Kezdőlap


Cím:	Kedvenc problémáim (1983. május)
Szerző(k):	Csirmaz László
Füzet:	1983/május, 199 - 201. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Havonta egy-egy, számomra valamilyen oknál fogva kedves feladatot mondok el. Ezek megoldása, noha a középiskolában oktatott ismeretanyagnál többet nem kíván, mégis mély, igazi matematikusi gondolkodást igényel. A problémákra a megjelenést kővető számban megoldást adok, azonban nem kívánok egyetlen problémát sem teljesen lezárni. Akár a feladatokkal, akár azok megoldásával kapcsolatban minden megjegyzést örömmel veszek.
Csirmaz László

***

A (végtelen) négyzethálós papír minden mezőjébe egy-egy természetes számot kell írnunk úgy, hogy minden mezőbe annak a négy számnak a számtani közepe kerüljön, melyek az oldalszomszédos négy mezőben állnak. Ismeretes, hogy ezt csak úgy tudjuk megtenni, ha minden mezőbe ugyanazt a számot írjuk. Valóban, keressük ki azt a mezőt (vagy az egyik olyat), amelybe a szereplő egészek közül a legkisebb került. Ennek szomszédaiba is ugyanezt a minimális számot kellett írnunk, ezek szomszédaiba is, és így tovább. Ez pedig már mutatja, hogy az összes szereplő szám szükségképpen egyenlő.
Ha a beírandó számok nem nemnegatív egészek, hanem tetszőleges 0 és 1 közé eső valós számok lehetnek, akkor már nem feltétlenül van minimális a beírt számok között. Ezért a fenti gondolatmenet nem alkalmazható. Mi a helyzet ebben az esetben?

Állítjuk, hogy a beírt számok ekkor is egyenlők. Tételezzük fel, hogy nem így volna, ekkor persze van két szomszédos mező, melyekben különböző számok állnak. Így (esetleg a papírlap elforgatásával) elérhetjük, hogy legyen olyan mező, melyben nagyobb szám áll, mint a jobb oldali szomszédjában.
Most minden mezőre vonjuk ki az ott álló számból a jobb oldali szomszéd mezőben álló számot, és a különbséget írjuk vissza a kisebbítendő helyére. A mezőkben eredetileg 0 és 1 közti számok álltak, így e különbségek mind

+ 1

és

- 1

közé esnek, továbbá az előzőek szerint akad a különbségek között pozitív is. Minthogy eredetileg minden szám szomszédainak számtani közepe volt, ez a tulajdonsága az új táblázatnak is megmarad. Vegyük még észre, hogy az új táblázatban akármilyen sok, egymással szomszédos, egy sorban álló számot veszünk ki, azok összege

\begin{matrix} (a_{1} - a_{2}) + (a_{2} - a_{3}) + ... + (a_{n - 1} - a_{n}) = a_{1} - a_{n} \end{matrix}

alapján megegyezik két, az eredeti táblázatban található szám különbségével, s így biztosan kisebb 1-nél.
Jelöljük

2 a

-val az új táblázatban álló számok legkisebb felső korlátját. Ez pozitív, hiszen van pozitív szám a táblázatban, másrészt legfeljebb 1, tehát a

a ≦ 1 / 2

. Legyen

k

olyan egész szám, ami nagyobb

1 / a

-nál, s legyen

ε

pozitív, de kisebb

(a / 4^{k})

-nál. Ekkor van a táblázatban

(2 a - ε)

-nál nagyobb szám, hiszen

2 a

volt a legkisebb felső korlát. Ennek jobb oldali szomszédja nagyobb, mint

2 a - 4 ε

, hiszen a másik három szomszéd legfeljebb

2 a

, s ellenkező esetben számtani közepük nem lehet

(2 a - ε)

-nál nagyobb.
Ugyanígy kapjuk, hogy ennek jobb oldali szomszédja nagyobb, mint

2 a - 4 \cdot 4 ε = 2 a - 4^{2} ε

; ennek jobb oldali szomszédja nagyobb

(2 a - 4^{3} ε)

-nál, még a

(k - 1)

-edik jobb oldali szomszédja is nagyobb, mint

2 a - 4^{k - 1} ε > 2 a - a / 4 > a

.
Így találtunk

k

szomszédos mezőt, melyek mindegyikében

a

-nál nagyobb szám áll, és

k > 1 / a

miatt ezek összege nagyobb 1-nél. Előbb viszont megállapítottuk, hogy egy sorban álló, szomszédos számok összege kisebb 1-nél. Ellentmondásra jutottunk, s ezzel az állítást bizonyítottuk.
Az állításból az is kiolvasható, hogy ha a négyzethálós papírt megfelelően kitöltöttük, és a beírt számok alulról és felülről is korlátosak (azaz van olyan M, hogy az összes beírt szám

- M

és

+ M

közé esik), akkor minden mezőbe ugyanazt a számot kellett írnunk. Ennél több is igaz: ha csak annyit teszünk fel, hogy a beírt számok alulról (vagy csak felülről) korlátosak, már ebből is következik, hogy a számok szükségképpen egyenlők. E tétel egy általánosítását használta Bárány Imre, Füredi Zoltán és Pach János a következő tétel. igazolására: Ha a síkra úgy helyezünk el körlemezeket, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös belső pontja, továbbá mindet legalább 6 másik érintsen, akkor vagy a körök középpontjai egy szabályos háromszögrácsot alkotnak és a körök sugarai egyenlők, vagy pedig a kör sugarak között akármilyen kicsinek is elő kell fordulnia.