Cím:	Az 1982-83. tanévi Országos Középiskolai Matematikai Verseny feladatai
Füzet:	1983/november, 116 - 117. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az 1982‐83. tanévi Országos Középiskolai Matematikai Verseny   Első (iskolai) forduló feladatai   1. Egységnyi oldalú négyzet két szomszédos oldalára ‐ mint alapokra ‐ befelé egyenlő oldalú háromszögeket rajzolunk. Mekkora a két háromszög közös részének területe? (7 pont) 2. Melyik az a (tízes számrendszerbeli) kétjegyű szám, amelynek négyzetéből levonva a számjegyeinek felcserélésével nyert kétjegyű szám négyzetét, pozitív négyzetszámot kapunk?  (9 pont) 3. Bizonyítsuk be, hogy ha $n$ pozitív egész számot jelöl, akkor az $\begin{array}{c}{\displaystyle S=-1+2^2-2^4+2^6-+\text{...}-2^{8n-4}+2^{8n-2}}\end{array}$ összeg osztható 51-gyel!  (9 pont) 4. Jelentsen $a$ az 1-től különböző pozitív (valós) számot! Oldjuk meg a valós számok halmazán az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^x}{a^x-1}>\frac{1+a^{-x}}{1-2a^{-x}}}\end{array}$ (1) egyenlőtlenséget!  (10 pont) 5. Adjuk meg a természetes számok halmazának három olyan részhalmazát, amelyekre teljesül, hogy bármely kettőnek közös része végtelen sok elemet tartalmaz, de a három halmaz közös része üres! (12 pont) 6. Jelölje $k_n$ az egységsugarú körbe írt $2^{n+1}$ oldalú szabályos sokszög kerületét, $K_n$ pedig az egységsugarú kör köré írt $2^{n+1}$ oldalú szabályos sokszög kerületét! Igazoljuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle K_{n+1}-k_{n+1}<\frac{K_n-k_n}{2}\mathrm{.}}\end{array}$  (12 pont) 7. Húzzunk tetszés szerinti szelőt az $ABC$ háromszögbe írt kör $O$ középpontján keresztül! Bizonyítsuk be, hogy ez a szelő olyan háromszöget vág le az eredeti $ABC$ háromszögből, amelynek területe: $t\ge 2r^2$, ahol $r$ az $ABC$ háromszögbe írt kör sugarát jelöli! Mely esetben érvényes az egyenlőség jele?  (16 pont) 8. Bizonyítsuk be, hogy ha $k$ és $n$ tetszőleges pozitív egész számokat jelentenek, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{min }\left(k^{1/n}\mathrm{,}{n}^{1/k}\right)\le 3^{1/3}\mathrm{.}}\end{array}$ Megjegyzés: $\text{min }\left(k^{1/n}\mathrm{,}{n}^{1/k}\right)$ jelenti a $k^{1/n}$ és $n^{1/k}$ számok közül a kisebbet (nem nagyobbat). (18 pont)   Második (döntő) forduló   Az alaptanterv szerint tanuló gimnáziumi, valamint a szakközépiskolák III. és IV. osztályos tanulóinak:.   1. Jelentsen $k$ pozitív egész számot! Bizonyítsa be, hogy ha 1-től ${10}^k$-ig összeadjuk az 5-tel nem osztható pozitív egész számokat, akkor összegül nem kaphatunk négyzetszámot! 2. A síkbeli derékszögű koordináta‐rendszerben adottak a következő pontok: $A\left(1;2\right)$, $B\left(7;3\right)$, $C\left(5;8\right)$, $D\left(3;7\right)$ és $E\left(6;6\right)$. Mely $P$ pontra lesz a lehető legkisebb a $PA+PB+PC+PD+PE$ összeg, ha a koordináta‐rendszer bármely pontjából csak a koordináta tengelyekkel párhuzamos irányokban mozogva lehet eljutni egy másik pontba? 3. A kör $AB$ és $AC$ húrja egyenlő egymással. Szerkessze meg a körnek azokat a húrjait, amelyeket az $AB$, $AC$ húrok három egyenlő részre osztanak!   A gimnáziumok matematika II. tantervű III‐IV. osztályos tanulói számára:   1. Válasszuk meg úgy az $ABC$ háromszög $P$ belső pontját, hogy $PAC\sphericalangle =PBC\sphericalangle$ teljesüljön. Legyen $X$ a $P$-ből az $AC$-re, $Y$ a $P$-ből a $BC$-re állított merőleges talppontja. Bizonyítsuk be, hogy van olyan pont, amelyen az $XY$ szakasz felező merőlegese $P$ minden megengedett helyzete esetén átmegy! 2. Egy téglatest alakú ládát $1\times 2\times 4$-es méretű téglákkal teljesen megtöltöttünk. Bizonyítsuk be, hogy az összes tégla úgy is berakható a ládába, hogy az egyenlő hosszúságú élek mind párhuzamosak! 3. EGYIK és MÁSIK játéka a következő: addig dobnak fel ismételten egy szabályos kockát, amíg vagy két 6-os jön ki egymás után, vagy van 10 egymást követő olyan dobás, amelyek között nincs 6-os. Előbbi esetben EGYIK, utóbbiban MÁSIK a nyertes. Kinek kedvez a játék?   A matematikát fakultatív keretben tanuló gimnáziumi III‐IV. osztályos tanulóknak   1. Értelmezzük a pozitív valós számok halmazán a következő két műveletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\circ y=x+y+xy\text{ és }x*y=\frac{x^2+y^2}{2xy}\mathrm{.}}\end{array}$ Igazoljuk, hogy   $a)$ bármely $x$, $y$, $z$ esetén $\left(x\circ y\right)oz=xo\left(y\circ z\right)$; $b)$ bármely $x_1$, $x_2$, $\text{...}$, $x_n$; $y_1$, $y_2$, $\text{...}$, $y_n$ számra $\left(x_1*y_1\right)\circ \left(x_2*y_2\right)\circ \text{...}\circ \left(x_n*y_n\right)\ge 2^n-1$, ahol $n\ge 1$ természetes szám.   2. Megegyezik a matematika II. tantervű verseny 1. feladatával. 3. A sík minden rácspontját (amelynek koordinátái egész számok) fessük be hat szín valamelyikével! Bizonyítsuk be, hogy bármely színezéshez található olyan téglalap, amelynek csúcsai azonos színű rácspontok és oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel!