Cím:	Konvex háromszögtestek
Szerző(k):	Bérczi Tamás
Füzet:	1983/november, 104 - 107. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Konvex háromszögtestek   A szabályos testek ‐ tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder bizonyára sok olvasónak kedves ismerősei. Azokat a konvex poliédereket nevezzük szabályos testnek, amelyeket egymással egybevágó szabályos sokszögek borítanak, és amelyek testszögletei is egybevágók. Sokféle bizonyítása ismert annak, hogy szabályos testből öt van. Ezek közül a legegyszerűbb talán a következő. A szabályos testet egyértelműen meghatározza egy testszöglete. Egyenlő oldalú háromszögből egy testszögletben 3, 4 vagy 5 találkozhat. Ennél kevesebb nem alkot testszögletet, többől viszont nem építhető konvex testszöglet. Ennek a három esetnek megfelelően kapjuk a tetraédert, oktaédert és ikozaédert. Négyzet oldalú szabályos test csak egy lehet, mégpedig az, amelynek egy csúcsába 3 lap fut: a kocka. Ötszöglapú szabályos test egy testszögletébe is csak 3 lap futhat a fenti okok miatt. A test a dodekaéder, 6 vagy ennél nagyobb oldalszámú sokszög pedig nem boríthat szabályos testet. A bizonyítás (inkább intuitív, mint precíz módon) csak azt mutatja, hogy nem létezhet ötnél több szabályos test. Az, hogy az ezzel a gondolatmenettel kiagyalt testek valóban léteznek is, nem is olyan magától értetődő. Nevezzük konvex háromszögtestnek azokat a konvex testeket, melyeket egybevágó szabályos háromszögek borítanak. Ilyen például a tetraéder, oktaéder és ikozaéder a szabályos testek közül. Határozzuk meg az összes ilyen testet! Könnyű belátni, hogy a lapok száma csak páros lehet. $N$ lap esetén ugyanis a testélek száma $3N/2$ ‐ minden háromszögnek 3 oldala van, és minden testélben két háromszögoldal találkozik ‐, ez pedig csak úgy lehet egész szám, ha $N$ páros. Másrészt láttuk már, hogy egy testszögletbe legalább 3 és legföljebb 5 háromszöglap futhat be. Ebből adódik, hogy egy konvex háromszögtestnek legalább 4 és legfeljebb 20 lapja lehet. Így a tetraéder tekinthető "minimálisnak'', az ikozaéder pedig "maximálisnak'' közöttük. Próbáljuk megkonstruálni a köztük levő konvex háromszögtesteket: A tetraéder 4, az ikozaéder 20 lapú, ennyi lappal más konvex háromszögtest nincs. A 6, 8, 10, 12, 14, 16 és 18 lapú testek maradtak. Az utóbbi kivételévél mindből van egy‐egy, 18 lapú testet azonban, akármennyire is igyekszünk, nem tudunk készíteni!   ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccccc|}\hline {\displaystyle \text{Lap (L)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 16 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{Él (E)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 24 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 30 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{Csúcs (C)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{3‐fokú csúcs}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>0 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{4‐fokú csúcs}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>0 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{5‐fokú csúcs}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   A táblázatban megadtuk a konvex háromszögtestek néhány jellemző adatát. Jól látható, hogy a lapok, élek és csúcsok száma csakúgy, mint a harmad-, negyed- és ötödfokú csúcsok száma, számtani sorozatot alkotnak. Ezekbe a számtani sorozatokba éppen beilleszthetők lennének egy 18 lapú konvex háromszögtest adatai. Éleinek száma 27, csúcsainak száma pedig 11 kellene hogy legyen, melyek közül 1 negyedfokú és 10 ötödfokú lenne. Az ábrákon a 8 konvex háromszögtestet láthatjuk. A gráfok a testek ún. Schlegel‐diagramjai. (Egy poliéder Schlegel‐diagramja a test "élhálózata'', vagyis a csúcsok és élek alkotta gráf, síkba rajzolva.) Próbáljunk bizonyítást adni arra, hogy a felsoroltakon kívül más konvex háromszögtest nem létezik! Bérczi Tamás, Békéscsaba