Kezdőlap


Cím:	Megjegyzés a Snellius‐Descartes-törvény levezetéséhez
Szerző(k):	Bodó Zalán
Füzet:	1982/március, 129. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Januári számunkban cikket közöltünk, amelyben megtalálható a Snellius-Descartes-törvény levezetése a minimális idő elvéből. Az ott vázolt levezetés szükségtelenül komplikált, lényegesen egyszerűbb, rövidebb az alábbi számítás.

Keressük azt, hogy milyen úton halad a fény az

A

pontból a

B

pontba, ha a törésmutató a bal oldali féltérben

n_{1}

, a jobb oldaliban pedig

n_{2}

. Tudjuk, hogy a fény homogén törésmutatójú közegben egyenes vonal mentén halad, a fénysugárnak a két közeg határfelületén lehet törése. Az ábra jelöléseit használva jellemezzük a fénysugarak irányát az

x

hosszúsággal, ebből

α

és

β

már meghatározható. A fénysugár által az

A

ponttól a

B

pontig megtett út

\begin{matrix} \sqrt[]{d_{1}^{2} + x^{2}} + \sqrt[]{d_{2}^{2} + {(D - x)}^{2}}, \end{matrix}

az ehhez szükséges idő

\begin{matrix} t = \frac{n_{1}}{c} \sqrt[]{d_{1}^{2} + x^{2}} + \frac{n_{2}}{c} \sqrt[]{d_{2}^{2} + {(D - x)}^{2}} . \end{matrix}

A valóságos út megtételéhez szükséges a legrövidebb idő, azaz a

t (x)

függvénynek van minimuma,

\begin{matrix} d t / d x = 0. \end{matrix}

A deriválást elvégezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{n_{1} x}{\sqrt[]{d_{1}^{2} + x^{2}}} - \frac{n_{2} (D - x)}{\sqrt[]{d_{2}^{2} + (D - x^{2})}} = 0, \end{matrix}

ami azonban nem más, mint

\begin{matrix} \frac{sin α}{sin β} = \frac{n_{2}}{n_{1}}, \end{matrix}

vagyis a Snellius‐Descartes-törvény.
Hasonló levezetést láthattunk a 1626. feladat megoldásában is [KML 61. (1980) 177. old.]