Cím:	Az 1982. évi (23.) Nemzetközi Fizikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	1982/november, 161 - 168. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. ábra   1. Egy fénycsővet $50$ Hz-es váltakozó áramú hálózatra kapcsolunk (1. ábra). Működés közben a kővetkező adatokat mérjük: Számításainkban magát a fénycsővet tiszta ohmikus ellenállásúnak tekinthetjük. a) Mekkora a fojtótekercs $L$ önindukciós együtthatója? b) Mekkora a $\phi$ fáziseltolódás a feszültség és az áram között? c) Mekkora az áramkör által felvett teljesítmény? d) Azon kívül, hogy a fojtótekercs korlátozza az áramot, más fontos szerepe is van. Mi ez?   Megjegyzés. A fénycsőgyújtó szerkezet egy olyan kapcsoló, amely a hálózati feszültség bekapcsolásakor zárja, majd nyitja az áramkört, és ezután nyitva is marad, ha a fénycső már világít. e) Rajzoljuk meg a működő állapotban levő fénycső fényintenzitását mint az idő függvényét kvantítatív időskálával! f) Miért kell csupán egyszer begyújtani a fénycsövet, noha a váltakozó áram szabályos időközönként átmegy a nulla értéken? g) A gyárban adott útmutató szerint egy kb. $4\mathrm{,}7\mu \text{F}$-os kondenzátort lehet sorbakapcsolni a fojtótekerccsel. Hogyan hat ez a fénycső működésére, és miért jó ez? h) Vizsgáljuk meg az adott fénycső két felét az adott spektroszkóppal. (A fénycső egyik felén van csak lumineszkáló bevonat.) Magyarázzuk meg a két spektrum közti különbséget!   Megoldás. (A továbbiakban a hivatalos pontozást is feltüntetjük.) Az a), b) és c) ponthoz a váltakozó áramra vonatkozó összefüggések érvényesek. a) A teljes impedancia $Z=380\mathrm{,}8\Omega$. A cső ohmos ellenállása $R_F=140\Omega$, a teljes ohmos ellenállás $R=166\mathrm{,}3\Omega$. Ebből az ismert összefüggéssel $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega L=\sqrt[]{Z^2-R^2}=342\mathrm{,}6\Omega \mathrm{,}}\end{array}$ amiből                                  $L=1\mathrm{,}09\text{ H}$. 2 pont b) $\text{tg}\phi =\left(\omega L\right)/R\mathrm{,}\text{ amiből}\phi =64\mathrm{,}{1}^{\circ }\mathrm{.}$ 1 pont c) A teljesítmény                               $P=UI\text{cos}\phi =59\mathrm{,}8\text{ W}$. 1 pont d) Amikor a gyújtó zár, áram folyik rajta és ez izzítja a fénycső két végén levő izzószálat. A gyújtó kikapcsolásakor a tekercsen nagy feszültség indukálódik, ami begyújtja a csövet. A működési folyamat fenntartásához a hálózati feszültség már elegendő. 1 pont e)Az $50$ Hz-es hálózatról táplált fénycső másodpercenként $100$-szor kialszik, aztán újból világít. Az ennek megfelelő grafikont mutatja a 2. ábra. (A fénycsövet most nem tekinthetjük ohmikus ellenállásúnak!) 1 pont   2. ábra   f) A begyújtáskor az izzószál és az első impulzus sok iont és szabad elektront hoz létre. Ezeknek a semlegesítődéséhez elég sok idő kell. Az újragyújtáshoz szükséges töltéshordozók a feszültség újbóli megjelenésekor még rendelkezésre állnak. 1 pont g) A $4\mathrm{,}7\mu F$-os kondenzátor impedanciája $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\omega C\right)}^{-1}=677\mathrm{,}3\Omega \mathrm{,}}\end{array}$ ami körülbelül duplája a fojtótekercs impedanciájának. Ezért a kondenzátor a fázisszög előjelét változtatja meg. Az eredő impedancia: $\begin{array}{c}{\displaystyle Z\text{'}=\sqrt[]{{\left[\omega L-1/\left(\omega C\right)\right]}^2+R^2}=373\mathrm{,}7\Omega \mathrm{,}}\end{array}$ közel azonos a kondenzátor nélküli impedanciával, tehát az áramerősség ugyanakkora. Ha minden második fénycső elé ilyen "fázisjavító'' kondenzátort kötünk, akkor nem lesz eredő fázistolás. A nagy fázistolás veszteségeket okoz a tápvezetéken, és az erőművekben. Ezek a kondenzátorok ezt szüntetik meg. 2 pont h) A cső lumineszkáló bevonattal be nem borított felén a Hg-gőz vonalas spektruma látható. A bevonattal ellátott részben ezen kívül még folytonos spektrumot látunk. A Hg ultraibolya sugárzása ugyanis gerjeszti a szilárd bevonatot, amely mint általában a szilárd anyagok, folytonos spektrummal rendelkezik. 