A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A sík pontjai egy parabola szempontjából három diszjunkt halmazba sorolhatók: azon pontok halmaza, amelyek a vezéregyeneshez közelebb vannak, mint a fókuszhoz; azon pontok halmaza, amelyek a vezéregyenestől és a fókusztól egyenlő távolságra vannak; azon pontok halmaza, amelyek a vezéregyenestől távolabb vannak, mint a fókusztól. Olyan egyenes, amelynek minden pontja az első halmazba esik, létezik pl. maga a vezéregyenes , míg olyan egyenes, amelynek minden pontja a harmadik halmazba esik, nem létezik. Hasonló három halmazba sorolás létezik a kör szempontjából is: azon pontok halmaza, amelyeknek a középponttól mért távolsága nagyobb a kör sugaránál, azon pontok halmaza, amelyeknek a középponttól mért távolsága egyenlő a kör sugarával, azon pontok halmaza, amelyeknek a középponttól mért távolsága kisebb a kör sugaránál. Itt is létezik olyan egyenes, amelynek minden pontja az első halmazba tartozik, de nem létezik olyan egyenes, amelynek minden pontja a harmadik halmazba tartozik. A körnél kézenfekvő, hogy az első halmazba tartozó pontokat külső, a harmadik halmazba tartozókat belső pontoknak hívjuk. Ezért a parabolánál is azokat a pontokat, amelyek a vezéregyeneshez közelebb vannak, mint a fókuszhoz, külső, míg azokat, amelyek a vezéregyenestől távolabb vannak, mint a fókusztól, belső pontoknak nevezzük. Vegyük még észre, hogy mind a körnél, mint a parabolánál a külső pontokból a görbe domborúnak, míg a belső pontokból homorúnak látszik. A hiperbolánál ugyanez a három halmaz: azon pontok halmaza, amelyekre a fókusztól mért távolságkülönbség abszolút értéke kisebb, mint , azon pontok halmaza, amelyekre a fókuszoktól mért távolságkülönbség abszolút értéke , azon pontok halmaza, amelyekre a fókuszoktól mért távolságkülönbség abszolút értéke nagyobb, mint . Itt is létezik olyan egyenes, amelynek minden pontja az első halmazba tartozik pl. a melléktengely és nem létezik olyan egyenes, amelynek minden pontja a harmadik halmazba tartozik. Itt is igaz, hogy az első halmaz pontjaiból a hiperbola domborúnak, míg a harmadik halmaz pontjaiból homorúnak látszik. Az ellipszisre vonatkozó ugyanilyen típusú megállapításokat az olvasóra bízom. Ezek után célszerű a parabola, a hiperbola, az ellipszis érintőjét a kör érintőjéhez hasonlóan úgy definiálni, hogy olyan egyenesek, amelyeknek egy közös pontjuk van a görbével és minden más pontjuk külső pont. A parabola definíciója átfogalmazható a következőképpen: a parabola azon körök középpontjainak halmaza, amely körök érintik a vezéregyenest és átmennek a fókuszon. A hiperbola és az ellipszis esetén tekintsük az középpontú sugarú kört ‐ ennek neve vezérkör. Hiperbola esetén a másik fókusz a vezérkörön kívül, ellipszis esetén a vezérkörön belül van és a két fókusz két különböző pont. A közös definíció: azon körök középpontjainak halmaza, amelyek a vezérkört érintik és átmennek a másik fókuszon.
