A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Havonta egy-egy, számomra valamilyen oknál fogva kedves feladatot mondok el. Ezek megoldása, noha a középiskolában oktatott ismeretanyagnál többet nem kíván, mégis mély, igazi matematikusi gondolkodást igényel. A problémákra a megjelenést követő számban megoldást adok, azonban nem kívánok egyetlen problémát sem teljesen lezárni. Akár a feladatokkal, akár azok megoldásával kapcsolatban minden megjegyzést örömmel veszek. Csirmaz László
A (végtelen) négyzethálós papír minden mezőjébe egy-egy természetes számot kell írnunk úgy, hogy minden mezőbe annak a négy számnak a számtani közepe kerüljön, melyek az oldalszomszédos négy mezőben állnak. Ismeretes, hogy ezt csak úgy tudjuk megtenni, ha minden mezőbe ugyanazt a számot írjuk. Valóban, keressük ki azt a mezőt (vagy az egyik olyat) amelybe a szereplő egészek közül a legkisebb került. Ennek szomszédaiba is ugyanezt a minimális számot kellett írnunk, ezek szomszédaiba is, és így tovább. Ez pedig már mutatja, hogy az összes szereplő szám szükségképpen egyenlő. Ha a beírandó számok nem csak nem-negatív egészek, hanem tetszőleges és közé eső valós számok lehetnek, akkor már nem feltétlenül van minimális a beírt számok között. Ezért a fenti gondolatmenet nem alkalmazható. Mi a helyzet ebben az esetben? Van-e olyan (tízes számrendszerben felírt) négyzetszám, mely elé az jegyeket ebben a sorrendben írva ismét négyzetszámot kapunk? Igen, van, például az szám négyzete ilyen. Mivel | | értéke kb. , azért ha elé az 1, 9, 8, 3 jegyeket írjuk, a szám értékét az | | mennyiséggel növeljük. Ezért
ahogyan kívántuk. Megmutatható, hogy végtelen sok ilyen tulajdonságú szám van, s köztük a fenti a legkisebb. |