Cím: Paraboláról, hiperboláról elemi geometriai eszközökkel II. rész
Szerző(k):  Rácz János 
Füzet: 1984/május, 193 - 199. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sík pontjai egy parabola szempontjából három diszjunkt halmazba sorolhatók: azon pontok halmaza, amelyek a vezéregyeneshez közelebb vannak, mint a fókuszhoz; azon pontok halmaza, amelyek a vezéregyenestől és a fókusztól egyenlő távolságra vannak; azon pontok halmaza, amelyek a vezéregyenestől távolabb vannak, mint a fókusztól.
Olyan egyenes, amelynek minden pontja az első halmazba esik, létezik - pl. maga a vezéregyenes -, míg olyan egyenes, amelynek minden pontja a harmadik halmazba esik, nem létezik.
Hasonló három halmazba sorolás létezik a kör szempontjából is: azon pontok halmaza, amelyeknek a középponttól mért távolsága nagyobb a kör sugaránál, azon pontok halmaza, amelyeknek a középponttól mért távolsága egyenlő a kör sugarával, azon pontok halmaza, amelyeknek a középponttól mért távolsága kisebb a kör sugaránál. Itt is létezik olyan egyenes, amelynek minden pontja az első halmazba tartozik, de nem létezik olyan egyenes, amelynek minden pontja a harmadik halmazba tartozik. A körnél kézenfekvő, hogy az első halmazba tartozó pontokat külső, a harmadik halmazba tartozókat belső pontoknak hívjuk. Ezért a parabolánál is azokat a pontokat, amelyek a vezéregyeneshez közelebb vannak, mint a fókuszhoz, külső, míg azokat, amelyek a vezéregyenestől távolabb vannak, mint a fókusztól, belső pontoknak nevezzük. Vegyük még észre, hogy mind a körnél, mint a parabolánál a külső pontokból a görbe domborúnak, míg a belső pontokból homorúnak látszik.
A hiperbolánál ugyanez a három halmaz: azon pontok halmaza, amelyekre a fókusztól mért távolságkülönbség abszolút értéke kisebb, mint 2a, azon pontok halmaza, amelyekre a fókuszoktól mért távolságkülönbség abszolút értéke 2a, azon pontok halmaza, amelyekre a fókuszoktól mért távolságkülönbség abszolút értéke nagyobb, mint 2a. Itt is létezik olyan egyenes, amelynek minden pontja az első halmazba tartozik - pl. a melléktengely - és nem létezik olyan egyenes, amelynek minden pontja a harmadik halmazba tartozik. Itt is igaz, hogy az első halmaz pontjaiból a hiperbola domborúnak, míg a harmadik halmaz pontjaiból homorúnak látszik. Az ellipszisre vonatkozó ugyanilyen típusú megállapításokat az olvasóra bízom.
Ezek után célszerű a parabola, a hiperbola, az ellipszis érintőjét a kör érintőjéhez hasonlóan úgy definiálni, hogy olyan egyenesek, amelyeknek egy közös pontjuk van a görbével és minden más pontjuk külső pont.
A parabola definíciója átfogalmazható a következőképpen: a parabola azon körök középpontjainak halmaza, amely körök érintik a vezéregyenest és átmennek a fókuszon. A hiperbola és az ellipszis esetén tekintsük az F1 középpontú 2a sugarú kört ‐ ennek neve vezérkör. Hiperbola esetén a másik fókusz - F2 - a vezérkörön kívül, ellipszis esetén a vezérkörön belül van és a két fókusz két különböző pont. A közös definíció: azon körök középpontjainak halmaza, amelyek a vezérkört érintik és átmennek a másik fókuszon.

 
 
7. ábra
 

 
 
8. ábra
 

Tetszőleges görbepont szerkesztését ezek alapján úgy végezzük el, hogy a vezérvonalon kijelölünk egy érintési pontot - legyen ez E, és keressük annak a körnek a középpontját, amelyik a vezérvonalat E-ben érinti és átmegy a fókuszon. Az e egyenes a 7.-8. ábrákon olyan egyenes, amelynek R kivételével minden pontja külső pont. A parabolánál RF=RE miatt minden R-től különböző P pontra a vezéregyenestől mért távolság (PP') kisebb a fókusztól mért távolságnál: PP'<PE=PF. A hiperbolánál PF2=PE, és így a PEF1 háromszögben a PF1,PE oldalak különbsége valóban kisebb EF1=2a-nál. Tehát az e egyenes érintője a görbéknek.
Az érintő szerkesztéséből adódik, hogy a fókusznak az érintőre vonatkozó tengelyes tükörképe a vezérvonalon van, az érintő az F1RF2 háromszög belső szögfelezője a hiperbolánál, a parabolánál az ERF szög felezője; a fókuszból az érintőre állított merőleges talppontja a fővonalon van. Hiperbolánál és ellipszisnél általánosan elterjedt, hogy az O középpontú a sugarú kör neve főkör. A parabolánál csúcsérintő vagy tengelyponti érintő a szokásos elnevezés, melyet a hiperbola és ellipszis mintájára én főegyenesnek nevezek. Ez annál is inkább indokolt, mert mindhárom görbénél a fővonal a vezérvonalnak a fókuszra vonatkozó 1/2 arányú középpontosan hasonló képe. (A 7. ábráról a parabola érintőjének két további közismert tulajdonsága is leolvasható: az érintő a főegyenesből fele akkora szakaszt vág le, mint az E érintési pont távolsága a tengelytől; az érintő a tengelyen ugyanakkora és ellentétes irányítású szakaszt vág le, mint az érintési pont távolsága a főegyenestől.
 