1 pont   2. Egy drótból készült ruhafogas kis amplitúdójú lengéseket végez az ábra síkjában a lerajzolt egyensúlyi helyzetek körül (3. ábra). Az a) és a b) helyzetben a fogas hosszú oldala vízszintes. A másik két oldal egyenlő hosszú. A lengésidő mindhárom esetben azonos. Hol a tömegközéppont és mekkora a lengésidő? (Az ábra a megadott adatokon kivül információt nem tartalmaz.)   3. ábra     Megoldás. A fizikai inga lengésideje:                                   $T=2\pi \sqrt[]{\frac{\Theta }{mgs}}$  1,5 pont ahol $\Theta$ a felfüggesztési pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték, $s$ a súlypont felfüggesztési ponttól mért távolsága. A tehetetlenségi nyomaték a Steiner tétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta ={\Theta }_0+m{s}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahol ${\Theta }_0$ a tömegközéppontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték. 1,5 pont Az előző két összefüggés alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle m{s}^2-{\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^{2}mgs+{\Theta }_0=0.}\end{array}$ E másodfokú egyenletnek csak két gyöke lehet. Legyen a három esetben a tengely és a tömegközéppont távolsága rendre $S_a$, $S_b$ és $S_c$ (4. ábra). Ebből kettőnek meg kell egyeznie.   4. ábra   $\begin{array}{c}{\displaystyle S_c>21\text{ cm }>S_a+S_b=10\text{ cm }\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle S_a=S_b\text{-vel}\mathrm{,}}\end{array}$ így a 4. ábra alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle S_a=S_b=5\text{ cm }\mathrm{,}}\end{array}$                            $S_c=\sqrt[]{{\left(21\text{ cm }\right)}^2+{\left(5\text{ cm }\right)}^2}=21\mathrm{,}5\text{ cm}\mathrm{.}$ 3 pont A gyökök és együtthatók közti összefüggés alapján                                   $S_a+S_c={\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^{2}g$, 2 pont amiből                                       $T=1\mathrm{,}03\text{ s}$. 1 pont 3. A $V_B=1\mathrm{,}10{\text{ m}}^3$ állandó térfogatú hőlégballon alul nyitott. A ballon anyagának térfogata elhanyagolható $V_B$ mellett és tömege $m_H=0\mathrm{,}187\text{ kg}$. Kezdetben a külső levegő hőmérséklete ${\theta }_1=20{}^{\circ }\text{C}$, és a külső légnyomás $p_0=1\mathrm{,}013\cdot {10}^5{\text{ N/m}}^2$. Ilyen körülmények között a levegő sőrűsége ${\varrho }_1=1\mathrm{,}20{\text{ kg/m}}^3$. a) Milyen ${\theta }_2$ hőmérsékletre kell felmelegíteni a ballonban levő levegőt, hogy a ballon éppen lebegjen? b) A ballont a talajhoz rögzítjük és a benne levő levegőt állandóan ${\theta }_3=110{}^{\circ }\text{C}$ hőmérsékleten tartjuk. Mekkora erő feszíti a rögzítő kötelet? c) A ballont alul bekötjük, de a benne levő levegő állandóan ${\theta }_3=110{}^{\circ }\text{C}$-os marad. Így a ballonban levő levegő sűrűsége is állandó. A ballon $20{}^{\circ }\text{C}$-os izoterm atmoszférában emelkedik. Mekkora egyensúlyi $h$ magasságra emelkedik a ballon ilyen körülmények között? d) A $h$ magasságban a ballont $\Delta h=10\text{ m}$-rel kimozdítjuk egyensúlyi helyzetéből, majd ismét elengedjük. Milyen tipusú mozgást végez a ballon?   Megoldás. a) Először kiszámítjuk a ballonban levő levegő sűrűségét lebegéskor. A lebegés feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_{2}g+m_{H}g=m_{1}g\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $m_2$ a ballonban levő levegő, $m_1$ a $\theta$ hőmérsékletű levegő tömege. Mivel                             $m_1={\varrho }_1{V}_B\mathrm{,}{m}_2={\varrho }_2{V}_B$, 1 pont $\begin{array}{c}{\displaystyle {\varrho }_2={\varrho }_1-m_H/V_B\mathrm{.