7. ábra
8. ábra Tetszőleges görbepont szerkesztését ezek alapján úgy végezzük el, hogy a vezérvonalon kijelölünk egy érintési pontot legyen ez , és keressük annak a körnek a középpontját, amelyik a vezérvonalat érinti és átmegy a fókuszon. Az egyenes a 7.8. ábrákon olyan egyenes, amelynek kivételével minden pontja külső pont. A parabolánál miatt minden -től különböző pontra a vezéregyenestől mért távolság kisebb a fókusztól mért távolságnál: . A hiperbolánál , és így a háromszögben a oldalak különbsége valóban kisebb . Tehát az egyenes érintője a görbéknek. Az érintő szerkesztéséből adódik, hogy a fókusznak az érintőre vonatkozó tengelyes tükörképe a vezérvonalon van, az érintő az háromszög belső szögfelezője a hiperbolánál, a parabolánál az szög felezője; a fókuszból az érintőre állított merőleges talppontja a fővonalon van. Hiperbolánál és ellipszisnél általánosan elterjedt, hogy az középpontú sugarú kör neve főkör. A parabolánál csúcsérintő vagy tengelyponti érintő a szokásos elnevezés, melyet a hiperbola és ellipszis mintájára én főegyenesnek nevezek. Ez annál is inkább indokolt, mert mindhárom görbénél a fővonal a vezérvonalnak a fókuszra vonatkozó 1/2 arányú középpontosan hasonló képe. (A 7. ábráról a parabola érintőjének két további közismert tulajdonsága is leolvasható: az érintő a főegyenesből fele akkora szakaszt vág le, mint az érintési pont távolsága a tengelytől; az érintő a tengelyen ugyanakkora és ellentétes irányítású szakaszt vág le, mint az érintési pont távolsága a főegyenestől.
5. feladat. Igazoljuk, hogy a parabolának semelyik két érintője nem párhuzamos !
Érintőszerkesztés kúpszelethez Ha kúpszelethez külső pontból érintőt akarunk szerkeszteni, akkor az érintő és a fővonal metszéspontjai szerkeszthetők, mert ezek a pontok a fővonalon kívül rajta vannak a külső pont fókusz szakasz Thalész-körén. Így tehát egy pontból legfeljebb két érintő szerkeszthető. Abból, hogy a fókusznak bármely érintőre vonatkozó tengelyes tükörképe a vezérvonalon van, következik parabolánál, hogy a vezéregyenesnek bármely érintőre vonatkozó tengelyes tükörképe átmegy a fókuszon. Kapcsoljuk ezt a tényt 6.9. TÉTELeinkhez: 12. TÉTEL. A parabola bármely három érintője által meghatározott háromszög magasságpontja rajta van a vezéregyenesen. 13. TÉTEL. A parabola bármely három érintője által meghatározott háromszög körülírt körén rajta van a fókusz.
6. feladat. Szerkesszük meg a parabola vezéregyenesét és fókuszát, ha adott a parabola négy érintője ! 7. feladat. Egy parabola két érintője akkor és csakis akkor merőleges egymásra, ha az érintési pontokat összekötő egyenes átmegy a fókuszon, és a két érintő metszéspontja rajta van a vezéregyenesen.
Egyenes és kúpszelet közös pontjainak meghatározása. Legyen adott a vezérvonal, a fókusz és egy egyenes. Keressük a kúpszelet és közös pontjait. Vagyis keressük azoknak a köröknek a középpontjait, amely körök érintik a vezérvonalat, átmennek a fókuszon és a középpontjuk rajta van a egyenesen. Így a egyenes a keresett körök átmérőegyenese, tehát ha átmegy a kör a fókuszon, akkor átmegy a fókusznak -re vonatkozó tengelyes tükörképén is. Feladatunk tehát parabolánál: szerkesztendő kör, amelyik átmegy két adott ponton és érint egy adott egyenest. Hiperbolánál és ellipszisnél: szerkesztendő kör, amelyik átmegy két adott ponton és érint egy adott kört. Ha a fókusz tükörképe éppen a vezérvonalra esik, akkor a egyenes éppen érintő és az érintési pont szerkesztése az ábráról leolvasható. Ha a vezérvonal elválasztja egymástól a fókuszt és annak -re vonatkozó tengelyes tükörképét, akkor nyilván nincs olyan kör, tehát a egyenesnek minden pontja külső pont. Ha a fókusz és a -re vonatkozó tengelyes tükörképe a vezérvonal ugyanazon partjára esik, akkor két ilyen kör van, így a egyenesnek a kúpszelettel két metszéspontja van. Parabola esetén jelöljük -nek -re vonatkozó tengelyes tükörképét -vel, továbbá az egyenes és a vezéregyenes metszéspontját -mel. Ekkor és mértani közepe szerkeszthető, a vezéregyenesen -től mértani közép-távolságra levő pontok legyenek és -ben, ill. -ben a vezéregyenesre állított merőlegeseknek -vel való metszéspontjai legyenek és . Ezek éppen és a parabola közös pontjai.
