A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Havonta egy-egy, számomra valamilyen oknál fogva kedves feladatot mondok el. Ezek megoldása, noha a középiskolában oktatott ismeretanyagnál többet nem kíván, mégis mély, igazi matematikusi gondolkodást igényel. A problémákra a megjelenést követő számban megoldást adok, azonban nem kívánok egyetlen problémát sem teljesen lezárni. Akár a feladatokkal, akár azok megoldásával kapcsolatban minden megjegyzést örömmel veszek. Van-e olyan (tízes számrendszerben felírt) négyzetszám, mely elé az 1, 9, 8, 3 jegyeket ebben a sorrendben írva ismét négyzetszámot kapunk? Mutassuk meg, hogy az első pozitív egészből nem lehet olyan -es, hagyományos értelemben vett bűvös kockát előállítani, melyben az összes, egy egyenesre eső 4‐4 szám összege (beleértve a testátlókat is) ugyanannyi legyen. Bűvös négyzetben a sorokban, az oszlopokban, valamint a két átlóban álló számok összege megegyezik, ezt a közös összeget a bűvös négyzet állandójának szokás nevezni. A feladat feltételeinek megfelelően tegyük fel, hogy sikerült (egész) számot elhelyezni egy -es kockában úgy, hogy a kocka -es síkmetszetei (ugyanolyan állandójú) bűvös négyzetek legyenek. (Könnyű utánaszámolni, hogy összesen ilyen síkmetszet van.) Megmutatjuk, hogy ebben az esetben a kockába beírt számok között van két egyenlő ‐ ez bizonyítja állításunkat. Elsőként megmutatjuk, hogy egy -es bűvös négyzetben a négy "sarokelem'' összege is a bűvös állandót adja. Valóban, adjuk össze az 1a ábrán megjelölt mezőkben álló számokat, mindegyiket annyiszor, ahány pont a megfelelő mezőben szerepel. Látható, hogy az összeg a bűvös állandó négyszerese. 1a. ábra | 1b. ábra |
Ebből vonjuk le az 1b ábrán megjelölt számok összegét ‐ a bűvös állandó kétszeresét. Ami megmaradt az egyrészt a sarokelemek összegének kétszerese, másrészt a bűvös állandó kétszerese, ami éppen állításunkat adja. 2a. ábra | 2b. ábra | 2c. ábra |
Tekintsük most a kocka csúcsaiba írt nyolc számot! Előző eredményünk értelmében a 2a valamint 2b ábrán a megjelölt számok összege a bűvös állandó kétszerese, tehát ezen összegek különbsége nulla. Ez pedig nem más, mint a 2c ábrán megjelölt két csúcsban álló számok különbségének kétszerese. Így erre a két helyre ugyanazokat a számokat kellett írnunk, amivel bizonyításunkat befejeztük. |