Kezdőlap


Cím:	Kedvenc problémáim (1983. április)
Szerző(k):	Csirmaz László
Füzet:	1983/április, 145. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Havonta egy-egy, számomra valamilyen oknál fogva kedves feladatot mondok el. Ezek megoldása, noha a középiskolában oktatott ismeretanyagnál többet nem kíván, mégis mély, igazi matematikusi gondolkodást igényel. A problémákra a megjelenést követő számban megoldást adok, azonban nem kívánok egyetlen problémát sem teljesen lezárni. Akár a feladatokkal, akár azok megoldásával kapcsolatban minden megjegyzést örömmel veszek.
Csirmaz László

*

A (végtelen) négyzethálós papír minden mezőjébe egy-egy természetes számot kell írnunk úgy, hogy minden mezőbe annak a négy számnak a számtani közepe kerüljön, melyek az oldalszomszédos négy mezőben állnak. Ismeretes, hogy ezt csak úgy tudjuk megtenni, ha minden mezőbe ugyanazt a számot írjuk. Valóban, keressük ki azt a mezőt (vagy az egyik olyat) amelybe a szereplő egészek közül a legkisebb került. Ennek szomszédaiba is ugyanezt a minimális számot kellett írnunk, ezek szomszédaiba is, és így tovább. Ez pedig már mutatja, hogy az összes szereplő szám szükségképpen egyenlő.
Ha a beírandó számok nem csak nem-negatív egészek, hanem tetszőleges

0

és

1

közé eső valós számok lehetnek, akkor már nem feltétlenül van minimális a beírt számok között. Ezért a fenti gondolatmenet nem alkalmazható. Mi a helyzet ebben az esetben?

\begin{matrix} * * * \end{matrix}

Van-e olyan (tízes számrendszerben felírt) négyzetszám, mely elé az

1,9,8,3

jegyeket ebben a sorrendben írva ismét négyzetszámot kapunk?

\begin{matrix} * \end{matrix}

Igen, van, például az

a = 3 \cdot 5^{22} - 661 \cdot 2^{20} \cdot 10^{7}

szám négyzete ilyen. Mivel

\begin{matrix} a^{2} = {(3 \cdot 5^{22})}^{2} - 2 \cdot (3 \cdot 5^{22}) \cdot (661 \cdot 2^{20} \cdot 10^{7}) + {(661 \cdot 2^{20} \cdot 10^{7})}^{2} \end{matrix}

értéke kb.

4, 905 \cdot 10^{28}

, azért ha

a^{2}

elé az 1, 9, 8, 3 jegyeket írjuk, a szám értékét az

\begin{matrix} 1983 \cdot 10^{29} = 3 \cdot 661 \cdot 5^{22} \cdot 4 \cdot 2^{20} \cdot 10^{7} \end{matrix}

mennyiséggel növeljük. Ezért

\begin{matrix} a^{2} + 1983 \cdot 10^{29} = {(3 \cdot 5^{22})}^{2} + 2 \cdot (3 \cdot 5^{22}) \cdot (661 \cdot 2^{20} \cdot 10^{7}) + {(661 \cdot 2^{20} \cdot 10^{7})}^{2} = \\ = {(3 \cdot 5^{22} + 661 \cdot 2^{20} \cdot 10^{7})}^{2}, \end{matrix}

ahogyan kívántuk. Megmutatható, hogy végtelen sok ilyen tulajdonságú szám van, s köztük a fenti a legkisebb.