A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Havonta egy-egy, számomra valamilyen oknál fogva kedves feladatot mondok el. Ezek megoldása, noha a középiskolában oktatott ismeretanyagnál többet nem kíván, mégis mély, igazi matematikusi gondolkodást igényel. A problémákra a megjelenést követő számban megoldást adok, azonban nem kívánok egyetlen problémát sem teljesen lezárni. Akár a feladatokkal, akár azok megoldásával kapcsolatban minden megjegyzést örömmel veszek. Csirmaz László Mutassuk meg, hogy az első pozitív egészből nem lehet olyan -es, hagyományos értelemben vett bűvös kockát előállítani, melyben az egy egyenesre eső szám összege (beleértve a testátlókat is) ugyanannyi legyen. Tetszőleges valós számra jelöli egész részét, vagyis a legnagyobb olyan egészt, mely még nem nagyobb -nél. Minden természetes számra legyen | | (1) | továbbá ha egész, akkor | | (2) | Mármost a kérdés az: mit számít ki ez a"képlettel definiált'' függvény?
Ha és természetes számok, akkor értéke éppen -nek -vel való osztásakor kapott maradék. Így értéke , ha osztója -nek, különben pedig -nél kisebb pozitív szám, hiszen ekkor a nevező -nél nagyobb. Ezért (3) egész része vagy vagy , attól függően, hogy osztója-e -nek vagy sem. Tehát a kifejezés megadja azon osztóinak számát, amikre . Ez a szám csak akkor , ha prímszám (hiszen legalább egy osztója, ti. az , minden számnak van), egyébként értéke legalább . Ez pedig azt jelenti, hogy értéke akkor , ha prímszám, és , ha összetett. Ezek után térjünk át a -et definiáló formulára. Mivel , ha prím, és egyébként, azért pontosan akkor áll fenn, ha legalább akkora, mint az -edik prímszám, amit jelöljünk -nel. (Így például stb.). Más szavakkal | | Most fogadjuk el egy pillanatra, hogy az -edik prímszám kisebb -nél, akkor | | hiszen -től -ig csupa egyest kellett összeadnunk. Ennek alapján ,az -edik prímszám. Levonhatjuk a tanulságot : igenis olyan "képlet'', ami az -edik prímszámot definiálja, bár ennek alapján az -edik prím kiszámítása sokkal több munkát igényel, mintha azt a "hagyományos módon'' keresnénk meg. Annak igazolására, hogy az -edik prímszám -nél kisebb, tekintsük az alábbi darab számot : | | (4) | Ha megmutatjuk, hogy ezek közül semelyik kettőnek nem lehet közös prímtényezője, készen vagyunk: a (4) alatti darab szám mindegyike kisebb -nél, s mindegyiknek van az összes többi prímosztóitól különböző prímosztója. Így előtt legalább prímszám van, vagyis az -edik prím kisebb -nél. Az viszont, hogy a (4) alatti számok páronként relatív prímek,egyszerűen következik abból, hogy az első kivételével az összes többi páratlan, továbbá az összefüggés -szeri alkalmazásával | | Így esetén összes prímosztója osztója -nek is, vagyis nem lehet osztója -nek. Nem nehéz belátni azt sem, hogy az -edik prím még -nél is kisebb, tehát (2)-ben mindkét helyen -re cserélhetnénk.
|