⋆
 

5. feladat. Igazoljuk, hogy a parabolának semelyik két érintője nem párhuzamos !
 

⋆

Érintőszerkesztés kúpszelethez
 

Ha kúpszelethez külső pontból érintőt akarunk szerkeszteni, akkor az érintő és a fővonal metszéspontjai szerkeszthetők, mert ezek a pontok a fővonalon kívül rajta vannak a külső pont - fókusz szakasz Thalész-körén. Így tehát egy pontból legfeljebb két érintő szerkeszthető.
Abból, hogy a fókusznak bármely érintőre vonatkozó tengelyes tükörképe a vezérvonalon van, következik parabolánál, hogy a vezéregyenesnek bármely érintőre vonatkozó tengelyes tükörképe átmegy a fókuszon. Kapcsoljuk ezt a tényt 6.-9. TÉTELeinkhez:
 

12. TÉTEL. A parabola bármely három érintője által meghatározott háromszög magasságpontja rajta van a vezéregyenesen.
 

13. TÉTEL. A parabola bármely három érintője által meghatározott háromszög körülírt körén rajta van a fókusz.
 

⋆
 

6. feladat. Szerkesszük meg a parabola vezéregyenesét és fókuszát, ha adott a parabola négy érintője !
 

7. feladat. Egy parabola két érintője akkor és csakis akkor merőleges egymásra, ha az érintési pontokat összekötő egyenes átmegy a fókuszon, és a két érintő metszéspontja rajta van a vezéregyenesen.
 

⋆
 

Egyenes és kúpszelet közös pontjainak meghatározása.
 

Legyen adott a vezérvonal, a fókusz és egy g egyenes. Keressük a kúpszelet és g közös pontjait. Vagyis keressük azoknak a köröknek a középpontjait, amely körök érintik a vezérvonalat, átmennek a fókuszon és a középpontjuk rajta van a g egyenesen. Így a g egyenes a keresett körök átmérőegyenese, tehát ha átmegy a kör a fókuszon, akkor átmegy a fókusznak g-re vonatkozó tengelyes tükörképén is. Feladatunk tehát parabolánál: szerkesztendő kör, amelyik átmegy két adott ponton és érint egy adott egyenest. Hiperbolánál és ellipszisnél: szerkesztendő kör, amelyik átmegy két adott ponton és érint egy adott kört.
Ha a fókusz tükörképe éppen a vezérvonalra esik, akkor a g egyenes éppen érintő és az érintési pont szerkesztése az ábráról leolvasható. Ha a vezérvonal elválasztja egymástól a fókuszt és annak g-re vonatkozó tengelyes tükörképét, akkor nyilván nincs olyan kör, tehát a g egyenesnek minden pontja külső pont. Ha a fókusz és a g-re vonatkozó tengelyes tükörképe a vezérvonal ugyanazon partjára esik, akkor két ilyen kör van, így a g egyenesnek a kúpszelettel két metszéspontja van.
Parabola esetén jelöljük F-nek g-re vonatkozó tengelyes tükörképét G-vel, továbbá az FG egyenes és a vezéregyenes metszéspontját M-mel. Ekkor MG és MF mértani közepe szerkeszthető, a vezéregyenesen M-től mértani közép-távolságra levő pontok legyenek M1 és M2⋅M1-ben, ill. M2-ben a vezéregyenesre állított merőlegeseknek g-vel való metszéspontjai legyenek R1 és R2. Ezek éppen g és a parabola közös pontjai.
 

