A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az alábbiakban az origó középpontú körlapok által tartalmazott rácspontok számáról lesz szó. Erre először egy közelítő formulát adunk (1. tétel), majd egy pontos képletet (2. tétel). A kettő egybevetéséből szép bizonyítást nyerünk Leibniz egy tételére, amely szerint Rácspontoknak a sík azon pontjait nevezzük, amelyek mindkét koordinátája egész szám. Az origó középpontú, sugarú körlapot -rel jelöljük; a körlapba eső rácspontok száma legyen . Lássuk először a közelítő formulát; ez Gausstól származik. 1. Tétel. esetén Bizonyítás. A körlap minden rácspontja köré írjunk egységnyi oldalhosszúságú és a tengelyekkel párhuzamos oldalú négyzetet, amelynek a középpontja a kiszemelt rácspont. Az így kapott négyzetek egyrétűen lefednek egy tartományt, amelynek a területe nyilván megegyezik a -be eső rácspontok számával, azaz -rel. bármely pontjának az origótól vett távolsága legfeljebb , hiszen ha a pont az rácspont köré írt négyzetben van, akkor és távolsága legfeljebb , és távolsága az origótól legfeljebb . Így a körlap lefedi -t, tehát területe, legfeljebb . Másrészt a tartomány tartalmazza a körlapot. Valóban, legyen a pont távolsága az origótól legfeljebb és legyen a -hez legközelebbi (egyik) rácspont. Ekkor könnyen láthatóan és távolsága legfeljebb , így -ben fekszik, valamint az is látható, hogy az köré írt négyzetbe esik, tehát eleme -nek. Ebből következik, hogy területe, legalább . Ezzel beláttuk, hogy | | Mármost könnyű ellenőrizni, hogy esetén , amiből a tétel azonnal következik. Jelöljük -nek -től való eltérését -rel: Ekkor a fenti Gauss-tétel úgy is megfogalmazható, hogy esetén . Ezt a becslést Gauss után sokan élesítették. W. Sierpinski 1906-ban megmutatta, hogy alkalmas konstanssal is igaz minden -re. Később az hatvány kitevőjét sikerült tovább csökkenteni. A másik irányban G. H. Hardy bebizonyította, hogy teljesülhet akármilyen nagy -ekre. pontos nagyságrendje ma sem ismert. Legújabban Alexander Ilié-nek G. Kolesnik módszereit felhasználva sikerült bebizonyítania, hogy minden pozitív -re teljesül, ha elég nagy. Most rátérünk az -et megadó pontos formula bizonyítására. Ehhez szükségünk lesz a következő számelméleti tételre: tetszőleges pozitív egész számra az egyenlet egész megoldásainak száma , ahol , illetve jelöli az szám , illetve alakú pozitív osztóinak számát. Így például , tehát -nek négy megoldása van (az előjeleket négyféleképpen választhatjuk meg). Ennek megfelelően (-nek az egyetlen alakú osztója), és . Egy másik példa: összes megoldása , , , , tehát a megoldások száma . Másrészt , és . Ezek után lássuk az -re vonatkozó formulát. 2. Tétel. Minden -ra | | (Itt jelöli egész részét. A jobb oldali zárójelben csak véges sok tag van; az utolsó tag , ahol a legnagyobb páratlan egész szám, amely nem nagyobb -nél.) Bizonyítás. Legyen egy -be eső rácspont. Ekkor nem negatív egész, amelyre , tehát csak a számok valamelyike lehet. Ha a fenti számok valamelyike, de , akkor annyi rácspontra fog teljesülni , ahány egész megoldása van az egyenletnek, tehát a fent idézett tétel szerint . Így -et úgy számíthatjuk ki, hogy -nek -hez tartozó értékeit összeadjuk, majd az összeghez -et adunk (mert az értékhez tartozó origót még nem számoltuk). Képzeljünk most el egy táblázatot, amelyben felsoroljuk az számok mindegyikének összes alakú osztóját. Ebben a táblázatban darab szám fog szerepelni. A táblázatban az 1, 5, 9, 13, sorozatnak azok az elemei vannak felsorolva (esetleg többször is), amelyek osztói valamely, -nél nem nagyobb természetes számnak. Az minden -re szerepelni fog, tehát a táblázat darab -est tartalmaz. Az annyiszor szerepel, ahány -tel osztható szám van -ig. Az -tel osztható számok között a legnagyobb, ami számításba jön, hiszen . Így az -ösök száma . Ugyanígy, a táblázatban annyi -es szerepel, ahány -cel osztható szám van -ig, ezek száma pedig . Végül is azt kapjuk, hogy a táblázatban felsorolt számok száma, megegyezik az összeggel. (Persze ez az összeg csak véges sok tagból áll, az utolsó tag , ahol a legnagyobb alakú szám -ig.) Ugyanígy láthatjuk be, hogy | |
Összefoglalva az eddigieket,
amivel a tételt bebizonyítottuk. Amint a bevezetőben már említettük, az előző tételek segítségével meghatározhatjuk az végtelen sor összegét. Legyen páratlan egész szám. Jelöljük -sel az összeget, és legyen (itt az utolsó tag előjele vagy aszerint, hogy -et vagy -at ad maradékul -gyel osztva). Megmutatjuk, hogy . Tegyük fel, hogy alakú. Az összegben minden tag abszolút értéke legfeljebb annyi, mint az előzőé. Ha -ben az utáni tagokat kettesével zárójelezzük, akkor tehát minden zárójel értéke nem-pozitív és így . Ha most -ben a utáni tagokat zárójelezzük párosával (az utolsó, tag maradjon pár nélkül), akkor a zárójelek értéke nem-negatív lesz, tehát . Ezzel beláttuk, hogy esetén . Ugyanígy, esetén , tehát mindig teljesül. Ha elhagyjuk -ben az egészrész-jeleket, akkor az | | összeget kapjuk. és eltérése legfeljebb annyi lehet, ahány tagból áll (hiszen egy egészrész-jel elhagyásakor -nél kisebb hibát követünk el), ezért . Végül is azt kapjuk, hogy , és hasonlóan, . Az 1. és 2. tétel állítása szerint (feltettük, hogy ), amiből | | Így az előző becslést felhasználva | | tehát -tel való osztás után | | Ebből az egyenlőtlenségből a Leibniz-tétel már azonnal következik. Egy végtelen sor összegén azt a számot értjük, ahová a sor részletösszegei konvergálnak. Így az az állítás, hogy azt jelenti, hogy az sorozat határértéke . Az imént levezetett egyenlőtlenség szerint minden -re. Így bármely pozitív számra ha, , azaz ha . Ez a konvergencia definíciója szerint éppen azt jelenti, hogy , amivel Leibniz tételét bebizonyítottuk. |