}}\end{array}$ Számértékekkel                                     ${\varrho }_2=1\mathrm{,}03{\text{ kg/m }}^3\mathrm{.}$ 0,25 pont Az egyesített gáztörvényhől, figyelembe véve, hogy a térfogat állandó:                                       ${\varrho }_1{T}_1={\varrho }_2{T}_2$, 1,5 pont ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle T_1=\left(273+20\right)\text{ K}=293\text{ K}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen                                  $T_2=341\mathrm{,}3\text{ K}=68\mathrm{,}4{}^{\circ }\text{C}$. 0,25 pont   b) A kötelet feszítő erő $\left(F_K\right)$ a felhajtóerő $\left(F_F\right)$ és a léggömb súlyának $\left(F_L\right)$ különbsége:                                     $F_K=F_F-F_L$, 0,5 pont ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle F_F=V_B{\varrho }_{1}g\mathrm{,}\text{ és }{F}_L=m_{H}g+V_B{\varrho }_{3}g\mathrm{.}}\end{array}$ Behelyettesítve                               $F_K=\left[V_B\left({\varrho }_1-{\varrho }_3\right)-m_H\right]g$. 0,5 pont Mivel                              ${\varrho }_3={\varrho }_1\left(T_1/T_3\right)=0\mathrm{,}918{\text{ kg/m}}^3$. 0,5 pont ahol $T_3=383\text{ K}$, $F_K$ meghatározható:                                       $F_K=1\mathrm{,}2\text{ N}$. 0,5 pont A ballon addig emelkedik, amíg a súlya egyenlő lesz a felhajtóerővel:                                 ${\varrho }_3{V}_B+m_H=\varrho \left(h\right)V_B$, 1 pont ahol $\varrho \left(h\right)$ a külső levegő sűrűsége. Ebből                            $\varrho \left(h\right)={\varrho }_3+\frac{m_H}{V_B}=1\mathrm{,}088{\text{ kg/m}}^3$. 0,25 pont A barometrikus magasságformula szerint (1. Budó Ágoston: Kísérleti fizika) $\begin{array}{c}{\displaystyle \varrho \left(h\right)={\varrho }_1\cdot e^{-\left({\varrho }_1/p_0\right)\text{g}h}\mathrm{,}}\end{array}$ innen                                      $h=\frac{p_0}{{\varrho }_{1}g}ln\frac{{\varrho }_1}{\varrho \left(h\right)}$, 1,5 pont ahol ${\varrho }_1$ a $0$ magasságon mért sűrűség. Számadatokkal:                                    $h=843\text{ m adódik}\mathrm{.}$ 0,25 pont d) Ha a ballont egyensúlyi helyzetéből kis mértékben kimozdítjuk, a visszatérítő erő lineáris lesz. 0,25 pont Ennek hatására harmonikus rezgőmozgást végez. 1 pont A hőlégballon mozgását erősen akadályozza a levegő közegellenállása, ezért a rezgőmozgás csillapított. 0,5 pont   Kísérleti feladatok   4. A méréshez csak az adott bikonvex lencse, síktükör, a csepegtető edényben levő víz, az optikai tárgy (ceruza) és az állítható szorítóval ellátott állvány használható. 1. Halározzuk meg $1\%$ pontossággal a lencse fókusztávolságát! 2. Halározzuk meg a lencse anyagának törésmutatóját! A víz törésmutatója $n_0=1\mathrm{,}33$. A vékony lencse fókusztávolságát levegőben az $\begin{array}{c}{\displaystyle 1/f=\left(n-1\right)\left(1/r_1-1/r_2\right)}\end{array}$ képlet adja, ahol $n$ a lencse anyagának törésmutatója, $r_1$ és $r_2$ a felszín görbületi sugara. Szimmetrikus bikonvex lencsére $r_1=-r_2=r$, szimmetrikus bikonkáv lencsére $r_1=-r_2=-r$.   Megoldás. Hogy az $1\%$-os pontosságot elérjük, nem nagyon válogathatunk a módszerekben. Az alább leírt módszer teljesíti e feltételt. Helyezzük a síktükröt az állvány aljára, és fektessük rá a lencsét. A szorítóban levő tárgy (a ceruza) képét felülről látjuk. 1 pont A kép helyét kell pontosan meghatározni. Ez akkor lehetséges, ha a tárgyat úgy helyezzük el, hogy képével egybeessék. 