⋆
 

A parabolának nyilván nincs konvex burka, tehát a parabolához kell ideális pontot rendelni. Mármost, ha az FG egyenes és a d vezéregyenes M metszéspontja létezik, vagyis FG nem párhuzamos d-vel, akkor az egyenesnek vagy minden pontja külső pont, vagy érintő, vagy szelő két metszésponttal. Ha viszont FG párhuzamos d-vel, vagyis a g egyenes a parabola tengelyével párhuzamos, akkor egy közös pont biztosan van; ettől g-n a vezéregyenestől távolodva, a félegyenes minden pontja a fókuszhoz van közelebb, tehát belső pont. Így kézenfekvő, hogy a tengely ideális pontját csatoljuk a parabolához. Az ideális egyenes most a parabola érintője lesz, mert a tengely ideális pontja görbepont, az összes többi pontja a parabola szempontjából külső pont, hiszen minden egyenesen egy helytől kezdve minden pont d-hez van közelebb.
 

⋆
 

Térjünk vissza most a hiperbolához. A 8. ábra mutatja egy hiperbolapont és a hozzá tartozó érintő megszerkesztését. Legyenek most F2-ből a vezérkörhöz húzható érintők érintési pontjai G1 és H1. F2G1, ill. F2H1 felező merőlegese párhuzamos F1G1-gyel, ill. F1H1-gyel. E felező merőlegesek átmennek a hiperbola O középpontján, és F2G1ésF2H1 a főkörnek is érintői; az érintési pontok legyenek G,illH. Az OG és OH egyenesek minden közönséges pontja külső pont, hiszen ha K ezen egyenesek egyikének pontja, akkor az F1G1K háromszögben két oldal különbsége kisebb, mint F1G1=2a. F2-nek ezen egyenesekre vonatkozó tengelyes tükörképei a vezérkörön vannak, ezért OG és OH a hiperbola két ideális pontjához tartozó érintő, a hiperbola két aszimptotája. Az OGF2 háromszöget a GOF2 szög felezőjére tükrözve OAC háromszöget kapjuk, A a hiperbola egyik tengelypontja, AC=b;OC=OF2=OF1=c.
Legyen most adva F1,F2 és a két aszimptota ‐ ezek egymás tengelyes tükörképei F1F2-re vonatkozóan.
 
 
9. ábra
 

A 9. ábrán F1F2 felező merőlegesén tetszőlegesen felvéve a G pontot és megrajzolva a G középpontú GF1=GF2 sugarú kört; ez az a1 egyenest A1 és A5; az a2 egyenest A2 és A6 pontokban metszi. Az A1A2 és OG metszéspontja C;A1A2 felezőpontja R.
 
14. TÉTEL. Az A1A2 egyenes az F1RF2 szög felezője.
 

Bizonyítás. Az állítás igazolására elég belátni, hogy F1RF2C húrnégyszög. G rajta van A1OA2 körülírt körén, mert G e háromszög külső szögfelezőjének és A1A2 felező merőlegesének metszéspontja. C e két kör hatványvonalának pontja, tehát C-ből a G középpontú körhöz húzható érintő hossza CO és CG mértani közepe; és ezért CG átfogója annak a derékszögű háromszögnek, amelynek egyik befogója az érintő, és ennek CG-re eső vetülete CO. Így CG Thalész-köre F1 és F2 pontokban metszi az F1F2 egyenest. Ezen a Thalész-körön R is rajta van, mert GRC∢=90∘.
 
15. TÉTEL. R pontja annak a hiperbolának, amelynek a fókuszai F1,F2, aszimptotái a1,a2, és így valós féltengelye ON=a, ahol N az F2 fókusz vetülete az a1 aszimptotán.
 

Bizonyítás. A 9. ábrán F2-nek az A1A2 egyenesre vonatkozó tengelyes tükörképe E, F2E és A1A2 metszéspontja M, ezért OM párhuzamos F1R-rel, és 2OM=F1E. Az állítás igazolására be kell látni, hogy OM=a.
Ha megmutatjuk, hogy NOM∢=2x (x=MNF2∢), akkor készen vagyunk, mert ONF2∢=90∘, így x szög érintő szárú kerületi szög, hiszen a 2x szög ekkor középponti szög.
A1F2 Thalész-körén rajta van az N és az M pont, így MA1F2∢=A2A1F2∢= =x; de A2GF2∢=2x, mert az A2F2-höz tartozó középponti szög.
CF2 Thalész-körén van O és M, így MOF2∢=MCF2∢=RCF2∢= =RGF2∢. Tekintve, hogy A2OGA1 húrnégyszög, GA2A1∢=GOA1∢.
A GRA2 derékszögű háromszögben RGF2∢+GA2R∢+2x=90∘. Az O-nál levő derékszögből a két három betűs szög megegyezik, így NOM∢=2x.
 
16. TÉTEL. A hiperbola érintőjének az aszimptoták közti szakaszát az érintési pont felezi.
A1A2-ről beláttuk, hogy a hiperbola R pontbeli érintője, mert az F1RF2 szög felezője.
 
