!!!!!No begin for end{center} 18964 18977 \end{center} \vskip6pt\par Az oldható kapcsolóelemekből származó előnyök:\par -- Meghatározott számú kiskockát tartalmazó, adott elrendezésben felfűzött játékláncból a nagykocka, vagy valamilyen hasáb rakható össze. Ismételt játszás során, mielőtt az összerakás rutinszerűvé válna, az elemek felcserélésével más sorrend, és így másik játék alakítható ki.\par A játék célja ezután pl. ismét a nagykocka összeállítása lehet, de most már új kiindulási formában.\par -- Új játéklánc hozható létre azáltal is, hogy a láncolatot szétszedve, a tartalékelem készlet felhasználásával a benne levő sarok- és kanyarelemek arányát változtatjuk meg. (Az új összetételű láncban is felcserélhetjük, megváltoztathatjuk az elemek felfűzési sorrendjét.)\par -- Az említett lehetőségek kihasználása után, újabb elemek hozzáadásával (több alapkészletből) egy nagyobb kocka összeállítása lehet a cél. Így pl. a $3\times 3\times 3$-as nagykocka minden elképzelt és megvalósítható lehetőségeinek végigjátszása után egy $4\times 4\times 4$ vagy $5\times 5\times 5$-ös kocka kialakítását célozhatjuk meg. Gyakorlatban az $5\times 5\times 5$-ös kocka már-már {\quotedblbase}megoldhatatlan'' feladat.\par -- A lánc végtelenítése tovább nehezítheti a játékot.\par -- A játék nehézségi foka széles határok között változik. Vannak önmaguktól adódó, triviális megoldások, pl. a $3\times 3\times 3$-as kockánál rövid idő alatt leporellós, könyvszerűen összehajtható a következő lánc: \[\text{\hbox{\it {V-E-K-K-E-K-K-E-K-K-E-K-K-E-K-K-E-K-K-E-K-K-E-K-K-E-V}}}\] De van olyan lánc is, melyből már igen nehéz kockát kirakni.\par -- A megbontható és újra összerakható konstrukció további előnye, hogy bepattintott állapotban minden csatlakozásnál könnyen forgatható, hajtogatható anélkül, hogy a lánc elszakadna -- ez a játékost a szabályszerű használatra ösztönzi.\par Feladatul nem csak a kockát, hanem a kockacsalád más tagjait is kiszemelhetjük. Az egydimenziós növekedést egyenes elemekkel érhetjük el. A kétdimenziós feladatok már nem triviálisak. Mivel az alapkészletben 36 elem van, kitűzhető az összes olyan téglalap összerakása, melyek oldalainak szorzata legfeljebb 36 (pl. $2\times 18$, $3\times 12$, $4\times 9$, $6\times 6$).\par Adott láncelrendezés mellett a háromdimenziós téglatestek közül csak nagyon kevés a megvalósítható, ezek is főleg kis elemszám esetén. A lehetséges téglatestek száma 15. (Az 1-től 36-ig tartó számsor tagjait három 1-nél nagyobb egész szám szorzataként ennyiféleképpen lehet felbontani, pl. a 36-ot $2\times 2\times 9$; $2\times3\times6$; $3\times3\times4$ alakban.)\par Joggal merülhet fel a kérdés, hogy az alapkészletben miért van szükség 23 kanyar- és 11 egyenes elemre, mikor csak a 27 elemből álló kockát kívánjuk összeállítani? \hbox{\it {D. Singmaster}} londoni matematikus kezdte vizsgálni az összeépítési lehetőségeket, az egyenes és kanyarelemek lehetséges számát és egymáshoz viszonyított elhelyezkedésüket. Megállapításaira támaszkodunk a további elemzésben.\par Megvizsgáljuk, hány egyenes elemet tudunk a különböző összeépítésű láncokban úgy elhelyezni, hogy a $3\times 3\times 3$-as kocka még összehajtogatható legyen. Mivel a végelemeket semlegesnek tekintjük, az egyenes $(E)$ és a kanyarelemek $(K)$ száma: \[E+K=25.\] Világos, hogy két egyenes elem nem állhat egymás után, mert ez 4 egységhosszt jelentene, ami meghaladná a kockaél méretét. Ezért legfeljebb 13 egyenes elem lehet a láncban és az is csak a következőképpen: \[\text{\hbox{\it {V-E-K-E-K-E-K-E-K-E-K-E-K-E-K-E-K-E-K-E-K-E-K-E-K-E-V}}}\] Ebben az esetben az egyenes elemeknek élközép helyen kellene állniuk, a $K$ elemeket és a végelemeket csak a kocka sarkaiban helyezhetnénk el, azaz 8 sarokba 14 elemet. Ez lehetetlen.\par Csökkentsük tehát az egyenes elemek számát: \[E=12\hskip 1em\hbox{\rm {és}}\hskip 1emK=13.\] Továbbra is fennáll az a feltétel, hogy egymás után 2 egyenes elem nem állhat. Mivel az egyenes elemek számát eggyel csökkentettük és a kanyarelemekét eggyel növeltük, két olyan kanyarelemünk keletkezett, amelyeknél a láncot úgy hajlíthatjuk, hogy az lapközépre, illetve kockaközépre kerüljön. Így két dupla $(.~ .~ E~K~K~E~ .~ .~ E~K~K~E~ .~ . )$ vagy egy tripla $(.~ .~ E~K~K~K~E ~. ~. )$ hajlításra van lehetőségünk.\par A kockaközépre akár $E$-t akár $K$-t helyezünk, a továbbvezetéshez és visszafordításhoz több $K$ elemet kellene felhasználnunk, mint ami rendelkezésünkre áll. Tehát az $E=12$ is lehetetlen.\par Azt, hogy $E=11$, $K=14$ esetben van olyan lánc, amiből a kockát össze lehet illeszteni, egy példával bizonyítjuk. A 4. ábra a láncot és az összeállítás sorrendjét mutatja.\par \vskip6pt\begin{center} \epsfbox{1984-03-101-1.eps} \vskip3pt \hbox{\it {4. ábra}} \end{center} \vskip6pt\par Ezek után próbáljuk meghatározni az egyeneselemek számának minimumát.\par Ha $E=0$, azaz csak kanyarelemek vannak, akkor egy sarokpontról csak úgy juthatunk el a következő sarokpontig, ha közben legalább egy lapközépen is átmegyünk. A $3\times3\times 3$-as kockán összesen 14 sarok és lapközéppont van, és mivel minden sarok után egy-egy lapközepet is érinteni kellene, így legalább 7 lapközépponton kellene átmenni, ami lehetetlen.\par Próbálkozzunk az $E=1$-gyel. Az egyenes elemet 2 sarokpont összekötésére kellene felhasználnunk, mert különben a továbbhaladás szempontjából két nélkülözhetetlen lapközepet vesztenénk el.\par A megmaradó többi sarokelem szomszédos a 6 db lapközéppel. Minden sarok--lapközép, illetve lapközép--sarok összekötés még egy élkockát is elfoglal, így $12+1$ élre lenne szükség. Azaz $E=1$ is lehetetlen.\par \vskip6pt\begin{center} \epsfbox{1984-03-101-2.eps} \vskip3pt \hbox{\it {5. ábra}} \end{center} \vskip6pt\par Az $E=2$ lehetőséget az 5. ábra szemlélteti. A megoldás természetesen csak az egyik a lehetségesek közül, a 2 egyenes elemet sokféleképpen lehet elhelyezni.\par Példákkal bizonyítható, hogy az $E_{\rm{min}}=2$ és az $E_{\rm{max}}=11$ között $E$ minden értéke lehetséges. \par Rögzített $E$ értéknél az egyenes- és a sarokelemek elrendezésének száma (figyelembe véve, hogy a végelemek nem vesznek részt a számításban) ${25 \choose E}$.\par Ezek között vannak megoldhatatlanok. Más oldalról vannak olyan láncok, amelyekkel a feladat többféleképpen, többféle útvonalon megoldható. A 6. ábra erre mutat példát, a láncban $E=3$ egyenes elem van. (L. borítólapon)\par \vskip6pt\begin{center} \epsfbox{1984-03-146-1.eps} \vskip3pt \hbox{\it {6. ábra, a hátsó borítóról}} \end{center} \vskip6pt\par \vskip6pt{\centering \hbox{\it {További lehetőségek}} \par}\par \vskip6ptEddig a kocka alakú alapelemből álló játékláncok szerkezeti viszonyait vizsgáltuk. Az elemi kockákat vagy azok egy részét megfestve további lehetőségek adódnak. \hbox{\it {Bognár}} INKA-kockája a láncolt játékok és \hbox{\it {Mac Mahon}}\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} \footnote[1] {Század eleji francia matematikus} színes kockáinak kombinációja. A szerkezeti megoldás megengedi, hogy a kiskockák elemi középpont körül körbe forduljanak és így ne mindig ugyanazokon az oldalfelületeken kapcsolódjanak. (Hasonlóan az átpattintós lánchoz, bár ott ez nem valósul meg teljesen.) Ezáltal különféle szimmetrikus, színes ábrák hozhatók létre. Az INKA játék 8 db elemi kockát használ fel láncához és ezeket színezi úgy, hogy egy oldallapon több szín is található.\par Egyszerűbb a színezése a {\quotedblbase}Rattlesnake'' elnevezésű, 27 elemű kockaláncolatnak. Szerkezeti megoldása: gumiszál feszítésű $E-K$ univerzális elemek. Az elemeket 6 színnel festik be, és a cél egy olyan nagykocka összehajtogatása, melynek oldallapjai azonos színűek.\par Gyakori, hogy a kockaláncok elemei közül vagy a páros vagy páratlan elemeket a teljes felületükön megszínezik. Ezek ugyan nem változtatnak a feladatmegoldás nehézségén, csupán érdekes vizuális hatást keltenek: az összehajtott kocka oldallapjai sakktáblaszerűen vannak kiszínezve.\par Végül két feladatot tűzünk ki:\par 1. Bizonyítsuk be, hogy a $2\times2\times2$-es és a $4\times4\times4$-es kocka láncolatos felépítése végteleníthető, míg a $3\times 3\times3$-asé nem.\par 2. Lehet-e a láncolat kiindulópontja a $3\times3\times3$-as kocka közepén?\par A ROCK-játék kapcsán még sok válaszra váró kérdés vethető fel. A szerzők örömmel vesznek minden véleményt és természetesen a feladatok megoldását is.\par