Cím: Kedvenc problémáim (1983. március)
Szerző(k):  Csirmaz László 
Füzet: 1983/március, 104 - 105. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Havonta egy-egy, számomra valamilyen oknál fogva kedves feladatot mondok el. Ezek megoldása, noha a középiskolában oktatott ismeretanyagnál többet nem kíván, mégis mély, igazi matematikusi gondolkodást igényel. A problémákra a megjelenést követő számban megoldást adok, azonban nem kívánok egyetlen problémát sem teljesen lezárni. Akár a feladatokkal, akár azok megoldásával kapcsolatban minden megjegyzést örömmel veszek.

*
Van-e olyan (tízes számrendszerben felírt) négyzetszám, mely elé az 1, 9, 8, 3 jegyeket ebben a sorrendben írva ismét négyzetszámot kapunk?
***
Mutassuk meg, hogy az első 64 pozitív egészből nem lehet olyan 4×4×4-es, hagyományos értelemben vett bűvös kockát előállítani, melyben az összes, egy egyenesre eső 4‐4 szám összege (beleértve a testátlókat is) ugyanannyi legyen.
 

Bűvös négyzetben a sorokban, az oszlopokban, valamint a két átlóban álló számok összege megegyezik, ezt a közös összeget a bűvös négyzet állandójának szokás nevezni. A feladat feltételeinek megfelelően tegyük fel, hogy sikerült 64 (egész) számot elhelyezni egy 4×4×4-es kockában úgy, hogy a kocka 4×4-es síkmetszetei (ugyanolyan állandójú) bűvös négyzetek legyenek. (Könnyű utánaszámolni, hogy összesen 18 ilyen síkmetszet van.) Megmutatjuk, hogy ebben az esetben a kockába beírt számok között van két egyenlő ‐ ez bizonyítja állításunkat.
Elsőként megmutatjuk, hogy egy 4×4-es bűvös négyzetben a négy "sarokelem'' összege is a bűvös állandót adja.
Valóban, adjuk össze az 1a ábrán megjelölt mezőkben álló számokat, mindegyiket annyiszor, ahány pont a megfelelő mezőben szerepel. Látható, hogy az összeg a bűvös állandó négyszerese.
 
1a. ábra
 
1b. ábra
Ebből vonjuk le az 1b ábrán megjelölt számok összegét ‐ a bűvös állandó kétszeresét. Ami megmaradt az egyrészt a sarokelemek összegének kétszerese, másrészt a bűvös állandó kétszerese, ami éppen állításunkat adja.
 
2a. ábra
 
2b. ábra
 
2c. ábra
Tekintsük most a kocka csúcsaiba írt nyolc számot! Előző eredményünk értelmében a 2a valamint 2b ábrán a megjelölt számok összege a bűvös állandó kétszerese, tehát ezen összegek különbsége nulla. Ez pedig nem más, mint a 2c ábrán megjelölt két csúcsban álló számok különbségének kétszerese. Így erre a két helyre ugyanazokat a számokat kellett írnunk, amivel bizonyításunkat befejeztük.