17. TÉTEL. A hiperbola bármely szelőjén az aszimptoták közti szakasz felezőpontja egyben a szelőre eső húr felezőpontja.
A hiperbolánál és ellipszisnél a párhuzamos húrok felezőpontjai egy, a középponton átmenő egyenesen vannak.
Így az A1A2-vel párhuzamos húrok felezőpontjai az OR egyenesre esnek. Ez súlyvonala azon háromszögeknek, amelyeknek két oldala a két aszimptota, harmadik oldala pedig párhuzamos A1A2-vel.
Ezzel az állítást arra az esetre igazoltuk, amikor a szelő az egyik ág szelője.
 

18. TÉTEL. Az A1OA2 háromszög területe állandó - tehát nem függ attól, hogy az F1 és F2-n átmenő körök közül melyiket rajzoltuk meg.
t=12OA1⋅OA2sin2u=OA1⋅OA2sinucosu=c2sinucosu=ab,
ahol u=F2OA1∢.
 
19. TÉTEL. Az A1OA2 háromszög a minimális területű mindazon háromszögek között, amelynek két oldalegyenesé a1 és a2, a harmadik oldal pedig átmegy az R ponton.
 
 
10. ábra
 

A 10. ábrán tekintsük az OMN háromszöget. Legyen M-nek R-re vonatkozó középpontos tükörképe L, ekkor az OMN háromszög területe az A2LN háromszög területével nagyobb az OA1A2 háromszög területénél.
 

20. TÉTEL. Az R pontnak az aszimptotáktól mért távolságainak a szorzata állandó.
Jelöljük R távolságát a1-től r1-gyel, a2-től r2-vel. OR mint súlyvonal felezi az OA1A2 háromszög területét:
OA1⋅r1=ab;OA2⋅r2=ab;
tehát
OA1⋅OA2⋅r1⋅r2=a2b2.
De
OA1⋅OA2=OA1⋅OA5=c2,
így
r1⋅r1=a2b2c2.
 

⋆
 

A 11. ábrán két, közös aszimptotájú hiperbola fókuszai és tengelyei láthatók úgy, hogy a két-két fókusz távolsága ugyanaz. A két aszimptota a téglalapot 4, egyenként ab területű háromszögre bontotta.
 
 
11. ábra
 

Tekintsük azokat a pontokat, amelyeken át húzható egyenesekkel minimális ab területű háromszögek alakíthatók ki a két aszimptotával mint oldallal. Az előbbiek alapján két ilyen hiperbolát kapunk. Az egyiknek F1 és F2 lesz a két fókusza, A és B a két tengelypontja; a másiknak F3 és F4 a két fókusza, D és E a két tengelypontja. E két hiperbolát egymáshoz képest konjugáltnak nevezzük.
 
 
12. ábra
 

A 12. ábrán az A1OA2 és az A1OA4 terület egyenlő, így R2 a konjugált hiperbola egy pontja: OR1 és OR2 két konjugált félátmérő.
 

⋆
 

Apollonius tételei: A konjugált félátmérők által kifeszített paralelogramma területe állandó. OR1A1R2 területe egyenlő az A1OA2 területtel.
A konjugált félátmérők négyzetének különbsége konstans.
OR→1+OR→2=OA→1;OR→1+OR→4=OR→1-OR→2=OA→2.
A két vektoregyenlet skaláris szorzata:
OR→12-OR→22=OA→1⋅OA→2=c2cos2u=c2(cos2u-sin2u)=a2-b2.

⋆
 

Hátra van még a 17. TÉTEL igazolása arra az esetre, amikor a szelő egyik metszéspontja az egyik ágon, másik metszéspontja a másik ágon van. Tekintsük ekkor az A1A4 egyenessel párhuzamos szelőket, ezeknek a felezőpontjai az OR2 egyenesen lesznek (12. ábra). Az OR2 egyenes azonban súlyvonala mindazon háromszögeknek, amelyeknek két oldalegyenese a két aszimptota, harmadik oldala pedig párhuzamos A1A4-gyel.
 

⋆
 

A bebizonyított állításokból következik, hogy a hiperbolára a szokásos ‐ fokális ‐ definíciója helyett adhatók vele ekvivalens más definíciók is:
Adott egy 2a,2b oldalú téglalap és az átlók egyik szögfelezője. A hiperbola azon pontok halmaza abban a két szögtartományban, amelyiket a szögfelező felez, amely pontokon át húzott egyenesek az átlókkal minimális ab területű háromszögeket határoznak meg.
A hiperbola azon pontok halmaza abban a két szögtartományban, amelyet a szögfelező felez, amelyeknek a két átlótól való távolságának szorzata a2b2c2, ahol c a téglalap félátlójának hossza.