A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Feltehetően mindenki egyetért azzal, hogy a súlypont, a magasságpont, a háromszög köré és a háromszögbe írt kör középpontja egyaránt nevezetes pontja a háromszögnek. Legutóbbi két számunkban Surányi László újabb nevezetes pontokkal ismertette meg olvasóinkat. Felmerül a kérdés: tulajdonképpen hány nevezetes pontja is van egy háromszögnek ? Az alábbiakban egy paradox állítást bizonyítunk be, ami rámutat arra, hogy a ,,nevezetes'' és a ,,nem nevezetes'' pontok közti határvonalat mennyire nehéz meghúzni. Nem lehet a háromszög összes belső pontja nevezetes, hiszen akkor a ,,nevezetes'' megkülönböztető jelző nem különböztetne meg egyetlen pontot sem a többitől. Az sem lehet, hogy csak egyetlen nemnevezetes pont legyen, hiszen ekkor ez a pont is nevezetes volna: nevezetesen arról, hogy ő az egyetlen nem nevezetes pont. Hasonlóan több, sőt nagyon sok nem nevezetes pontnak is kell lennie. Másik oldalról az alábbi két, nevezetes pontokról szóló állítást feltehetően mindenki elfogadja: (i) Egy háromszög csúcspontjai nevezetes pontok. (ii) Ha az háromszögben és nevezetes pontok, akkor az háromszög súlypontja is nevezetes. Azt persze nem állítjuk, hogy csak ezek volnának a nevezetes pontok, de hogy ezek nevezetesek, az biztos. (i) és (ii) meglehetősen egyszerűnek, sőt igaznak látszó feltételek. Az ártatlan külső alatt azonban ott lapul az alábbi meglepő következmény: Tétel. Akárhogyan is veszünk fel az háromszög belsejében egy kört, lesz a háromszögnek olyan nevezetes pontja, ami a kör belsejébe esik. Más szavakkal: nincs egyetlen ,,tisztás'' sem a nevezetes pontok erdejében, a nevezetes pontok a háromszögben sűrűn helyezekednek el. A bizonyítás egyszerűsítése érdekében bevezetünk egy új elnevezést. Egy pontról azt mondjuk, hogy az mindegegy, ha tetszőleges középpontú körben található -től különböző nevezetes pontja a háromszögnek. Könnyű belátni, hogy a bizonyítandó állítás ekvivalens a következővel: (*) Az háromszög minden belső és határpontja mindegegy. A tétel bizonyítását egy önmagában is érdekes segédtétel, egy lemma kimondásával és igazolásával kezdjük. Lemma. Tegyük fel, hogy az és az (esetleg elfajult) háromszögek olyanok, hogy az , valamint távolságok mindegyike kisebb -nál. Ekkor az háromszög súlypontjának és az háromszög súlypontjának a távolsága is kisebb -nál. Bizonyítás. Mutassanak a közös kezdőpontból kiinduló a, b, c vektorok az háromszög csúcsaiba, az , , vektorok pedig az csúcsaiba. Ekkor -be az , -be pedig az vektor mutat. Az és közötti távolság e két vektor különbségével, vagyis az | | vektor hosszával egyezik meg. Az , , valamint a vektor hossza az és , a és , illetve és közti távolsággal egyenlő, tehát mindhárom vektor rövidebb -nál. Összegük, vagyis , a háromszög-egyenlőtlenség miatt rövidebb -nál, tehát az összeg harmada, vagyis az -ből -be mutató vektor hossza is rövidebb -nál. Ezt akartuk bizonyítani. Most rátérünk a tétel, pontosabban a (*) alatti állítás bizonyítására. 1. Elsőként azt igazoljuk, hogy a háromszög oldalfelező pontjai ,,mindegegyek''. Legyen tehát például az oldal felező pontja, és definiáljuk az pontokat a következőképpen. az háromszög súlypontja, az súlypontja, az súlypontja és így tovább (1. ábra).
