozásuk az elemi matematikával és azoknak is, akik még készülhetnek a Finnországban rendezendő XXVI. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiára.