Kezdőlap


Cím:	Egyes diofantikus egyenletek megoldásáról
Szerző(k):	Tuzson Zoltán (Marosvásárhely)
Füzet:	1984/november, 352 - 354. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A diofantikus egyenletek nevüket Diophantos, 3. században élt görög matematikusról kapták, aki Aritmetika című művében először foglalkozott azzal, hogy egy egyenlet (vagy egyenletrendszer) egész megoldásait megkeresse ‐ azaz a diofantikus egyenletekkel. Az ilyen egyenletek az aritmetika megjelenése óta komoly feladat elé állították a matematikusok népes seregét, és nemritkán az ilyen egyenletek feltörhetetlen diónak látszottak. Az ún. Fermat-féle

\begin{matrix} x^{n} + y^{n} = z^{n} (n \geq 3) \end{matrix}

egyenletről a mai napig nem tudjuk, hogy elég nagy

n

-ekre van-e pozitív egészekből álló

(x, y, z)

megoldása. Napjainkban egy fiatal német matematikus, Gerd Faltings egy viszonylag új matematikai apparátussal ‐ az algebrai görbék elméletével ‐ lényegesnek látszó lépést tett a Fermat-féle egyenlet megoldhatóságának eldöntésére. Bebizonyította, hogy

n \geq 4

esetén a fenti egyenletnek legfeljebb véges sok, páronként relatív prím egész számokból álló

(x, y, z)

megoldáshármasa van
Nyomban felmerül az a kérdés, hogy mi a helyzet az

\begin{matrix} x^{m} + y^{m} = z^{n} m, n \geq 2 egészek és (m, n) = 1, & (1) \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} x^{p} + y^{q} = z^{r} p, q, r \geq 2 egészek  és (p, q) = (p, r) = (q, r) = 1 & (2) \end{matrix}

egyenletek esetén, hány pozitív egészekből álló megoldásuk van?
Az ezeknél általánosabb

\begin{matrix} x_{1}^{p_{1}} + x_{2}^{p_{2}} + ... + x_{k}^{p_{k}} = x_{k + 1}^{p_{k + 1}}, k \geq 2, p_{i} \geq 2 egész  és (p_{i}, p_{j}) = 1 minden \\ 1 \leq i < j \leq k + 1 esetén, & (A) \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} x_{1}^{p} + x_{2}^{p} + ... + x_{k}^{p} = x_{k + 1}^{q}, p, q \geq 2 egész  és (p, q) = 1 & (B) \end{matrix}

egyenletekről fogjuk bebizonyítani, hogy mind az (A), mind a (B) típusú egyenleteknek végtelen sok természetes egészekből álló

(x_{1}, x_{2}, ..., x_{k})

megoldása van.
Először az (A) egyenlettel foglalkozunk. Ennek megoldásait keressük az alábbi alakban:

\begin{matrix} x_{i} = k^{α_{i}} 1 \leq i \leq k + 1, & (a1) \end{matrix}

ahol legyen

α_{i}

olyan egész szám, hogy

\begin{matrix} α_{i} p_{i} = λ 1 \leq i \leq k, & (a2) \end{matrix}

valamilyen fix

λ

-ra. Ezekkel az (A) a következőképpen alakul:

\begin{matrix} k \cdot k^{λ} = k^{p_{k + 1} α_{k + 1}}, & (a3) \end{matrix}

ami azt jelenti, hogy

\begin{matrix} p_{k + 1} α_{k + 1} - λ = 1. & (a4) \end{matrix}

Az (

a

2) miatt

p_{i} | λ

, és

i \neq j

mellett

(p_{i}, p_{j}) = 1

, így

p_{1} p_{2} ... p_{k} | λ

, azaz létezik olyan

q

pozitív egész, amelyre

p_{1} p_{2} ... p_{k} q = λ

. Jelölje

P

p_{1} p_{2} p_{3} ... p_{k}

szorzatot. (

a

2)-ből

\begin{matrix} α_{i} = p_{1} p_{2} ... p_{i - 1} p_{i + 1} ... p_{k} q = \frac{P}{p_{i}} q, \end{matrix}

és (

a

4)-ből

\begin{matrix} p_{k + 1} α_{k + 1} - p_{1} p_{2} ... p_{k} q = p_{k + 1} α_{k + 1} - P q = 1. & (a5) \end{matrix}

Ismeretes, hogy ha

(a, b) = 1

, akkor az

a x - b y = 1

elsőfokú, diofantikus egyenletnek végtelen sok

(x, y)

egészekből álló megoldása van, és valamennyi megoldás

\begin{matrix} x = x_{0} + b t & (a6) \\ y = y_{0} + a t \end{matrix}

alakban írható fel, ahol

(x_{0}, y_{0})

egy tetszőleges megoldás,

t

pedig valamilyen egész szám. (Lásd: dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet. 151. oldal, Tankönyvkiadó). Ha most

a

és

b

pozitívak, akkor van olyan

t'

pozitív egész, amely mellett minden

t'

-nél nem kisebb

t

-re az (

a

6) szerint adódó

x

és

y

is pozitív, azaz végtelen sok pozitív egész megoldása van az

a x - b y = 1

egyenletnek.
Visszatérve (

a

5)-re, mivel

(p_{i}, p_{j}) = 1 (i \neq j)

, ezért

(p_{k + 1}, P) = 1

is igaz, így az (

a

5) egyenletnek végtelen sok

(α_{k + 1}, q)

pozitív egész megoldása van, és a megoldások

\begin{matrix} α_{k + 1} = α_{0} + p_{1} p_{2} ... p_{k} t = α_{0} + P t, \\ q = q_{0} + p_{k + 1} t \end{matrix}

alakban írhatók, ahol

t > max (- \frac{α_{0}}{P}, - \frac{q_{0}}{p_{k + 1}})

és egész,

α_{0}, q_{0}

pedig (

a

5)-nek egy tetszőleges megoldása. Az (

a

1)‐(

a

5) egyenletekből nyert

\begin{matrix} x_{i} = k^{p_{1} p_{2} ... p_{i - 1} p_{i + 1} ... p_{k} (q_{0} - p_{k + 1} t)} = k^{\frac{P}{p_{i}} (q_{0} + p_{k + 1} t)} 1 \leq i \leq k \end{matrix}

és

\begin{matrix} x_{k + 1} = k^{p_{1} p_{2} ... p_{k} t + α_{0}} = k^{P t + α_{0}} \end{matrix}

szolgáltatják az (A) egyenletnek végtelen sok pozitív egész megoldását.

Rátérve most a (B) egyenletre, ennek megoldásait

\begin{matrix} x_{i} = k^{α}, x_{k + 1} = k^{β} & (b1) \end{matrix}

alakban keressük, ahol

α

és

β

meghatározandó pozitív egészek.

\begin{matrix} k \cdot k^{α p} = k^{β q}, & (b2) \end{matrix}

ami akkor és csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} q β - p α = 1. & (b3) \end{matrix}

Mivel

(p, q) = 1

, ezért a már idézettek miatt (

b

3)-nak végtelen sok egész megoldása van, és minden megoldás

\begin{matrix} β = β_{0} + p t, & (b4) \\ α = α_{0} + q t \end{matrix}

alakú, ahol

(α_{0}, β_{0})

egy megoldása (

b

3)-nak,

t

pedig tetszőleges egész. Ha most

t > max (- \frac{β_{0}}{p}, - \frac{α_{0}}{q})

, akkor (

b

4) pozitív egész megoldást szolgáltat. (

b

3)-nak végtelen sok pozitív egész megoldása van, s így (

b

1) miatt

\begin{matrix} (1 \leq i \leq k) x_{i} = k^{α_{0} + q t}, x_{k + 1} = k^{β_{0} + p t} \end{matrix}

a (B) egyenletnek végtelen sok pozitív egész megoldását adja.
Könnyen látható, hogy az alábbi két egyenletnek is végtelen sok természetes szám megoldása van:

\begin{matrix} x_{1}^{p_{1}} + x_{2}^{p_{2}} + ... + x_{k}^{p_{k}} = x_{k + 1}^{p_{k + 1}} + x_{k + 2}^{p_{k + 2}} + ... + x_{k + r}^{p_{k + r}} (r \neq k), & (C) \\ x_{1}^{p} + x_{2}^{p} + ... + x_{k}^{p} = x_{k + 1}^{q} + x_{k + 2}^{q} + ... + x_{k + r}^{q} (r \neq k), & (D) \end{matrix}

ha a kitevőkre az (A) illetve (B)-ben felírt megszorítások fennállanak. Ezeket az egyenleteket ugyanis az (A), illetve (B) típusúakra vezethetjük vissza, ha az általánosság megszorítása nélkül feltesszük, hogy

k > r

, továbbá az

s = k - r + 1

jelöléssel

\begin{matrix} x_{s + 1}^{p_{s + 1}} = x_{k + 2}^{p_{k + 2}}, ..., x_{k}^{p_{k}} = x_{k + r - 1}^{p_{k + r - 1}} . \end{matrix}

Módszerünk sajnos alkalmatlan a Fermat-féle egyenlet tárgyalására, hiszen lényegesen kihasználtuk a kitevők relatív prím voltát.