Kezdőlap


Cím:	1983. Beszámoló a XXIV. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról
Szerző(k):	Reiman István
Füzet:	1983/szeptember, 1 - 3. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben az évben Franciaország rendezte meg a XXIV. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát, Párizsban. Bár a részt vevő államok száma már 32-re emelkedett, az egy‐egy országból meghívott diákok számát a tavalyi néggyel szemben hatra növelték. Az Olimpiával kapcsolatos rendezvényeket július 1. és 12. között bonyolították le; a versenydolgozatokat július 6-án és 7-én írták meg a versenyzők. A 3 ‐ 3 feladat megoldására négy és fél óra állt rendelkezésre. A feladatok a következők voltak (zárójelben a feladatot javasló ország neve):

1. Határozzuk meg a pozitív valós számok halmazán értelmezett összes olyan pozitív értékű

f

függvényt, amely kielégíti a következő feltételeket:

\begin{matrix} f (x f (y)) = y f (x 1 \end{matrix}

())

minden pozitív

x, y

számra;

\begin{matrix} f (x) \to 0, ha x \to + \infty . \end{matrix}

(2)

(Anglia)

2. Az ugyanabban a síkban fekvő, különböző sugarú

C_{1}

és

C_{2}

körök metszik egymást. Jelölje

C_{1}

középpontját

O_{1}

C_{2}

-ét

O_{2}

, egyik metszéspontjukat pedig

A

. Egyik közös érintőjük

P_{1}

-ben érintse

C_{1}

-et,

P_{2}

-ben pedig

C_{2}

-t, míg a másik közös érintőjük érintse

C_{1}

-et

Q_{1}

-ben és

C_{2}

-t

Q_{2}

-ben. Legyen továbbá

P_{1} Q_{1}

felezőpontja

M_{1}, P_{2} Q_{2}

felezőpontja

M_{2}

.
Bizonyítsuk be, hogy az

O_{1} A O_{2}

szög egyenlő az

M_{1} A M_{2}

szöggel!
(Szovjetunió)

3. Legyenek

a, b, c

páronként relatív prím, pozitív egész számok. Mutassuk meg, hogy

\begin{matrix} 2 a b c - a c - b c - c a \end{matrix}

az a legnagyobb egész szám, amely nem írható fel

\begin{matrix} x b c + y c a + z a b \end{matrix}

alakban, ahol

x, y

és

z

nem negatív egész számokat jelölnek.
(NSZK)

4. Legyen

A B C

egyenlő oldalú háromszög. Álljon az

E

halmaz az

A B, B C

és

C A

zárt szakaszok összes pontjából.
Igaz‐e, hogy bármilyen módon osztjuk is fel

E

-t két diszjunkt részhalmazra, ezeknek a részhalmazoknak legalább egyikében mindig van három olyan pont, amelyek egy derékszögű háromszög csúcspontjai.
Válaszunkat indokoljuk is meg!
(Belgium)

5.Kiválasztható-e a

10^{5}

-nél nem nagyobb pozitív egész számok halmazából

1983

különböző szám úgy, hogy közülük semelyik három ne legyen valamely számtani sorozat három (közvetlenül) egymás utáni eleme?
Válaszunkat indokoljuk is meg!

(Lengyelország)

6. Jelölje

a

b

c

egy háromszög oldalainak a hosszát. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} a^{2} b (a - b) + b^{2} c (b - c) + c^{2} a (c - a) ≧ 0. \end{matrix}

(USA)

Minden feladat megoldásáért 7 pont járt, egy, versenyző tehát maximálisan 42 pontot, egy ország csapata pedig 252 pontot érhetett el.
A verseny zsűrije szokatlanul hosszú és éles vita után úgy döntött, hogy első díjat kap az a kilenc versenyző, akinek pontszáma legalább 38 (közöttük négyen: három NSZK-beli és egy szovjet diák elérte a 42-es pontszámot); a 27 második díjat a legalább 26 pontot elért versenyzők kaptak; az 57 harmadik díj alsó határa pedig 15 pont volt.
A magyar versenyzők sikeresen szerepeltek ez alkalommal is, valamennyien a díjazottak közé kerültek, ami azért is értékes eredmény, mert a verseny színvonala és követelményei az átlagosnál magasabbak voltak. A magyar csapat tagjai és eredményeik:

Megyesi Gábor, a szegedi Ságvári Endre Gyak. Gimn. II. osztályos tanulója, 2. díjas (36 pont);
Hetyei Gábor, a pécsi Leöwey Klára Gimnázium IV. osztályos tanulója, 2. díjas (32 pont);
Tóth Gábor, a budapesti Fazekas Mihály Gyak, Gimnázium IV. osztályos tanulója, 2. díjas (32 pont);
Erdős László, a budapesti Berzsenyi Dániel Gimnázium III. osztályos tanulója, 2. díjas (28 pont);
Magyar Ákos, a budapesti Fazekas Mihály Gyak. Gimnázium III. osztályos tanulója, 3. díjas (21 pont);
Törőcsik Jenő, a budapesti Fazekas Mihály Gyak. Gimnázium IV. osztályos tanulója, 3. díjas (21 pont).
Versenyzőink eredményét kiemeli még az a tény is, hogy összteljesítményük alapján az ‐ ebben az évben először hivatalosan is közzétett ‐ országok közötti sorrendben a harmadik helyet érték el.

Az egyes csapatok összpontszáma a következő:
1. NSZK (212); 2. USA (171); 3. Magyarország (170); 4. Szovjetunió (169); 5. Románia (161); 6. Vietnam (148); 7. Hollandia (143); 8. Csehszlovákia (142); 9. Bulgária (137); 10. Franciaország (123); 11. Anglia (121); 12. NDK (117); 13. Finnország (103); 14. Kanada (102); 15. Lengyelország (101); 16. Izrael (97); 17. Görögország (96); 18. Jugoszlávia (89); 19. Ausztrália (86); 20. Brazília (77); 21. Svédország (47); 22. Ausztria (45); 23. Spanyolország (37); 24. Kuba (36); 25. Marokkó (32); 26. Belgium (31); 27. Tunézia (26); 28. Kolumbia (21); 29. Luxemburg (13); 30. Algéria (6); 31. Kuvait (4); 32. Olaszország (2).
Egy ‐ egy feladat különösen szépnek ítélt megoldásáért a zsűri három külön díjat adott ki.
Ez az Olimpia a világ minden részéből összesereglett diákoknak egy színes, változatos gazdag élményt nyújtó nagy baráti találkozója volt, A csapatok szállása és a verseny Párizs diáknegyedében, a Quartier Latin-ban levő ősi kollégiumnak, a Lycée Louis-le-Grand-nak az épületében volt. (Ebben az iskolában tanult többek között Moliére, Voltaire, Diderot, Robespierre, Hugo, Cyrano de Bergerac, Becquerel, Galois), a nyitó‐ és záróünnepséget a Sorbonne dísztermében rendezték meg. A Párizsról áttekintő képet nyújtó autóbusz‐ és hajótúra mellett módunk volt közelről is megismerni a város csodálatos műemlékeit, múzeumait, a versailles-i palotákat. Szabadtéri operaelőadáson vettünk részt a St‐Séverin templom udvarán és felmászhattunk az Eiffel‐torony második szintjére.
A részt vevő csapatok növekvő száma is mutatja azt a tényt, hogy a nemzetközi diákolimpiák tekintélye és jelentősége is egyre növekszik; ezt bizonyítja az is, hogy már 1990-ig minden évre van jelentkező az Olimpia megrendezésére.
Reiman István