Cím:	Az 1983. évi Arany Dániel matematikai tanulóverseny feladatai
Füzet:	1983/november, 111 - 114. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Arany Dániel

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az 1983. évi Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny feladatai   Kezdők (legfeljebb I. osztályosok)   I. forduló   1. Öt gyerek az alábbi kijelentéseket teszi:   Emil: Fiútestvérem hegedül. Anna: Pontosan két testvérem van. Feri:  Nincs fiútestvérem. Lili:  Fiútestvérem első az osztályban. Peti: Leánytestvérem szereti a matematikát.   Feltéve, hogy mindenki igazat mondott, és az állítások az öt gyerekre vonatkoznak, állapítsuk meg, hogy közülük kik testvérek!  (6 pont)   2. Melyek azok az egész számok, melyekre teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\frac{2}{x-13}\right|>\frac{8}{9}\mathrm{.}}\end{array}$  (6 pont)   3. Mennyi maradékot kapunk, ha $7^{1983}$-at 8-cal elosztjuk? (6 pont)   4. Keressük meg az összes olyan természetes számot, amely a tízes számrendszerben négyjegyű, jegyei rendre $a$, $b$, $c$, $d$ ($a\ne 0$), továbbá $a+c=b$, $b=d^2$, $3ab-cd=ad$.  (8 pont)   5. Egy vasútállomásról délelőtt pontosan valahány óra valahány (egész) perckor elindul egy vonat. 8 km megtétele után a mozdonyvezető az órájára néz és azt veszi észre, hogy a nagy- és kismutató éppen fedi egymást. A vonat átlagsebessége 33 km/óra volt. Mikor indult el a vonat az állomásról?  (8 pont)   6. Az $ABC$ hegyesszögű háromszögben $AC\ne AB$. A háromszög $M$ magasságpontját kössük össze a $BC$ oldal $F$ felezőpontjával. Az $MF$ egyenes messe a háromszög körülírt körét a $D$ és $B$ pontokban. Bizonyítsuk be, hogy az $ADM$, illetve, $AEM$ szögek egyike mindig derékszög. (8 pont)   7. Az $AB$ szakasz mint átmérő fölé írt félköríven jelöljünk ki egy $C$ és egy $D$ pontot úgy, hogy az $A$, $B$, $C$, $D$ pontok különbözőek legyenek és a sorrendjük a köríven $A$, $D$, $C$, $B$. Az $AC$ és $BD$ szakaszok metszéspontja legyen $M$, a $D$, ill. $C$ pontban a körhöz húzott érintők metszéspontja pedig $N$. Bizonyítsuk be, hogy az $M$ és $N$ pontokat összekötő egyenes merőleges az $AB$ szakaszra.  (10 pont) 8. Egy szabályos ötszög alakú papírlapot két határpontját összekötő egyenes mentén összehajtunk, és az egymásra boruló részeket összeragasztjuk. Mutassuk meg, hogy az így keletkező papírlap kerülete legfeljebb akkora, mint az eredeti volt. (10 pont)   II. forduló   Az általános tantervű osztályok feladatai 1. Adjuk meg az összes olyan $x$ valós számot, melyre $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\frac{1}{\left[x\right]}\right|=\left[\frac{1}{|x|}\right]\mathrm{.}}\end{array}$ (Ha $y$ valós szám, akkor $\left[y\right]$ az a legnagyobb egész szám, amely $y$-nál nem nagyobb.) 2. Szerkesszünk háromszöget, ha ismert egyik oldalának egyenese és a másik két oldalhoz tartozó magasságok talppontjai. Elemezzük a különböző eseteket! 3. Keressük meg az összes olyan természetes számot, amely a tízes számrendszerben négyjegyű, jegyei rendre $a$, $b$, $c$, $d$ ($a\ne 0$), továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2+b^2=16c+2d-\mathrm{52,}{c}^2+d^2=2a+16b-73.}\end{array}$ A szakközépiskolások feladatai   1. Legyen $n$ 2-nél nagyobb természetes szám. Határozzuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle K=n^5-5n^3+4n+7}\end{array}$ szám utolsó jegyét. 2. Megegyezik az általános tantervű osztályok 1. feladatával. 3. Megegyezik az általános tantervű osztályok 2. feladatával.   A matematika II. tantervű osztályok feladatai   1. Határozzuk meg az $a$, $b$, $c$ valós számokat úgy, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3-a{x}^2+bx-c=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}\end{array}$ egyenlőség minden $x$ valós szám esetén teljesüljön.   2. Egy egységnyi oldalú négyzetbe két körlemezt helyezzünk el úgy, hogy ne legyen közös belső pontjuk. Hogyan válasszuk meg és helyezzük el őket, hogy az összterületük maximális legyen, és ebben az esetben mekkora a két kör területének összege?   3. Határozzuk meg az összes olyan $n\ge 1$ természetes számot, melyre $2^n-1$ valamely természetes szám második vagy annál nagyobb egész kitevős hatványával egyenlő.   