A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Feladat: Egy háromszög nem egyenlő szárú, oldalait jelöljük , , -mal ( fekszik -vel szemben). Minden -re az oldal felezőpontja, az a pont, amelyben a beírt kör érinti -t és a pont tükörképe az -hez tartozó belső szögfelezőre nézve. Bizonyitsuk be, hogy az ,, egyenesek egy ponton mennek át.
Megoldás. Az a feltétel, hogy a háromszög nem egyenlő szárú, biztosítja, hogy a kérdéses egyenesek léteznek és különbözők. Tükrözzük a háromszög oldalegyenesét az csúcsból induló belső szögfelezőre. A kapott egyenes érinti a beírt kört, mégpedig pont tükörképében, azaz -ben, továbbá érinti a háromszög -hez hozzáírt körét is (1. ábra).
1. ábra Tekintsük az középpontú, sugarú körre vonatkozó inverziót. Ez az inverzió helyben hagyja a és köröket, hiszen mindkettő merőleges az inverzió alapkörére: a , illetve metszéspontokból a középpontokba mutató sugarak merőlegesek egymásra. Állítjuk, hogy a egyenes inverze éppen a háromszög Feuerbach-köre. Ebből a feladat állítása következik. Mivel érinti -t és -et is, azért inverze érinti -nak, valamint -nek inverzét, következésképp egy háromszög Feuerbach-köre érinti a háromszög beírt körét, továbbá a három hozzáírt kört is. A beírt kör és a Feuerbach-kör érintési pontja inverz képe annak a pontnak, ahol és érinti egymást, vagyis az pontnak, és így rajta van az egyenesen. Ugyanez az érintési pont rajta van az , egyeneseken is, s így ,, valóban egy ponton mennek át, ahogyan a feladat állította. Annak igazolása maradt még hátra, hogy inverz képe a háromszög Feuerbach-köre. Mivel nem megy át az inverzió középpontján, -en ( miatt), inverze egy -en átmenő kör. S mivel az háromszög Feuerbach-köre az középháromszög körülírt köre, elegendő megmutatnunk, hogy és is rajta van inverz képén, azaz ahol , ill. az , ill. félegyenesnek és a -nek metszéspontjai (2. ábra). Mivel és , azért | | az -ből induló belső szögfelezőnek és -nek a metszéspontja, tehát
2. ábra Végül a és hasonló háromszögekből | | vagyis | |
A és hasonló háromszögekből pedig | | vagyis | |
Ezzel a feladat állítását beláttuk, s azt is, hogy ez a közös pont éppen a beírt kör és a Feuerbach-kör érintési pontja.
Feladat: Tekintsük a következő tulajdonságú valós számsorozatokat: , és esetén . (a) Bizonyítandó, hogy minden ilyen sorozathoz van olyan , amelyre | |
(b) Adjunk meg egy ilyen sorozatot, amelyre minden esetén | |
Megoldás. Legyen egy megfelelő számsorozat, és legyen | | Minden ilyen sorozatra tekintsük azt az sorozatot, amelyet az összefüggés definiál. Nyilvánvalóan is megfelelő sorozat, azaz és az esetén, továbbá
hiszen . Belátjuk, hogy a feladat (a) állítása nemcsak -re, hanem minden -nél kisebb pozitív számra teljesül. Valóban, tegyük fel, hogy mégis volna olyan megfelelő számsorozat, melyre minden -re teljesül. Ekkor a fent definiált sorozat olyan, hogy minden -re | | Az -ből ugyanilyen módon képzett sorozatra s általában ha az sorozatot a fenti mintára kapjuk az sorozatból, akkor minden -re | | Indirekt feltevésünk szerint , tehát , így a jobb oldal elég nagy -ra kisebb -nél. De ez lehetetlen, hiszen ha , akkor például Ezzel a feladat (a) állítását bebizonyítottuk.
Legyen most olyan megfelelő sorozat, melyre minden -re. Az előbbieket -re alkalmazva kapjuk, hogy az sorozatra | | minden -re. Az előbb láttuk, hogy nem lehetséges, így csak lehet. Ekkor az sorozat tagjai rendre , , , . Mivel az sorozatra is igaz, hogy minden -re, azért az sorozat második tagja, , csak lehet. Ezért , és az sorozatra, melynek tagjai így , , , , teljesül minden -re. Ezt folytatva kapjuk, hogy ha van olyan megfelelő sorozat, mely teljesíti a feladat (b) részének feltételeit, akkor az csak az , , , , , sorozat lehet, ez pedig könnyen láthatóan jó. Így nemcsak megadtunk ilyen sorozatot, hanem azt is bizonyítottuk, hogy csak egy ilyen van.
|