1. ábra Világos, hogy ezek mind nevezetes pontok, mind rajta vannak az háromszög súlyvonalán, valamint hogy , és általában Mivel növekedtével minden határon túl nő, azért akárhogyan is veszünk fel egy középpontú kört, abba az pontok véges sok kivételével mind beleesnek. Így valóban mindegegy. 2. Másodszorra azt mutatjuk meg, hogy a háromszög mindhárom csúcsa mindegegy. Ez nem következik abból, hogy a csúcsok nevezetes pontok, hiszen például egy körüli tetszőleges körben -tól különböző nevezetes pontot kell találnunk. Célunkat kerülővel érjük el: egy sor ,,segédpontról'' mutatjuk meg, hogy mindegegy, majd ebből következtetünk arra, hogy is az. Az előbb láttuk, hogy mind nevezetes pontok. Az háromszögek súlypontjai ugyancsak nevezetesek, és ezek mindannyian egy -fel párhuzamos egyenesen helyezkednek el. Messe ez az egyenes az szakaszt -ben, az -nek -hez közelebbi harmadolópontja lesz. Az háromszög súlyvonala felezi az szakaszt, ezért egészen pontosan . Hasonlóan A pontok mind nevezetesek, és bármely körüli körbe véges sok kivételével valamennyi beleesik, ezért is mindegegy. Következőként az háromszögek súlypontjait vizsgáljuk. Ezek ugyancsak egy -fel párhuzamos egyenesen helyezkednek el, és ennek az -vel való metszéspontjára Mivel , ezért az pontok egyre közelebb kerülnek -höz: is mindegegy. Hasonlóan is mindegegy, ahol az szakasz -höz közelebbi harmadolópontja, azaz Általában az szakasznak az az pontja is mindegegy, amire Innen már könnyen következik, hogy az háromszög csúcsa is mindegegy. Vegyünk fel körül egy tetszőleges kört. Állítjuk, hogy van -ban -tól különböző nevezetes pont. Tudjuk, hogy az növekedtével tart a nullához, tehát az pontok véges sok kivételével, mind belsejébe esnek; legyen ezek közül egy (2. ábra). Rajzoljunk körül olyan kört, ami teljes egészében belsejében van, és nem tartalmazza -t. Az -ről tudjuk, hogy mindegegy, ezért van belsejében (-től különböző) nevezetes pont, legyen az egyik ilyen . Az különbözik -tól és belső pontja -nak: a keresett pontot megtaláltuk. Így valóban mindegegy, ahogyan állítottuk.
2. ábra
3. A csúcsokról már tudjuk, hogy mindegegyek, most a háromszög kerületének összes pontjáról igazoljuk ugyanezt. Újfent kerülő útra kényszerülünk: első nekifutásra csak azt mutatjuk meg, hogy az szakasz pontjai közül ,,elég sok'' mindegegy. Legyen tehát és az szakasz két olyan pontja, melyekről már tudjuk, hogy mindegegyek. (Például kezdetben legyen és .) Állítjuk, hogy az szakasz mindkét harmadolópontja is mindegegy. Legyen az -höz közelebbi harmadolópont (a másik eset hasonlóan kezelhető), és rajzoljunk körül egy sugarú kört (3. ábra).
3. ábra Azt kell megmutatnunk, hogy -ba esik nevezetes pont. Rajzoljunk és köré is egy-egy sugarú kört, az előbbi legyen , az utóbbi . Feltevésünk szerint és is mindegegy, ezért -nek és -nek is van nevezetes belső pontja: illetve . Az középpontú, sugarú körben is van nevezetes pont, mondjuk . Az három különböző nevezetes pont, tehát súlypontjuk is nevezetes. Állítjuk, hogy belső pontja a körnek és így megtaláltuk, amit kerestünk. Ez utóbbi állítás igazolására a lemmát használjuk az , valamint az (elfajult) háromszögekre. Az és pontok választása alapján az és távolságok mindegyike kisebb -nál. Az háromszög súlypontja , az ,,háromszögé'' pedig . A lemma alapján tehát az távolság is kisebb -nál: valóban belső pontja -nak. (Az olvasóra hagyjuk annak belátását, hogy az pontokat lehet választani úgy is, hogy valódi háromszöget alkossanak, vagyis és ne essen egy egyenesre.) Ennek alapján az szakasz mindkét harmadolópontja mindegegy, azután az így előálló három szakasz mindegyikének harmadolópontjai is mindegegy, az azokat harmadoló pontok is stb. (4. ábra). Vagyis ha valamilyen pozitív egész -re az szakaszt egyenlő részre osztjuk, az összes osztópont mindegegy lesz.
4. ábra Most már bizonyítani tudjuk, hogy az szakasz összes pontja is mindegegy. A szakasz tetszőleges pontja köré tetszőleges kört rajzolva a kör belsejébe esik osztópont, ha -et úgy választjuk, hogy nagyobb legyen a kör átmérőjének reciprokánál. Erről az osztópontról tudjuk, hogy mindegegy. Így körül bármekkora kört rajzolva találunk -ben nevezetes pontot. De -et tudjuk úgy választani, hogy teljes egészében -ban legyen ‐ tehát -ban is van (-től különböző) nevezetes pont (5. ábra).
5. ábra 4. Az eddigiek alapján a háromszög kerületének minden pontja mindegegy. Az, hogy a háromszög minden belső- és határpontja is mindegegy ‐, vagyis a bizonyítandó (*) állítás ‐ innen az alábbiak alapján azonnal adódik: 1) Mindegegy pontokból álló háromszög súlypontja is mindegegy. 2) Ha az háromszög belső pontja, akkor találhatók a háromszög kerületén olyan (nem egy egyenesre eső) pontok, hogy súlypontja az háromszögnek. A cikk elején kimondott tétel bizonyítását (és ezzel magát a cikket is) befejeztük, mihelyst ezt a két állítást igazoltuk. (1)-hez legyenek és mindegegy pontok, pedig az háromszög súlypontja. Válasszunk egy pozitív számot, azt kell belátnunk, hogy van olyan nevezetes pont, melynek -től mért távolsága kisebb -nál. Mivel és mindegegy pontok, azért vannak olyan és nevezetes pontok, melyekre az és távolságok mindegyike kisebb -nál. Az háromszög súlypontja is nevezetes pont, távolsága -től a lemma alapján kisebb -nál, amivel készen vagyunk.
6. ábra Vagy mégsem ? Nem bizony ! Meg kell mutatnunk, hogy és választható úgy, hogy valódi háromszöget alkossanak ‐ ez megtehető, ha is valódi háromszög volt. Hogy hogyan, annak meggondolását az olvasóra bízzuk. Végül előfordulhat, hogy és egybeesik, noha nekünk -től különböző nevezetes pontra van szükségünk. Ebben az esetben -et és -t megtartva, helyett olyan nevezetes pontot válasszunk, mely -hoz -nál is közelebb van. Az és az súlypontja nem esik egybe (a két súlypontot összekötő vektor éppen az vektor harmadrésze), így ez most már különbözik -től. (1)-et valóban bizonyítottuk.
7. ábra (2) bizonyítására kössük össze az háromszög súlypontját az oldalfelező pontokkal. Ezzel a háromszög belsejét három négyszögre osztottuk fel, ezek egyikébe (vagy annak határára) esik a pont, mondjuk abba, amelyiknek az is csúcsa (7. ábra). A keresett háromszög csúcsa legyen , súlypontja pedig . Így a másik két, és csúcsokat összekötő szakasz felezőpontját megkaphatjuk úgy, hogy az félegyenesre felmérjük az távolságot. Ez a pont továbbra is belső pontja az háromszögnek ‐ kivéve ha éppen egybeesik -sel, de akkor a kerületre esik és a (2) állítás automatikusan teljesül. Így feltehetjük, hogy belső pont. A és pontokat úgy kaphatjuk, hogy az háromszöget tükrözzük -ra. Az így adódó háromszög kerületének, valamint az háromszög kerületének közös pontjai közül bármelyik -tól és -től különböző jó -nek, annak -ra való tükörképe pedig -nek. Valóban, ekkor és az háromszög kerületének pontjai; súlypontjuk pedig . Végül és nem eshetnek egy egyenesbe, hiszen akkor -nek is ugyanerre az egyenesre kellene esnie, és így nem lehetne az négyszög pontja. Azt kell még meggondolnunk, hogy az és háromszögeknek van a csúcsoktól különböző közös kerületi pontjuk. Ez pedig azért van így, mert belső pontja mindkét háromszögnek. Egy háromszöget és -os elforgatottját pedig nem lehet úgy elhelyezni a síkon, hogy közös belső pontjuk ugyan legyen, de csúcstól különböző közös határpontjuk ne. Ezzel igazoltuk a cikk elején kimondott tételt: egy háromszög nevezetes pontjai a háromszög belsejét sűrűn töltik ki. No persze ezek mindegyike nem annyira nevezetes, mint mondjuk a magasságpont vagy a beírt kör középpontja, de nevezetes annak értelmében, amit a ,,nevezetességről'' állítottunk. Ez a paradox ‐ első pillanatban hihetetlen, ám mégis igaz ‐ tétel, ha kicsit mesterkélten is, de rámutat a matematika alkalmazásakor lépten-nyomon előforduló jelenségre. Vizsgálunk valamit ‐ jelen esetben a háromszög nevezetes pontjait. Megfogalmazzuk a matematikai modellt ‐ most a nevezetes pontokról szóló (i) és (ii) feltételt ‐, majd magáról a modellről (és nem a vizsgált jelenségről !) állításokat bizonyítunk. Ezek ellentmondhatnak annak, amit józan ésszel elvárunk ‐ túl sok nevezetes pont lett. Mi a teendő ? Vagy a matematikai modell volt hibásan felállítva (tehát a nevezetes pontok a rájuk szabott két feltétel közül valamelyiket mégsem elégítik ki), vagy pedig szemléletünk adott hibás képet a jelenségről: a nevezetes pontok várakozásunkkal ellentétben tényleg sokan vannak. A dilemmának nincs megoldása: az olvasónak magának kell döntenie, melyik változatot fogadja el. S bár itt választásának lényegében nincs tétje, hasonló, de már vérre menő dilemma merül fel a modern fizika matematikai modelljeinél: vajon a (mikro-) fizikai valóságot modelleztük hibásan, vagy az a fizikai világ más-e egészen, mint amit megszoktunk ?
Surányi László: A háromszög kevésbé ismert nevezetes pontjairól (KÖMAL 34. évfolyam . szám).A ,,mindegegy'' jelző Karinthy Frigyes egyik halandzsaverséből való. A szonett ‐ sajnos csak töredékes formában ‐ Karinthy Mint vélgaban című glosszájában olvasható (a glossza pedig A Tükör és a maszk antológiában): A pő, ha engemély kimár ‐ De mindegegy ha vildagár... ... Mert engemély minder bagul, Mint vélgaban a bégahúr ! A Természettudományi Lexikon szerint ,, lemma görögül 'feltevés' segédtétel. A régebbi dialektikában (különösen Arisztotelésznél) bármilyen kevésbé fontos bizonyított vagy akár bizonyítás nélkül elfogadott tétel, amelyből valamely nála fontosabb állítást levezetünk. Archimedesznél hol feltevés, hol meg segédtétel jelentésű. Később a szó utóbbi jelentése vált általánossá.'' A Matematikai Kislexikon pedig a következőket írja: ,,valamely tétel bizonyítása során gyakran célszerű bizonyos olyan részállításokat megfogalmazni, melyek önmagukban is érdekesek, vagy pedig a bizonyítás során többször felhasználásra kerülnek. Ezeket az ún. segédtételeket lemmának is szokták nevezni.'' |