0,5 pont Ebben az esetben fejünket mozgatva a tárgy és a kép relatív helyzete nem változik. 1 pont   5. ábra   Ekkor egy lencserendszerrel van dolgunk, amelynek fókusztávolsága $\begin{array}{c}{\displaystyle 1/f=1/f_L+1/f_L=2/f_L\mathrm{,}f=f_L/\mathrm{2,}}\end{array}$ mivel a fény kétszer halad át a lencsén. A tárgytávolság és képtávolság azonos $\left(t\right)$, így                          $1/f=1/t+1/t\mathrm{,}\text{ amiből }{f}_L=t$. 1 pont A kép és a lencse vagy tükör távolságát többször lemérve láthatjuk, hogy a statisztikus hiba nincs egy százalék. A távolságnak $30$ cm körüli értéket kapunk, és azt $1-2$ mm pontossággal mérni is lehet. (Pontos adatokat itt nem közlünk, mert azok mérőhelyenként különbözőek voltak.)  1 pont Szisztematikus hiba már van, mivel a lencse vastagsága $3$ mm, ami már maga is $1\%$. Tehát a mért értékeket korrigálni kell (l. 5. ábra). 1 pont   6. ábra   A törésmutató meghatározásához még egy összefüggés kell, mert a bikonvex lencsére felírt $\begin{array}{c}{\displaystyle 1/f_l=\left(n-1\right)\left(2/r\right)}\end{array}$ összefüggésben még $r$ is ismeretlen. Ha pár csepp vizet öntünk a lencse és a tükör közé (l. 6. ábra), akkor az                                    $1/f\text{'}=1/f_L+1/f_V$ 1 pont összefüggéshez jutunk, ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle 1/f_V=-\left(n_V-1\right)\left(1/r\right)\mathrm{,}}\end{array}$ az egyik oldalról sík, másikról konkáv lencse fókusztávolsága. Az előbbi módon meghatározva az összetett lencse $f\text{'}$ fókusztávolságát, a törésmutatót az                                   $n=\frac{f\text{'}\left(n_V-1\right)}{2\left(f\text{'}-f_L\right)}+1$ 0,5 pont képlet határozza meg. A törésmutatóra az $\begin{array}{c}{\displaystyle n=1\mathrm{,}52}\end{array}$ érték adódik kb. $3\%$ szórással. 1 pont   5. A csúszásmentesen gördülő henger mozgását felbonthatjuk egy tengely körüli forgásra és a tömegközéppont vízszintes transzlációjára. Ebben a kísérletben közvetlenül csupán a transzlációs gyorsulás és az azt létrehozó erők határozhatók meg. Az $M$ tömegű, $R$ sugarú hengert egy vízszintes deszkán helyezzük el. A hengert tengelyétől $r=r_i$ távolságban $\left(i=\mathrm{1,}\text{...}\mathrm{,6}\right)$ egy fonál húzza (l. $7$. ábrát). Miután a hengert elengedtük, egyenletes gyorsulással gördül. Mielőtt a mérést elkezdjük, állítsuk be a deszkát vízszintesre papírdarabokkal. A jelen célnak megfelel, ha a deszka nem lejt $1$ méterenként $1$ milliméternél többet. Ez a lejtés megfelel a libella egy osztásának. a) Határozzuk meg kísérletileg a henger különböző $r_i\left(i=\mathrm{1,}\text{...}\mathrm{,6}\right)$ távolságához tartozó $a_i$ gyorsulásokat. b) A kapott $a_i$ gyorsulásokból számoljuk ki a henger és a deszka között ható erőket! c) Ábrázoljuk az $F_i$ értékeket az $r_i$függvényében! Diszkutáljuk az eredményeket! d) Mi a következménye annak, ha a deszka nem vízszintes? e) Írjuk le a mellékmennyiségek meghatározását és a szükséges további beállításokat is! Adjuk meg, hogy a rossz beállítás hogyan befolyásolja az eredményeket!   7. ábra   A kővetkező mennyiségek adottak: ${\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math> = 5,00 cm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mi>M</mi><mi>M</mi><mi>M</mi><mi>M</mi></mphantom></math>}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math> = 0,75 cm }}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math> = 3,275 kg }}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></math> = 1,50 cm }}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>50</mn></math> g }}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow></math> = 2,25 cm }}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi></math> = 1,50 cm }}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub></mrow></math> = 3,00 cm }}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> = 0,1 mm }}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msub></mrow></math> = 3,75 cm }}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></msub></mrow></math> = 4,50 cm }}\hfill \end{array}}$   A csiga $\left(C\right)$ tömegétől és a súrlódástól a számolásnál el lehet tekinteni. A távolságot az adott mérőszalaggal, az időt elektronikus stopperrel mérjük.   