Haladók (II. osztályosok)   I. forduló   1. Karcsi megfigyelte, hogy a magyar autók rendszámtábláján látható négy számjegy között gyakran vannak azonosak. Szerinte legalább az autók felének ilyen a rendszáma. Helyes-e az állítása? (6 pont)   2. Milyen $a$ valós számra van megoldása az alábbi egyenletnek? $\begin{array}{c}{\displaystyle |1-|x||=a-x?}\end{array}$  6 pont   3. Hány olyan természetes szám van, melyet a kilences és a tizenegyes számrendszerben felírva, egyaránt háromjegyű számokat kapunk? (6 pont)   4. Mutassuk meg, hogy ${13}^n+3\cdot 5^{n-1}+8$ minden $n$ pozitív egész számra osztható 24-gyel! (6 pont)   5. Egy $O$ középpontú kör kerületén mozog egy $P$ pont, melynek vetülete a rögzített $AB$ átmérőn $P\text{'}$. Az $OP$ sugárra mérjük fel $O$-tól az $OQ=PP\text{'}$ szakaszt. Milyen alakzatot alkotnak a $Q$ pontok, ha $P$ végigfut a körön? (8 pont)   6. Az $ABC$ háromszög $A$-ból és $B$-ből húzott belső szögfelezőire $C$-ből merőlegest állítottunk. Ezek talppontja $C_1$, illetve $C_2$. Legyen a háromszög beírt körének érintési pontja az $AC$ oldalon $D$. Bizonyítandó, hogy $C_1{C}_2=CD$. (8 pont)   7. Adjuk meg az összes olyan természetes számot, amelynek pontosan 42 db pozitív osztója van és osztható 42-vel! (10 pont)   8. Bizonyítandó, hogy ha egy konvex 11-szögnek legalább két szimmetriatengelye van, akkor szabályos! (10 pont)   II. forduló   Az általános tantervű osztályok feladatai   1. Oldjuk meg a valós számok körében a ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{x^2+3xp+p^2}-\sqrt[]{y^2+3yp+p^2}}& {\displaystyle =x-y}\hfill \\ \hfill {\displaystyle xy}& {\displaystyle =p^2}\hfill \end{array}}$ egyenletrendszert, ahol $p$ adott valós szám!   2. Jelölje $A_1$, $A_2$, $\text{...}$, $A_{36}$ egy szabályos 36-szög egymás utáni csúcsait. Bizonyítsuk be, hogy az $A_1{A}_{18}$, $A_4{A}_{12}$ és $A_{26}{A}_{33}$ átlók egy ponton mennek át! 3. Az 1, 2, $\text{...}$, 1983 számokat valamilyen sorrendben felírtuk egymás után. Ezután valaki balról jobbra végignézi az egymás utáni számpárokat (tehát először az első és második számból álló párt, majd a második és harmadikból állót stb.), és ha a bal oldali a nagyobb, felcseréli a számokat. Miután végzett, jobbról balra haladva hajtja végre ugyanezt az eljárást. (Tehát most először az 1982. és 1983. helyen álló számokat hasonlítja össze, és cseréli fel, ha a bal oldali a nagyobb.) A századik helyen álló szám valamennyi cserénél a helyén maradt. Mi lehetett ez a szám?   A szakközépiskolások feladatai   1. Megegyezik az általános tantervű osztályok 1. feladatával.   2. Adott az $O_1$ középpontú $k_1$ kör és a középpontján átmenő $e$ egyenes. Tekintsük mindazon $k_2$ köröket, melyek az $O_1$ ponton átmennek, középpontjuk az $e$ egyenesen van és $k_1$-et két pontban metszik. Rajzoljuk meg e körök $k_1$-gyel való közös érintőit! Milyen alakzatot határoznak meg az érintők $k_2$-n fekvő érintési pontjai, ha $k_2$ minden lehetséges helyzetet felvesz?   3. Adott egy szabályos 45-szög. Lehetséges-e minden csúcshoz hozzárendelni a $\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}9$ számjegyek valamelyikét úgy, hogy bármely különböző jegyekből álló számpár előforduljon a 45-szög egy megfelelő oldalának két végpontjaként?   A matematika II. tantervű osztályok feladatai   1. Legalább hány számot kell elhagyni az $\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}1983$ halmazból, ha azt szeretnénk, hogy a maradékban egyik szám se legyen másik kettő szorzata? 2. Megegyezik az általános tantervű osztályok 2. feladatával. 3. Bizonyítsuk be, hogy $n=1983$ esetén igaz az alábbi állítás: Az $\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}n+1$ számok közül ki lehet választani egy különböző számokból álló $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n$ sorozatot úgy, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle |a_1-a_2|\mathrm{,}|a_2-a_3|\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}|a_{n-1}-a_n|\mathrm{,}|a_n-a_1|}\end{array}$ számok mind különbözőek. Mi a helyzet $n=1982$-re?