A parabolának nyilván nincs konvex burka, tehát a parabolához kell ideális pontot rendelni. Mármost, ha az egyenes és a vezéregyenes metszéspontja létezik, vagyis nem párhuzamos -vel, akkor az egyenesnek vagy minden pontja külső pont, vagy érintő, vagy szelő két metszésponttal. Ha viszont párhuzamos -vel, vagyis a egyenes a parabola tengelyével párhuzamos, akkor egy közös pont biztosan van; ettől -n a vezéregyenestől távolodva, a félegyenes minden pontja a fókuszhoz van közelebb, tehát belső pont. Így kézenfekvő, hogy a tengely ideális pontját csatoljuk a parabolához. Az ideális egyenes most a parabola érintője lesz, mert a tengely ideális pontja görbepont, az összes többi pontja a parabola szempontjából külső pont, hiszen minden egyenesen egy helytől kezdve minden pont -hez van közelebb.
Térjünk vissza most a hiperbolához. A 8. ábra mutatja egy hiperbolapont és a hozzá tartozó érintő megszerkesztését. Legyenek most -ből a vezérkörhöz húzható érintők érintési pontjai és . , ill. felező merőlegese párhuzamos -gyel, ill. -gyel. E felező merőlegesek átmennek a hiperbola középpontján, és a főkörnek is érintői; az érintési pontok legyenek . Az és egyenesek minden közönséges pontja külső pont, hiszen ha ezen egyenesek egyikének pontja, akkor az háromszögben két oldal különbsége kisebb, mint . -nek ezen egyenesekre vonatkozó tengelyes tükörképei a vezérkörön vannak, ezért és a hiperbola két ideális pontjához tartozó érintő, a hiperbola két aszimptotája. Az háromszöget a szög felezőjére tükrözve háromszöget kapjuk, a hiperbola egyik tengelypontja, . Legyen most adva és a két aszimptota ‐ ezek egymás tengelyes tükörképei -re vonatkozóan.
9. ábra A 9. ábrán felező merőlegesén tetszőlegesen felvéve a pontot és megrajzolva a középpontú sugarú kört; ez az egyenest és ; az egyenest és pontokban metszi. Az és metszéspontja felezőpontja . 14. TÉTEL. Az egyenes az szög felezője. Bizonyítás. Az állítás igazolására elég belátni, hogy húrnégyszög. rajta van körülírt körén, mert e háromszög külső szögfelezőjének és felező merőlegesének metszéspontja. e két kör hatványvonalának pontja, tehát -ből a középpontú körhöz húzható érintő hossza és mértani közepe; és ezért átfogója annak a derékszögű háromszögnek, amelynek egyik befogója az érintő, és ennek -re eső vetülete . Így Thalész-köre és pontokban metszi az egyenest. Ezen a Thalész-körön is rajta van, mert . 15. TÉTEL. pontja annak a hiperbolának, amelynek a fókuszai , aszimptotái , és így valós féltengelye , ahol az fókusz vetülete az aszimptotán. Bizonyítás. A 9. ábrán -nek az egyenesre vonatkozó tengelyes tükörképe , és metszéspontja , ezért párhuzamos -rel, és . Az állítás igazolására be kell látni, hogy . Ha megmutatjuk, hogy , akkor készen vagyunk, mert , így szög érintő szárú kerületi szög, hiszen a szög ekkor középponti szög. Thalész-körén rajta van az és az pont, így ; de , mert az -höz tartozó középponti szög. Thalész-körén van és , így . Tekintve, hogy húrnégyszög, . A derékszögű háromszögben . Az -nál levő derékszögből a két három betűs szög megegyezik, így . 16. TÉTEL. A hiperbola érintőjének az aszimptoták közti szakaszát az érintési pont felezi. -ről beláttuk, hogy a hiperbola pontbeli érintője, mert az szög felezője. 17. TÉTEL. A hiperbola bármely szelőjén az aszimptoták közti szakasz felezőpontja egyben a szelőre eső húr felezőpontja. A hiperbolánál és ellipszisnél a párhuzamos húrok felezőpontjai egy, a középponton átmenő egyenesen vannak. Így az -vel párhuzamos húrok felezőpontjai az egyenesre esnek. Ez súlyvonala azon háromszögeknek, amelyeknek két oldala a két aszimptota, harmadik oldala pedig párhuzamos -vel. Ezzel az állítást arra az esetre igazoltuk, amikor a szelő az egyik ág szelője. 18. TÉTEL. Az háromszög területe állandó tehát nem függ attól, hogy az és -n átmenő körök közül melyiket rajzoltuk meg. | | ahol . 19. TÉTEL. Az háromszög a minimális területű mindazon háromszögek között, amelynek két oldalegyenesé és , a harmadik oldal pedig átmegy az ponton.
10. ábra A 10. ábrán tekintsük az háromszöget. Legyen -nek -re vonatkozó középpontos tükörképe , ekkor az háromszög területe az háromszög területével nagyobb az háromszög területénél. 20. TÉTEL. Az pontnak az aszimptotáktól mért távolságainak a szorzata állandó. Jelöljük távolságát -től -gyel, -től -vel. mint súlyvonal felezi az háromszög területét: tehát De így
A 11. ábrán két, közös aszimptotájú hiperbola fókuszai és tengelyei láthatók úgy, hogy a két-két fókusz távolsága ugyanaz. A két aszimptota a téglalapot , egyenként területű háromszögre bontotta.
11. ábra Tekintsük azokat a pontokat, amelyeken át húzható egyenesekkel minimális területű háromszögek alakíthatók ki a két aszimptotával mint oldallal. Az előbbiek alapján két ilyen hiperbolát kapunk. Az egyiknek és lesz a két fókusza, és a két tengelypontja; a másiknak és a két fókusza, és a két tengelypontja. E két hiperbolát egymáshoz képest konjugáltnak nevezzük.
12. ábra A 12. ábrán az és az terület egyenlő, így a konjugált hiperbola egy pontja: és két konjugált félátmérő.
Apollonius tételei: A konjugált félátmérők által kifeszített paralelogramma területe állandó. területe egyenlő az területtel. A konjugált félátmérők négyzetének különbsége konstans. | | A két vektoregyenlet skaláris szorzata: | |
Hátra van még a 17. TÉTEL igazolása arra az esetre, amikor a szelő egyik metszéspontja az egyik ágon, másik metszéspontja a másik ágon van. Tekintsük ekkor az egyenessel párhuzamos szelőket, ezeknek a felezőpontjai az egyenesen lesznek (12. ábra). Az egyenes azonban súlyvonala mindazon háromszögeknek, amelyeknek két oldalegyenese a két aszimptota, harmadik oldala pedig párhuzamos -gyel.
A bebizonyított állításokból következik, hogy a hiperbolára a szokásos ‐ fokális ‐ definíciója helyett adhatók vele ekvivalens más definíciók is: Adott egy oldalú téglalap és az átlók egyik szögfelezője. A hiperbola azon pontok halmaza abban a két szögtartományban, amelyiket a szögfelező felez, amely pontokon át húzott egyenesek az átlókkal minimális területű háromszögeket határoznak meg. A hiperbola azon pontok halmaza abban a két szögtartományban, amelyet a szögfelező felez, amelyeknek a két átlótól való távolságának szorzata , ahol a téglalap félátlójának hossza.
|