Megoldás. Mielőtt elkezdjük a mérést, a fonalat vízszintesre és a mozgás irányába kell állítani. Ezt a csiga $\left(C\right)$ mozgatásával lehet elérni.  0,5 pont A fonál beállítását elég szemmérték alapján elvégezni, mivel az eltérési hiba koszinuszával kell ilyen esetben korrekciót végezni, és a koszinusz függvény nem túl nagy szögekre még közel $1$ (az eltérés csak másodrendű).  0,5 pont Vigyázni kell a sík vízszintes beállítására. Az $\alpha$ szöggel helytelenül beállított sík esetében az $mg$ húzóerőhöz $Mg\text{sin}\alpha$ adódik hozzá. 1 pont A henger elmozdulása a 7. ábra alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle S=L-\sqrt[]{R^2-{\left(R-D\right)}^2}-\sqrt[]{R^2-{\left(R-d\right)}^2}=L-\sqrt[]{2RD-D^2}-\sqrt[]{2Rd-d^2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $L$ mérhető. A megadott számértékekkel                           $S=39\mathrm{,}2\text{ cm }-4\mathrm{,}5\text{ cm }=34\mathrm{,}7\text{ cm }$. 1 pont A gyorsulásokat az                                               $a=2S/t^2$ 0,5 pont képletből lehet kiszámítani. Különböző $r_i$-khez tartozó időket mérünk, és belőlük meghatározzuk a gyorsulásokat. Ilyen mérési értékeket mutat a következő táblázat: 1 pont ${\displaystyle \begin{array}{ccccccc}{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi></math>(cm) }}\hfill & \multicolumn{3}{c}{{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi></math>(s)}}}& {\displaystyle \text{(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi></math>)(s)}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></math>(m/s<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>N</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math>}}\hfill \\ {\displaystyle \text{0,75}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,81}}\hfill & {\displaystyle \text{1,82}}\hfill & {\displaystyle \text{1,82 }}\hfill & {\displaystyle \text{1,816}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,211}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,266}}\\ {\displaystyle \text{ 1,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,71}}\hfill & {\displaystyle \text{1,72}}\hfill & {\displaystyle \text{1,73}}\hfill & {\displaystyle \text{1,720}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,235}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,181}}\\ {\displaystyle \text{ 2,25}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,63}}\hfill & {\displaystyle \text{1,63}}\hfill & {\displaystyle \text{1,64}}\hfill & {\displaystyle \text{1,633}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,261}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,090}}\\ {\displaystyle \text{ 3,0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,56}}\hfill & {\displaystyle \text{1,56}}\hfill & {\displaystyle \text{1,57}}\hfill & {\displaystyle \text{1,563}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,284}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,004}}\\ {\displaystyle \text{ 3,75}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,51}}\hfill & {\displaystyle \text{1,51}}\hfill & {\displaystyle \text{1,52}}\hfill & {\displaystyle \text{1,513}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,304}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>0,066}}\\ {\displaystyle \text{ 4,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,46}}\hfill & {\displaystyle \text{1,46}}\hfill & {\displaystyle \text{1,45}}\hfill & {\displaystyle \text{1,456}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,328}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math>0,154}}\end{array}}$   Az időmérés pontossága az adatok alapján $\mathrm{0,5}\%$, a távolságé $1\%$ körül van, ezért a gyorsulás hibája mintegy $2\%$. 0,5 pont A táblázat már feltünteti a súrlódási erő értékét is.   8. ábra   A 8. ábra alapján felírhatjuk a mozgásegyenleteket: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi>m</mi><mi>g</mi><mo stretchy="false">-</mo><mi>T</mi></math>,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ (1)}}& \hfill {\displaystyle \text{ 1 pont}}\\ {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mi>a</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">-</mo><mi>F</mi></math>,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{(2)}}& \hfill {\displaystyle \text{1 pont}}\\ {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Θ</mi><mi>β</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>T</mi><mi>r</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>F</mi><mi>R</mi></math>,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{(3)}}& \hfill {\displaystyle }\\ {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>β</mi><mi>R</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>a</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{(4)}}& \hfill {\displaystyle \text{0,5 pont}}\\ {\displaystyle \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>r</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>a</mi></math>.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ (5)}}& \hfill {\displaystyle \text{0,5 pont }}\end{array}}$   Az (1), (2) és (5) egyenletből $a_m$ et és $T$-t kiküszöbölve kapjuk a súrlódási erőre a                              $F=mg-\left[M+m\left(1+\frac{r}{R}\right)\right]a$ 1 pont összefüggést. Ebből számítottuk ki az $F$ értékeket. 0,5 pont A $F_i\left(r_i\right)$ összefüggést mutatja a 9. ábra. 0,5 pont A grafikonból két lényeges információt nyerhetünk. Egyrészt lineáris az összefüggés, másrészt az erő előjelet vált. Ez érthető is. Ha $r_i$ kicsi, $F_i$-nek pozitívnak kell lennie, mivel csupán ez az erő forgat. Ha $r_i$ közel van $R$-hez akkor már $F$ negatív, mivel inkább a gyorsításba kell belesegítenie, mint a forgatásba. 0,5 pont   9. ábra   Az összefüggést elméleti úton is meghatározhatjuk, az (1)‐(5) egyenletekből kifejezhetjük $F$-et. Hosszabb algebrai átalakítások után kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=mg\frac{\frac{\Theta }{M{R}^2}-\frac{r}{R}}{1+\frac{\Theta }{M{R}^2}+\frac{m}{R}{\left(1+\frac{r}{R}\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $m\ll M$, az erő közelítő értéke $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\frac{mg}{1+\frac{\Theta }{M{R}^2}}\left(\frac{\Theta }{M{R}^2}-\frac{r}{R}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ez a kifejezés már lineáris $r$-ben, ahogy azt a grafikon is mutatja. A henger tehetetlenségi nyomatéka, ha a végén levő hornyokat elhanyagoljuk, $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta =\left(1/2\right)M{R}^2\mathrm{,}}\end{array}$ és így $\begin{array}{c}{\displaystyle F=mg\left[1/3-\left(2/3\right)\left(r/R\right)\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Ez kis $r$-ekre pozitív, ha $r\approx R$, akkor negatív, és ha $2r=R$, akkor nulla. Ezt igazolják a mérések, hiszen a görbe $3$ cm körül metszi a vízszintes tengelyt. 1 pont